* Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BFEC, tứ giác AFHE là các tứ giác nội tiếp. [r]
Trang 1* Hệ quả: Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
(O,R) có:
Góc BAC nội tiếp chắn cung BC
Góc EDF nội tiếp chắn cung EF
Góc BAC nội tiếp chắn cung BC
Góc BDC nội tiếp chắn cung BC
=>^BAC = ^BDC
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
(O,R) có:
Góc BAC nội tiếp chắn cung BC
Góc BOC ở tâm chắn cung BC
=>^BAC = 12BOC^ hay ^BOC=2 ^ BAC d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
(O,R) có:
^
BACnội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC ^BAC= 90 0
Trang 23 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
* Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
4 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn:
* Định lý: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
5 Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn:
* Định lý: Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung
Trang 3Các góc ADB AEB AFB cùng nhìn đoạn AB
=> A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông Các đểm
A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB.
Các gócACB ADB AEB AFB 900 cùng nhìn đoạn AB
A, B, C, D, E, F thuộc một đường tròn đường kính AB.
7 Tứ giác nội tiếp:
* Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một dường tròn được gọi là
tứ giác nội tiếp đường tròn.
* Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) có: ^A+ C = 180^ 0
Cho ABC (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BFEC, tứ giác AFHE là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AF.AB = AE.AC
Bài 2:
Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyếntại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E chứng minh:
a) BD2 = AD.CD
b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
c) BC song song với DE
a) Tứ giác AHEC nội tiếp được trong một đường tròn Xác định tâm I của đường tròn đó
b) AHE là tam giác cân
Trang 4c) CB là tia phân giác của góc ACE
Bài 4:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với (O) (B,C là các tiếp điểm) AO cắt BC tại H
a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Cho ABC (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BFEC, tứ giác AFHE là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AF.AB = AE.AC
Giải: -GT, KL
-Hình vẽ:
O D
b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp ECB BFE1800
mà AFE BFE180 ( 2 gãc kÒ bï ) 0 nên AFE C
lại có góc A chung do đó AEF ACB ( g.g)
Trang 5b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.
c) BC song song với DE
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
2
sñ AB sñBC BDC
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Mà AB = AC (ABC cân tại A) AB AC
Do đó BEC BDC
D và E cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau.
Suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác BCDE là tứ giác
nội tiếp.
c) BC song song với DE
Ta có ABC ACB (ABC cân tại A)
Trang 6 1800
ACB BCD (hai gĩc kề bù)
mà BED BCD 1800(tổng 2 gĩc đối của tứ giác nội tiếp)
Do đĩ : ACB BED (cùng bù với BCD )
Hay ABC BED
Mà ABC và BED ở vị trí đồng vị nên BC // ED.
a) Tứ giác AHEC nội tiếp được trong một đường trịn Xác định tâm I của đường trịn đĩ
b) AHE là tam giác cân
c) CB là tia phân giác của gĩc ACE
Do đĩ: Tứ giác AHEC nội tiếp
Hai điểm H và E cùng nhìn AC cố định dưới một gĩc vuơng nên tâm I của đường trịn
ngoại tiếp là trung điểm của AC.
b) Tam giác ABD cĩ AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
ΔABD cân tại A ABD cân tại A
=> AH cũng là đường phân giác của gĩc BAD
=> BAH =HAD (1)
Ta cĩ BA AC Þ BA là tiếp tuyến của đường trịn tâm I
=> BAH =HEA ( Cùng bằng
1
2sđAH
) (2)
Từ (1) và (2) => HAD =HEA => ΔABD cân tại A HAE cân tại H
c) Ta cĩ ΔABD cân tại A HAE cân tại H => HA =HE => HA HE=
E
D H
C I
B
A
Trang 7=> HCA HCE = ( Góc nội tiếp chắn các cung HA và cung HE)
=> CB là tia phân giác của góc ACE.
Bài :
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với (O) (B,C là các tiếp điểm) AO cắt BC tại H
a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
OB AB ( Tính chất của tiếp tuyến) OBA 900
OC AC ( Tính chất của tiếp tuyến) OCA 900
AB = AC và OAB OAC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
ABC cân tại A có AH là phân giác nên cũng là đường cao
Trang 8Chương 3: GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
CÁC ĐỊNH NGHĨA:
1 Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
2 a) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn cung đó.
b) Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 O và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) c) Số đo của nửa đường tròn bằng 180 O
3 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường
tròn đó.
4 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh là tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp
tuyến và một cạnh chứa dây cung.
5 Tứ giác nội tiếp đ.tròn là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đ tròn.
CÁC ĐỊNH LÍ:
1 Với hai cung nhỏ trong một đ.tròn, hai cung bằng nhau (lớn hơn) căng hai dây bằng nhau (lớn hơn) và ngược lại.
2 Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau và ngược lại.
