sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015 2016 thcs phan đình giót

Trong mỗi buổi ôn tập phải làm sao cho các em học sinh có cơ hội làm việc thật nhiều, tự tìm ra những dạng bài và tìm cách giải các dạng bài đó, nên giảm bớt vị trí công việc của người g[r]

3.1 Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng

đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.3 Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình

giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập

32

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

1) THCS: trung học cơ sở

2) THPT: trung học phổ thông

3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp,hoán vị, tổ hợp, tôi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấnhành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này Bởi trênthực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp)

và là một loại toán khó của Đại số THCS Khi dạy phần này, nhất là đối với họcsinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bàitập, các ví dụ Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu

Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” đểgiải từng dạng bài tập

Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vịkiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tậntình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu

suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập

áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” trong dạy

học

PHẦN THỨ HAI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Những nội dung lý luận liên quan

1.1.Cơ sở lý luận:

Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trìnhcải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh nhữngtri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suyluận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới Bên cạnh đóđòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứukiến thức mới Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháphọc tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị

kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vậndụng hiệu quả cao hơn.

1.2 Cơ sở thực tiễn:

Trong chương trình toán THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn luôn là một đềtài hay và khó đối với học sinh Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặttại các kì thi Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS Đây làmột dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi Vìvậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tôi đã tích luỹ được một sốkinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinhlớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơbản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp

2 Thực trạng vấn đề

Trong chương trình bộ môn toán cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bàithi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượngchương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều Các dạng toán áp dụng đại

số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu cácdạng toán này Ngoài ra tài liệu chuyên sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giảitoán chưa nhiều, còn rất thiếu và chưa có hệ thống Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu

và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnhdạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và

tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy và học, bồi

dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao

3 Các biện pháp tiến hành

3.1 Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối

tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1.a Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp:

3.1.a1 Quy tắc nhân:

Giả sử một hành động H được tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp Ở giaiđoạn 1 có m1 cách chọn, ở giai đoạn 2 có m2 cách chọn, , ở giai đoạn k có mk cách

chọn (với m1; m2; ; m k ∈ N ¿ Khi đó có tất cả: m1m2 mk cách chọn để thực hiệnhành động H.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C

đến B có 2 đường đi Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B

3.1.a2 Quy tắc cộng:

Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H1, H2, ,Hk độc lậpnhau và mỗi hành động Hi có mi cách chọn Khi đó hành động H sẽ có m1 + m2 +

m3 + +mk cách chọn

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C

đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi Hỏi

có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D không có đường đi

Bài giải:

Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi

Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi

Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14

đường đi

3.1.a3 Chỉnh hợp lặp:

a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ Một dãy có độ dài m các phần

tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tựnhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử

Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử là Fnm

Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b); ; là các chỉnh hợp lặp chập 3 của 4

phần tử của tập hợp {a, b, c, d}

b) Định lí: F n m=n m

3.1.b Chỉnh hợp:

3.1.b1 Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy ra k phần tử

(1 ≤ k ≤ n) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợpchập k của n phần tử

Với mỗi cách chọn a, có 4 cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a)

Với mỗi cách chọn ab, có 3 cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a và b)Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm)

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba trong sáu đội bóng thi đấu?

Bài giải:

Có 6 cách xếp đội đứng thứ nhất

Với mỗi cách trên, có 5 cách xếp đội đứng thứ nhì

Với mỗi cách xếp nhất, nhì, có 4 cách xếp đội đứng thứ ba

Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp

3.1.c Hoán vị:

3.1.c1 Định nghĩa: Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp A gồm n phần

tử

(n ≥ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử

Kí hiệu: số hoán vị của n phần tử là: Pn

3.1.c2 Công thức: Tính số hoán vị của n phần tử:

Số hoán vị của n phần tử cũng là số chỉnh hợp chập n của n phần tử Do đó

số hoán vị của n phần tử bằng tích của n thừa số

Pn = n! = 1.2.3 (n – 2).(n – 1) n

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gọi tên tam giác có ba đỉnh là A, B, C?

Bài giải:

Có 3 cách chọn đỉnh đầu tiên (là A, B, C)

Với mỗi cách chọn trên, có 2 cách chọn đỉnh thứ hai

Với mỗi cách chọn 2 đỉnh trên, có 1 cách chọn đỉnh thứ ba

Vậy có tất cả: 3.2.1 = 6 cách gọi tên

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách giao hoán các thừa số của tích abcd?

