Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần khai thác các bài tập trong sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, có kỹ năng giải bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học và việc làm[r]
Trang 1MỤC LỤC:
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 2
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
2.1.Cơ sở lý luận: 3
2.2 Thực trạng của vấn đề: 3
2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3
2.4.Hiệu quả của SKKN 7
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 7
3.1.Kết luận : 7
3.2 Kiến nghị: 7
TÀI LIỆU THAM KHẢO 7
Trang 2PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình môn toán ở trường THCS ta thấy bài tập toán rất nhiều và đa dạng
“ Giải toán là một nghệ thuật thực hành, giống như bơi lội, trượt tuyết, hay chơi đàn, có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành.Không có chìa khoá thần kỳ để mở mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kỳ để biến mọi kim loại thành vàng ”
( Đề - Các và Leibnitz ) Tìm được lời giải hay của bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán Điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến
rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi”
( Polia-1975 )
Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh Do đó học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập
Phương pháp chung tìm lời giải bài toán là :
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Trong bước 4 một công việc ít được thực hiện đó là:
Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Đó là khai thác bài tập toán
Thực tiễn dạy học cũng cho thấy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập
Tuy rằng không phải là cứ giải nhiều bài tập là có kỹ năng Việc luyện tập
sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần khai thác các bài tập trong sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, có kỹ năng giải bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học và việc làm này đặc biệt quan trọng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngay trong giờ học.Vì vậy tôi đã rút ra kinh nghiệm “ Khai thác và phát triển một số bài toán hình học’’
Trang 3PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1.Cơ sở lý luận:
Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy ở trường THCS, trong các năm qua tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm trong việc khai thác bài tập toán
để xây dựng một hệ thống bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi như là:
1.Chuyển điều chưa biết thành bài toán
2.Thay đổi hình thức phát triển bài toán
3.Tìm các bài toán liên quan
4.Mở rộng các bài tập khác
2.2 Thực trạng của vấn đề:
Học sinh ở trường THCS ngại học môn toán cho rằng đây là môn học rất khó nhất là hình học đòi hỏi học sinh tổng hợp được kiến thức, có kỹ năng trình bày logic, chặt chẽ, nếu chỉ học ở các giờ học chính khoá trên lớp thì khó có thể giải được các bài toán nâng cao, không đủ kiến thức tham gia thi học sinh giỏi môn toán Các em học sinh ngoài việc học toàn diện các môn học còn tham gia các hoạt động xã hội ít thời gian học thêm, chưa say mê với môn học, không thấy được những điều kỳ diệu của toán học, đòi hỏi giáo viên khi giảng dạy phải nghiên cứu tìm tòi, sáng tạo xây dựng các chuyên đề bám sát chường trình, theo chuẩn kiến thức, kỹ năng, phát huy tính tích cực của học sinh
2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập có nhiều bài tập vận dụng kiến thức lý thuyết rất hay khi giải bài tập chúng ta cần khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau đó là các cách giải khác nhau, hoặc thay đổi dữ kiện bài toán ta được một
số bài toán khác tương tự hoặc liên quan từ bài toán ban đầu ta gọi đó là bài toán
“chìa khoá” ta có thể giải được rất nhiều bài tập khác , củng cố được nhiều kiến thức, rút ngắn được thời gian học tập, học sinh được luyện
tập được nhiều, thấy được tính logic của toán học và say mê học toán hơn Sau đây là một số bài tập minh hoạ