3 Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm và vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Số đo của góc nội tiếp hoặc góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
4 Số đo của góc có đỉnh ở bên trong (bên ngoài) đường tròn bằng nửa tổng (hiệu) số đo của hai cung bị chắn.
5 Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 O có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
6 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại.
a) Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc không đổi
là hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng đó (0 < < 180O)
b) Một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180Othì nội tiếp được đường tròn và ngược lại.
c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
d) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 O
e) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
f) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc
II TR C NGHI M ẮC NGHIỆM ỆM :
1) Trên hình 1 , biết AOC 100 0
* Số đo ACx bằng :
A 500 B 1000
100 m x O
A
C B
H 1
Trang 95) Tìm câu sai trong các câu sau đây
A Hai cung b ng nhau thì có s đo b ng nhauằng : ố đo của x là : ằng :
B Trong m t đội tiếp đường tròn có ường kính của đường tròn (O) ng tròn hai cung s đo b ng nhau th b ng nhauố đo của x là : ằng : ỡ bằng nhau ằng :
C Trong hai cung , cung nào có s đo l n h n th cung l n h n ố đo của x là : ớn hơn thỡ cung lớn hơn ơn thỡ cung lớn hơn ỡ bằng nhau ớn hơn thỡ cung lớn hơn ơn thỡ cung lớn hơn
D Trong hai cung trên cùng m t đội tiếp đường tròn có ường kính của đường tròn (O) ng tròn, cung nào có s đo nh h n th nh h n ố đo của x là : ỏ hơn thỡ nhỏ hơn ơn thỡ cung lớn hơn ỡ bằng nhau ỏ hơn thỡ nhỏ hơn ơn thỡ cung lớn hơn
6) T giác ABCD n i ti p trong m t đứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có ội tiếp đường tròn có ết AD là đường kính của đường tròn (O) ội tiếp đường tròn có ường kính của đường tròn (O) ng tròn n u có m t trong các đi u ki n sau :ết AD là đường kính của đường tròn (O) ội tiếp đường tròn có ều kiện sau : ện sau :
a) DAB DCB 900 b) ABC CDA 1800 c) DAC DBC 600 d) DAB DCB 6007) Trong m t đội tiếp đường tròn có ường kính của đường tròn (O) ng tròn, góc t o b i m t tia ti p tuy n và m t dây cung ch n hai cung b ngạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung chắn hai cung bằng ởi một tia tiếp tuyến và một dây cung chắn hai cung bằng ội tiếp đường tròn có ết AD là đường kính của đường tròn (O) ết AD là đường kính của đường tròn (O) ội tiếp đường tròn có ắn hai cung bằng ằng :nhau thì b ng nhau ằng :
10)Trong m t đội tiếp đường tròn có ường kính của đường tròn (O) ng tròn, góc n i ti p có s đo b ng n a s đo c a góc tâm cùng ch n m tội tiếp đường tròn có ết AD là đường kính của đường tròn (O) ố đo của x là : ằng : ửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một ố đo của x là : ủa đường tròn (O) ởi một tia tiếp tuyến và một dây cung chắn hai cung bằng ắn hai cung bằng ội tiếp đường tròn có cung
8) Đường kính của đường tròn (O) ng kính đi qua đi m chính gi a m t cung thì vuông góc v i dây căng cung y ểm chính giữa một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy ữa một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy ội tiếp đường tròn có ớn hơn thỡ cung lớn hơn ấy
9)T giác có t ng hai góc b ng 180ứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có ổng hai góc bằng 180 ằng : 0 thì n i ti p đội tiếp đường tròn có ết AD là đường kính của đường tròn (O) ược trong đường tròn c trong đường kính của đường tròn (O) ng tròn
E 9) Trong hai cung trong m t đội tiếp đường tròn có ường kính của đường tròn (O) ng tròn, cung nào có s đo nh h n thì nh h n ố đo của x là : ỏ hơn thỡ nhỏ hơn ơn thỡ cung lớn hơn ỏ hơn thỡ nhỏ hơn ơn thỡ cung lớn hơn
B C
A D
H 3
n O B M
D
A
Trang 10II Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi P, Q, R lần lượt là giao của các tia phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh: AP QR
Bài 2:Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O D là 1 điểm di động trên cung nhỏ
AC Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao của AD và BC Chứng minh EA BF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn ( AB>BC) nội tiếp đường tròn (O) D là điểm chính giữa của cung
AC Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và BC Chứng minh : ^
AED<¿CFD^¿
B Ôn tứ giác nội tiếp
I LÝ THUYẾT
1 Điền vào dấu … để được khẳng định đúng:
a) Tứ giác nội tiếp là………
………
b) Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối ………
2 Nêu các cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
II Bài tập.
Trang 11Bài 1 Cho đường tròn tâm O Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC
với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm) Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại
M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D Chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp được trongđường tròn Xác định tâm các đường tròn đó
Bài 2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R CD là đường kính di động Gọi d là tiếp tuyến
tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn
Bài 3 Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn
(O), (C, D là các tiếp điểm) Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia
BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD
a Chứng minh BM.BN = BH.BO
b Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp
Bài 4 Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) tại E
và F (ME < MF) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO)
a Chứng minh MA.MB = ME.MF
b Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
Bài 5
Cho đường tròn (O;R) Từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với đường tròn (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kỳ (M khác A) kẻ cát tuyến MNP Gọi K là trung điểm NP, kẻ liếp tuyến MB( B là tiếp điểm) Kẻ AC vuông góc với MB, BD vuông góc MA Gọi H là giao của AC và BD, I
là giao của OM và AB
1.Chứng minh:
a Tứ giác AMBO nội tiếp
b Năm điểm O; K;A; M ;B cùng nằm trên một đường tròn
Câu 1: Dựa vào các hình hãy điền vào… để được khẳng định đúng:
Hình 1: ^BKy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
^
BKy bằng một nửa cung lớn BK
Hình 2: COB là góc ở tâm^
^
COB bằng số đo cung chắn ( Bằng số đo cung BC).