Bài giải:

Có 4 cách chọn số đứng đầu (a)

Với mỗi cách chọn a, có 3 cách chọn thừa số thứ hai b

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 2 cách chọn thừa số thứ ba c

Với mỗi cách chọn 3 thừa số trên, có 1 cách chọn thừa số thứ tư d

Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán)

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi:

a) Trên một ghế dài b) Chung quanh một bàn tròn

Bài giải:

a) 5 người ngồi trên một ghế dài chính là hoán vị của 5

Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp

b) Khác với ngồi trên một ghế dài, người đầu tiên ngồi quanh bàn tròn có thể

ngồi ở vị trí nào cũng được Còn lại 4 người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ

Vậy tất cả có 24 cách xếp chỗ

3.1.d Tổ hợp:

3.1.d1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập hợp con của A

gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Kí hiệu: tổ hợp chập k của n phần tử là: C n k

3.1.d2 Công thức: Tính số tổ hợp chập k của n phần tử

Trước hết ta đếm số các nhóm có k phần tử trong n phần tử đã cho, nếu các

phần tử được xếp theo thứ tự, đó chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử

Qua một điểm ta nối được 4 đoạn thẳng với 4 đoạn thẳng còn lại Có tất cả 5

điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng)

Do mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần nên số đoạn thẳng là 20 : 2 = 10

Ví dụ 2: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.

Có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là ba trong chín điểm ấy?

Bài giải:

Có 9 cách chọn đỉnh thứ nhất

Với mỗi đỉnh trên, có 8 cách chọn đỉnh thứ hai

Với mỗi cách chọn hai đỉnh trên, có 7 cách chọn đỉnh thứ ba

Do mỗi tam giác đã được tính 3! lần nên số tam giác có được là:

9 8 7

Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng và n đường thẳng nằm ngang đôi một cắt nhau.

Chúng tạo thành bao nhiêu hình chữ nhật? (Hình vuông cũng là một hình chữ nhật)

Ví dụ 4: Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm

gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn Hỏi có bao nhiêu cách lậpnhóm?

Vậy có tất cả: 6 462 = 2772 (cách lập nhóm)

3.1.e Một số dạng bài tập

3.1.e1 Áp dụng đại số tổ hợp trong số học:

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử của tập hợp

Phương pháp giải: Xác định đúng dạng bài tập nói về chỉnh hợp, hoán vị hay

tổ hợp để áp dụng công thức và tính toán phù hợp

Bài toán 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: abcde (Trong đó a, b, c, d, e là các số tự nhiên)

Vì số đó chia hết cho 10 nên có 1 cách chọn e là e = 0

Vì a là chữ số hàng chục nghìn nên a có 9 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9)Với mỗi cách chọn a, e ta có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phảikhác a, e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưngphải khác a,b,e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 6 cách chọn d (d có thể từ 0 đến 9 nhưngphải khác a, b, c, e)

Vậy tất cả có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài toán 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: x=abcd (Với a, b, c, d là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên d có 5 cách chọn (d ∈{ 1,3,5,7,9 })

Do a là chữ số hàng nghìn nên a có 8 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9 nhưngphải khác d)

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưngphải khác a,d)

Với mỗi cách chọn 3 số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưngphải khác a,b,d)

Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9?

Bài giải:

Gọi số cần tìm là x=abc deg (với a, b, c, d, e, g là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn g (g ∈{ 1,3,5,7,9 })

Các số b, c, d, e mỗi chữ số đều có 10 cách chọn (từ 0 đến 9)

Lấy tổng các chữ số T = b + c + d + e + g chia cho 9 Nếu T chia cho 9 được

dư là 0, 1, 2, ,8 thì a chọn tương ứng là 9, 8, 7, , 1, ta sẽ có x chia hết cho 9

Vậy có tất cả: 5.104 = 50000 số lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9

Bài toán 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của

mỗi số là một số lẻ?

Bài giải:

Xét một số tự nhiên gồm 4 chữ số: abcd (Với a, b, c, d là các Số tự nhiên)

Nếu a + b + c + d là một số chẵn thì lấy một số e ∈{ 1,3,5,7,9 } để được tổng a + b + c+ d + e là số lẻ Khi đó có 5 cách chọn e

Nếu a + b + c + d là số lẻ thì lấy e ∈{ 0,2,4,6,8 } để được tổng a + b + c + d + e là số lẻ.Khi đó e cũng có 5 cách chọn

Do đó số abcd có 9.10.10.10 = 9 103 cách chọn

Vậy có tất cả: 5.9.103 = 45000 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 6: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau?

c) Số có hai chữ số đầu và số có hai chữ số cuối giống nhau?

b) Tương tự có F106 − F105 =9 105 số có 6 chữ số

Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối khácnhau

c) Tương tự có: F102 − F101 =90 số có hai chữ số Do đó có 90 cách chọn hai chữ

số đầu và cuối giống nhau

Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ

Nếu a1 là số chẵn thì a1 có hai cách chọn (a1 có thể là 6,8), a4 có 4 cách chọn, a2

có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn

Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số chẵn

Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề bài

Bài toán 8: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số: 0, 1, 2, 3, 4,

5 Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Bài giải:

Có P6 = 6! số có 6 chữ số lấy từ các chữ số đã cho kể cả các số có chữ số 0đứng đầu Với chữ số 0 đứng đầu ta có: P5 = 5! số

Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1,

2, 3, 4, 5

Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Với số tận cùng là 0 ta

có 5! số Với số có tận cùng là 5 ta có: 5! – 4! số

Vậy tất cả có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề bài.

Bài toán 10: Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số

còn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:

a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

b) Các chữ số được xếp tùy ý

Bài giải:

a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau ta xem như một phần tử Mỗi số có 9 chữ

số như thế là một hoán vị của 5 phần tử

Vậy có P5 = 5! = 120 số thỏa mãn đề bài

b) Xem năm số 1 là khác nhau thì ta có 9! Số, nhưng có 5! Số trùng nhau (làhoán vị của 5 chữ số 1)

Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 11: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4

chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

Bài giải:

Số có 4 chữ số khác nhau có dạng: a1a2a3a4

Có 3 cách chọn a4 ( a4 có thể là 1, 3, 7)

Có A34 cách chọn a1a2a3 kể cả a1 = 0

Với a1 = 0, có A32 cách chọn a2a3

Vậy tất cả có: 3.( A34 - A32) = 54 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số

gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?

Bài toán 13: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho, hỏi:

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một?

b) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5?

c) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9?

c) abc ⋮ 9⇔ a+b+c ⋮ 9 ;{a , b , c} có thể là {0, 4, 5}; {1; 3; 5} hoặc {2, 3, 4}

Khi {a, b, c} là {0, 4, 5} thì các số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có 4 số)Khi {a, b, c} là {1; 3; 5} hoặc {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số

Vậy tổng cộng có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 14: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, , 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

chữ số khác nhau từ các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

Bài giải:

Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể

cả các số có chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên): A86

Với chữ số 0 đứng đầu ta có: A75 số

Vậy có: A86 - A75 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho

Tương tự, có A76− A65 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho vàkhông có chữ số 4

Vậy tổng cộng có:

A86− A75− A76+A65=8 !

2 ! −

7 ! 2! −

7 !

1 !+

6 ! 1!=13320 số

Bài toán 15: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n mà tổng các chữ số bằng 3?

Bài toán 16: Có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho

mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó

Bài giải:

Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có bao nhiêu số có n chữ số,trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho các chữ số chỉ là 1 hoặc 2 trong ba chữ số

đã cho

Số các số có n chữ số, trong đó có mặt một trong ba chữ số 1, 2, 3 là 3 (đó làcác số: 11 1⏟

b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí có: C72 cách

Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí còn lại có: C53 cách

Đưa hai chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 2 và 3) vào hai vị trí còn lại:

có A82 cách Theo quy tắc nhân ta được: C72.C53.A82 số

Ta còn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có:

C62.C43.7 số

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: C72.C53.A82 - C62.C43.7 = 11340 số

Bài toán 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Có thể lập được bao nhiêu số gồm

10 chữ số được lấy từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ

số khác có mặt đúng một lần

Bài giải:

Cách 1: (dùng hoán vị lặp)

Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu là: 8 ! 3!

Với chữ số 0 đứng đầu ta được: 7 ! 3! số

Vậy tổng cộng có: 8 ! 3! - 7 ! 3! = 544320 số thỏa mãn đề bài

Cách 2: (dùng tổ hợp)

Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng: a1a2 a10

Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là: C103

Đặt số 6 vào 3 vị trí vừa chọn, sau đó đặt các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 vào 7

vị trí còn lại ta có: C103 7! số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu Với chữ số 0 đứngđầu, ta có C103.6! số

b) Số phải đếm có dạng: a 5 b

Chữ số a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác 5), chữ số b có 9 cách chọn(từ 0 đến 9 nhưng khác 5) Vậy tất cả có: 8.9 = 72 số

c) Số phải đếm có dạng: ab 5 Tương tự trường hợp b,

trường hợp này có: 72 số

Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 20: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên:

Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Dùng các chữ số trên:

a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số khácnhau? Tính tổng các chữ số được lập

b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?