Từ một bài toán nổi tiếng mà hình vẽ được in trên trang đầu của một số cuốn sách nâng cao lớp 8, 9 đó là:
Trang 4Bài toán A:
Cho hình vuông ABCD Đặt 1 hình vuông A/B/C/D/ bên trong hình vuông này sao cho 2 tâm trùng nhau Chứng minh rằng : trung điểm của AA/ ; BB/;
CC/; DD/ là đỉnh hình vuông khác
Lời giải:
Cách 1:
= ( c.g.c )
AA/ = BB/
Tương tự AA/ = BB/ =CC/ = DD/
OM = ON = OP = OQ tứ giác MNPQ là hình bình hành
O là trung điểm của MP và NQ MP = NQ
MNPQ là hình chữ nhật
= 900 tứ giác MNPQ là hình vuông
Cách 2:
Nối B/C ; C/D; D/A; A/B, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh B/C ; C/D; D/A; A/B
EP // B/ C/ và EP = B/ C/, FQ // C/D/ và EQ = C/D/
GM// A/ D/ và GM = A/ D/, HN // A/B/ và HN= A/B/
/
AOA
AOM/ BOM/ C OP/ D OQ/
COP
POQ
1 2
1 2 1
2
1 2
Trang 5EP = FQ = GM = HN
NE// BC và NE = BC, PF // CD và PF = CD
QG// AD và QG = AD, MH// AB và MH = AB
NE = PF = QG = MH
MN = NP = PQ = QM và = 90 0
MNPQ là hình vuông
Cách 3:
Thực hiện phép quay tâm O góc quay 900 cùng chiều kim đồng hồ thì OA
OB ; OA/ OB/ AA/ BB/ ;BB/ CC/; CC/ DD/; DD/ AA/
M N ; N P ; P Q ; Q M MNPQ là hình vuông
*Từ nhận xét: = = = Đặt = k ( k < 0 ) Theo định lý Talet ta có bài toán sau:
Bài toán 1a: Cho hình vuông ABCD Đặt 1 hình vuông A/B/C/D/ bên trong hình vuông này sao cho 2 tâm trùng nhau Gọi M,N,P,Q là các điểm thuộc
AA/ ; BB/; CC/; DD/ sao cho
= = = = k ( k > 0 )
Chứng minh rằng : MNPQ là hình vuông
Khi k = 2 thì bài toán 1a chính là bài toán A
*Nếu khai thác bài toán theo cách giải thứ 3 về phép quay ta có bài toán sau:
Bài toán 2a:
Cho đa giác đều A1A2…An đạt bên trong đa giác này một đa giác đều
… sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau Gọi … là trung điểm của A1 , A2 , …, An Chứng minh rằng: … là đa giác đều
*Thêm vào bài toán 2a yếu tố tỷ lệ ta có bài toán sau:
Bài toán 3a:
Cho đa giác đều A1A2…An đạt bên trong đa giác này một đa giác đều
… sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau Gọi …
1 2
1 2 1
2
1 2
NEP
PFQ QGM MHN
/
AM
BN
CP
DQ
AM AA
/
AA
AM
/
BB BN
/
CC CP
/
DD DQ
/ 1
2
A
/
n
1
2
n A
/
1
2
n
1
2
n A
/ 1
A
/
2
n
1
2
n A
Trang 6là các điểm nằm trên đoạn A1 , A2 , …, An sao cho
Khi k = 2 thì bài toán 2 chính là bài toán 2a
* Nếu khai thác theo cách giải 1,2 không cần đến tâm O ta có bài toán sau
Bài toán 4a:
Đặt 1 hình bình hành A/B/C/D/ trong 1 hình bình hành ABCD sao cho các đỉnh của hình bình hành A/B/C/D/ nằm trong hình bình hành ABCD Chứng minh rằng : trung điểm của AA/ ; BB/; CC/; DD/ là các đỉnh của hình
bình hành
Tổng quát hơn ta có bài toán sau:
Bài toán 5a:
Cho hình bình hành ABCD, đặt 1 hình bình hành A/B/C/D/ sao cho các đỉnh của
nó nằm trong hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm
trên các đoạn AA/ ; BB/; CC/; DD/ sao cho = = = = k ( k > 0) Chứng minh rằng : MNPQ là hình bình hành
*Khi k = 2 thì bài toán 5a chính là bài toán 4ª
Khai thác từ một bài toán hình học lớp 9 quen thuộc sau:
Bài toán B:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA = MB + MC
Lời giải :
Trên tia CM lấy điểm N sao cho MN = MB
NC = MB + MC
= = ( vì = = ) =
BMN đều BN = BM
Ta có: BC = BA
= ABM = CBN ( c.g.c) AM = NC = MB + MC
Nhận xét từ bài toán B ta có bài toán sau:
Bài toán 1b:
/ 1
2
n A
1 1 2 2 // //
1 1 2 2
A A A A
3 3 4 4
// //
3 3 4 4
1
2
n A
/
AA AM
/
BB BN
/
CC CP
/
DD DQ
1
M M 2 600 B C 600
3
M 600
ABM ABC CBM 600 CBM MBC
Trang 7Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC Chứng minh: MA MB + MC
Giữ nguyên đề bài, thay đổi câu hỏi ta có bài toán sau
Bài toán 2b:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC
Chứng minh:
Lời giải:
MD MA = MB MC
Từ bài toán trên ta có thể giải được bài toán sau
Bài toán 3b
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ Chứng minh rằng: 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I
Lời giải:
Gọi I là giao của đường tròn (ACB/) và đường tròn (ABC/)
= 1200 , = 1200 = 1200
I (BCA/) hay 3 đường tròn đồng quy
Từ bài toán 3b ta dễ dàng chứng minh được bài toán sau:
MDB MCA
1
.