Hình 3:^ABD là góc nội tiếp.
^ABD bằng một nửa số đo cung AD.
Trang 12Bài 2:
Trang 13Bài 3:
B Ôn tứ giác nội tiếp.
I LÝ THUYẾT
1 Điền vào dấu … để được khẳng định đúng:
a) là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn
b) bằng 1800
2.
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
Cách 1: Chứng minh 4 điểm cách đều 1 điểm (Theo định nghĩa)
Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
Cách 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc Cách 4 : Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.
II Bài tập.
Bài 1
Trang 14Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp
Ta có: OM ⊥ ME (gt) nên góc OME bằng
OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc OBE bằng
Vậy, tứ giác EBMO có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OE nên tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE
Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp
Có OM ⊥ OD (gt) nên góc OMD bằng
CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng
Vậy, tứ giác DCOM có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OD nên tứ giác DCOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OD
Bài 2.
Ta có:
Có: góc ADB bằng (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Từ (1) và (2) suy ra:
⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn
Trang 15Do (1) ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH:
Mặt khác, hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO cho ta:
MH.MO = ⇒ MA.MB = MH.MO
⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn
Bài 5
1.a)Ta có: MA, MB là các tiếp tuyến, A và B là tiếp điểm Nên OAM^ = 900, OBM^ = 900.Suy ra: ^OAM+¿^OBM¿ = 1800 Do đó tứ giác MAOB nội tiếp
Trang 161.b Vì K là trung điểm của NP nên OK NP( Quan hệ đường kính và dây cung).
Tứ giác OKMB có ^OKM+¿OBM^¿ = 1800 Do đó tứ giác MKOB nội tiếp Suy ra : M, K, O, B nằm trên đường tròn đường kính OM Mà M, A ,O, B cũng nằm trên đường tròn đường kính OM Do đó: Năm điểm O; K;A; M ;B cùng nằm trên một đường tròn đường kính OM
1.d )Ta có : OBMB,( gt) , CA MB (gt) Suy ra OB// AC hay OB// HA
Tương tự ta cũng có OA// HB nên tứ giác OAHB là hình bình hành mà OA = OB nên OAHB là hình thoi
1.e) Vì OAHB là hình thoi nên OH BA mà OM AB suy ra O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ
có 1 đường thẳng vuông góc với AB
Trang 17
Câu 3 Cho hình vẽ Biết góc BOC = 1100
Số đo của cung BnC bằng: Hãy chọn kết quả đúng:
A 1100; B.2200; C 1400; D 2500
Câu 4. chọn câu sai trong trong các câu sau đây
AHai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau
B.Trong một đường tròn hai cung số đo bằng nhau thì bằng nhau
C.Trong hai cung , cung nào có số đo lớn hơn thì cung lớn hơn
D.Trong hai cung trên cùng một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn
Câu 5 Cho đường tròn (O), vẽ góc nội tiếp ACB có số đo 60 0 Khi đó cung lớn AB có số đo là:
Câu 6 Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp chắn cung 80 0 là :
Câu 7 Xem hình veõ sau,
Biết EGF = 1480 Số đo góc BAC là:
Trang 18H1 x
H3
o 60 n
C D
B A
C
B
A D
x H5
o 78
Câu 14 Trong hình 4 Biết AC là đường kính của (O) Góc ACB = 300
Số đo góc x bằng:
A 400 B 500 C 600 D 700
Câu 15 Trong hình 8 Biết cung AmB = 80O và cung CnB = 30O.
Số đo góc AED bằng:
Trang 1960
B A
(B)
65
65
D C
C B
Câu 17 Cho hình 14 Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai:
A Bốn điểm MQNC nằm trên một đường trịn
(h.14) M
Q N
A
B Bốn điểm ANMB nằm trên một đường trịn
C Đường trịn qua ANB cĩ tâm là trung điểm đoạn AB
D Bốn điểm ABMC nằm trên một đường trịn
Câu 18 Tứ giác nào sau đây khơng nội tiếp được đường trịn?
(D) (C)
(B) (A)
Câu 20 Hãy chọn khẳng định sai Một tứ giác nội tiếp được nếu:
A Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh đối diện
B Tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối diện bằng 1800
C Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một gĩc α
D Tứ giác cĩ tổng hai gĩc bằng 1800
Câu 21 Trong các hình sau đây hình nào không thể nội tiếp được trong một đường tròn:
A Hình vuông B Hình chữ nhật C Hình bình hành D Hình thang cân
Câu 22 Tứ giác MNPQ nội tiếp được trong một đường trịn nếu: