BIẾN NGẪU NHIÊN một CHIỀU ppt _ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Gọi Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người • T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về • U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này... Hai biến ngẫu nhiên độc lậ

BIẾN NGẪU NHIÊN

MỘT CHIỀU

CHƯƠNG 2

Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên

• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …

• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …

• Với mọi số thực x ta có {X<x} là một biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày

• Y: Tuổi thọ của iphone 6

• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người Gọi Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người

• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về

• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này

Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.

Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.

0 1

neu Sap X

neu Ngua



= 



Giá trị lấp đầy một hay vài khoảng

hữu hạn hoặc vô hạn P(X=a)=0 với mọi a

Hai biến ngẫu nhiên độc lập

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố:

• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y

• Nói cách khác các biến cố liên quan đến hai biến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau

( X x < ) ( Y y < )

Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.

– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì

– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một khoảng bất kì

• Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs, hàm ppxs, hàm mật độ

• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x

• Xác suất X thuộc [a,b)

Hàm ppxs

)

P a ≤ X < = b − F

Tính chất

Hàm ppxs

Công thức ppxs

Ví dụ 1 Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế) Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng

Bảng ppxs

• Ví dụ 2 Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt loại A Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?

Bảng ppxs

Ví dụ Có 2 kiện hàng Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu Kiện 2 có 6 sản phẩm

tốt, 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

b) Xác định hàm ppxs tương ứng

Biến ngẫu nhiên liên tục

Tính chất

iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

)

b a

Hàm mật độ xác suất

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)

• Độ lệch chuẩn (Standard Error)

Tham số đặc trưng

• Tung một cục xúc sắc nhiều lần Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của những lần tung là bao nhiêu?

• Giả sử ta có các kết quả tung như sau:

• Thì giá trị trung bình là bao nhiêu

Ví dụ

Chú ý

• Trong quá trình lâu dài thì mỗi mặt có tỷ lệ xuất hiện là 1/6

• Giá trị trung bình ở đây là trung bình số học có trọng số của X (trọng số là tỷ lệ, khả năng xuất hiện)

• Giá trị trung bình của X, ghi là E(X), hay viết tắt là µ (đọc là muy)

x p

E X

x f x dx

∞ +

Ví dụ 1

• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1 ngày Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dự kiến là 1000$ Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$ Giả sử kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu?

Ví dụ 2

• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở 1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này nhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.

• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg Nếu thực phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá 20/kg ngàn mới hết hàng.

• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên nhập thêm 20kg mỗi ngày hay không

X 80 100 120 150

P 0,2 0,4 0,3 0,1

Ví dụ 2

• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này

x p

x f x dx

ϕ ϕ

4)Tínhchấ t 4: E(X Y )=E(X) E(Y )

5)Tínhchấ t 5: E(X.Y )=E(X).E(Y ) nế u X và Y độ c lậ p

Ví dụ 4

• Vòng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36

• Gọi X là số mà quả bóng rơi vào

• Y là số tiền phải trả cho người chơi

• Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu để có lợi

1 2

X X Y

Ví dụ 5

• Cho X là biến ngẫu nhiên Đặt Y=(X-c)2

• Giả sử E(Y) tồn tại Tìm c sao cho E(Y) nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Đặt g(c)=E(Y)

Đáp số: c=E(X)

Ý nghĩa: ????????

Phương sai (Variance)

Phương sai (Variance)

• Là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng toán của nó

• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2

• Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định

( ) ( )

2 2

2 2

i i i

x p E X Var X

Phương sai của hàm bnn

Tính chất của phương sai

nế u cá c X độ c lậ p toa

Ví dụ 1

• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là các bnn độc lập X, Y:

• Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành nào?

• Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?

• Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ lệ nào?

Ví dụ 1

• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1 tháng Tìm trung bình và

phương sai của tổng tiền lãi trong 1 tháng?

• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng Tìm trung bình và phương sai của tiền lãi thu được

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2 tháng Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu

• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?

Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung của X

• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X

• σ(X) có đơn vị là đơn vị của Xσ ( ) X = Var X ( )

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau:

Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CVx.

• Đo mức độ thuần nhất của bnn CVx càng nhỏ bnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng

e e

Hệ số bất đối xứng

• Đồ thị đối xứng

3 0

α =

Hệ số nhọn

• Kí hiệu:

• Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với đồ thị của phân bố chuẩn

• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì α4=3

( ) ( )

Hệ số nhọn

• α4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối chuẩn

• α4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối chuẩn

1 2

x

−µ

− σ

=

1 2

x

−µ

− σ

=

Bài tập

1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất Gọi X là tổng số nốt xuất hiện

trên 2 con xúc sắc Tìm luật phân phối xác suất của X? Tính E(X), V(X)

2. Trong một hộp có 5 bóng đèn gồm 2 tốt và 3 hỏng Chọn ngẫu nhiên từng bóng

đem thử (thử xong không trả lại) cho đến khi thu được hai bóng tốt Gọi X là số lần thử cần thiết Tìm luật phân phối của X? Trung bình cần bao nhiêu lần thử

Bài tập 5

• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được trung bình là bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25