MB MC
AIC AIB BIC
Trang 8* Bài toán 4b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I Chứng minh rằng:
3 đường thẳng AA/ ; BB/; CC/ đồng quy
Bài toán 5b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I Chứng minh rằng:
IA + IB + IC = ( IA/ + IB/ +IC/ )
Bài toán 6b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, 3 đường tròn (ACB/); (ABC/);
(BCA/) đồng quy tại I Chứng minh rằng:
= ( ) trong đó A1, B1 , C1 là giáo của với các cạnh của tam giác
1 2
1 1 1
IA IB IC
1
IA IB IC
Trang 9Bài toán 7b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , 3 đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I
Chứng minh rằng: IA + IB + IC nhỏ nhất với mọi I thuộc tam giác ABC
Bài toán 8b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2
Với a là cạnh của tam giác
Bài toán 9b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Tìm m để MA + MB + MC lớn nhất
Bài toán 10b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Tìm m để MA2 + MB2 + MC2 lớn nhất
Bài toán 11b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA4 + MB4+ MC4 = 2a4
Với a là cạnh của tam giác
Trang 10Bài toỏn C:
Cho xOy 900 Trên Ox lấy điểm A cố định sao cho OA = a Điểm B di
động trên Oy Vẽ trong góc xOy một hình vuông ABCD.
a) Tính khoảng cách từ D đến Ox.
b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D khi B di động trên Oy.
H
ớng dẫn:
a) Kẻ DH Ox H Có AHD
vuông tại H nênA1 D1 900
2 1 90
A A suy ra A2 D 1
A2 A3 900
BAO A 3 900
Suy ra A2 BAO
Hay D 1 BAO
Xét DHA và AOB
Có: H = O = 900 , D1 BAO
DA = AB (cạnh hình vuông)
Vậy DHA = AOB = (T/h Bằng
nhau đặc biệt thứ nhất của tam giác
vuông)
Vậy: DH = OA = a
b) Theo chứng minh trên
DH = a (const)
Hình 1
Khi B di động trên Oy thì D di động theo nhng luôn cách Ox một khoảng
DH = a Vậy quỹ tích của D thuộc đờng thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng a
Giới hạn:
Khi B O thì H A và D D' D' là một điểm thuộc đờng thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng a, do A cố định suy ra D' cố định
Kết luận:
Khi B di động trên Oy thì quỹ tích của D là 1 tia D'z // Ox, D' cách A một khoảng bằng a
y
x
1
3 2
1
H
D'
C
B
Trang 11Khai thỏc 1:
Từ lời giải trên ta thấy hình vuông OAD'C' là nhỏ nhất trong tập các hình vuông ABCD khi B di động trên Oy Và đơng nhiên trong tập các hình vuông ấy thì diện tích hình vuông OAD'C' là có giá trị nhỏ nhất Từ suy xét đó ta có bài toán mới
Bài toán 1c:
Cho xOy 900 lấy A thuộc tia Ox sao cho OA = a Một điểm B di động
trên Oy Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD Xác định vị trí điểm D để SABCD là nhỏ nhất
Chứng minh
Thật vậy SABCD = AB2
Trong OAB có AOB 900
AB > OA
Do A cố định, B di động nên
AB OA = a
SABCD a2
Do đó SABCD = a2 là nhỏ nhất
khi ấy B O
Khai thác 2:
Hình 2
Từ kết quả trên ta suy ra hình vuông OAD'C' là cố định bằng cạnh a Thế thì OD' cố định nên trung điểm I' là cố định Vấn đề đặt ra là: Nếu B chuyển
động trên Oy thì D chuyển động trên tia D'D Khi đó trung điểm I của OD chuyển động trên đờng nào và ta có bài toán mới
Bài toán 2c:
Cho góc xOy 900 Lấy A trên Ox sao cho OA = a, một điểm B di động
trên Oy Trong góc xOy vẽ hình vuông ABCD Gọi I là trung điểm của OD Tìm
tập hợp (qũy tích) điểm I
H
ớng dẫn: (Hình 2)
Theo kết quả trên D' là giới hạn của D và D' cố định
Gọi I' là trung điểm OD' I' cố định
Trong OD'D có I'I là đờng trung bình I'I // D'D
a
y
x
1
3 2
1
I' I
H
D'
C
B
Trang 12Suy xét: (hình 3)
Qua C kẻ đờng thẳng // Ox
cắt Oy tại Q cắt DH tại P
Theo trên ta đã chứng minh
đợc
AOB = DHA (Cạnh huyền
góc nhọn) OA = DH = a
OB = AH Nhng CQ // Ox CQB = 1v
CP = OA
PD = OB Hình 3
Vậy OA + AH = DH + PD = CP + CQ = BQ + OB
hay OH = HP = PQ = QO
Mà QOA = 1v Nờn tứ giỏc OHPQ là hỡnh vuụng
Ta có bài toán mới.
Bài toán 3c:
Cho góc xOy, trên tia Ox lấy A sao cho OA = a, trên Oy điểm B di động.
Dựng trong góc xOy hình vuông ABCD; qua C kẻ đờng thẳng // Ox, qua d kẻ
đ-ờng thẳng // Oy Hai đđ-ờng thẳng này cắt nhau tại P và lần lợt cắt Oy tại Q, cắt
Ox tại H
a) Chứng minh tứ giỏc OHPQ là hình vuông
b) Gọi I là trung điểm AC, chứng minh O, I, P thẳng hàng
Từ suy xét trên dễ dàng suy ra điều chứng minh
Khai thác 4: Suy xét tiếp ta thấy Ta có thể chuyển hớng bài toán dới dạng
khác
Nếu ta coi hình vuông OHPQ là cố định cạnh = a Trên các cạnh HO, OB,
PQ, PH lần lợt lấy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = DH
Tiếp tục: Nếu cho A di động
trên OH và vẫn cha thoả mãn ABCD
là hình vuông thì chu vi của AOB có
giá trị thay đổi nh thế nào Cụ thể có
quan hệ gì với a cạnh hình vuông
OHPQ
12
y
x
P Q
I
H
D C
B
y
x
P Q
I
H
C
B
y
P Q
I
D C
B
Trang 13
Hình 4
Thật vậy dễ chứng minh đợc AOB = DHA = CPD = BQC
Từ đó tứ giỏc ABCD là hình vuông
AOB luôn có: AB < OA + OB
Nhng OB = AH AB < OA + AH = OH = a
Do A, B cũng chuyển động và thoả mãn ABCD là hình vuông
Nên khi A H, B O AB = OH = a
Do đó: OA + OB + AB OH + OH = 2a
Vậy CAOB 2a (CAOB : chu vi AOB)
(Chu vi của AOB có giá trị lớn nhất bằng 2a)
Ta có bài toán mới.
Bài toán 4c:
Cho hình vuông OHPQ cạnh là a Trên các cạnh HO, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = HD
a) Chứng minh: Tứ giỏc ABCD là hình vuông
b) Khi A chuyển động trên OH và thoả mãn ABCD là hình vuông
và (A O, A H) Chứng minh CAOB < 2a
Từ suy xét ta dễ chứng minh đợc điều này
Khai thác 5:
Tiếp tục không dừng lại ta suy xét tiếp Ta luôn có OB + OA = OH = a không đổi (vẫn nội dung bài tập 4)
Nh vậy OA + OB = a (const)
Suy ra OA.OB lớn nhất khi OA = OB (Tổng 2 số dơng không đổi tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau)
Để ý thì thấy rằng: OA OB = 2SAOB (SAOB diện tích AOB)
Mà hình vuông OHPQ có SOHPQ = a2 (SOHPQ là diện tích tứ giỏc OHPQ)
Và SOHPQ = SABCD + 4SAOB Hay SABCD = a2 - 4 SAOB
Nếu SAOB lớn nhất thì SABCD nhỏ nhất là SAOB nhỏ nhất thì SABCD lớn nhất
Mà SAOB lớn nhất khi OA.OB lớn nhất vì lý luận trên OA.OB lớn nhất khi
OA = OB
Trang 14Từ đó OA = OB = 2
OH
= 2
a
Hay A là trung điểm OH, B là trung điểm OQ ?
Ta có bài toán mới.
Bài toán 5c:
Cho hình vuông OHPQ cạnh là a Trên OH, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B,
C, D sao cho OA = QB = PC = HD
a) Chứng minh ABCD là hình vuông
b) A chuyển động trên OH
(vẫn thoả mãn ABCD là hình vuông)
Xác định vị trí A để SABCD là nhỏ nhất
Tìm giá trị đó
H
ớng dẫn:
a) Dễ chứng minh đợc:
AOB = DHA (c.g.c)
AB = AD Hình 5
Tơng tự CB = CD = AB
Vậy tứ giỏc ABCD là hình thoi (1)
1 1
A D mà A2 D 1 900 suy ra A2 A3 900(2)
Từ (1) (2) ABCD là hình vuông
b) Ta có SOHPQ = a2
Theo kết quả trên AOB = BQC = CPD = DHA (c.g.c)
SABCD = a2 - 4 SAOB = a2 - 2.OA.OB
Do OA + OB = OA + AH (vì OB = AH) OA + AH = OH = a
Không đổi nên tích OA.OB lớn nhất khi OA = OB = 2
a
Nghĩa là OA.OB 2
a
2
a
= 4
2
a
Vậy SABCD a2 - 2 4
2
a
= a2 - 2
2
a
= 2
2
a
Do đó SABCD = 2
2
a
là giá trị nhỏ nhất khi đó: OA = OB = 2
OH
Chứng tỏ A là trung điểm của OH
2.4.Hiệu quả của SKKN
P Q
I
H
D C
B
P Q
I
H
D C
B
A 1