Mô hình toán học trong sinh thái và môi trường

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN Ngành: Toán ứng dụng. Chuyên ngành: Toán học trong Sinh thái - Môi trường[r]

>ẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI

* * * * * * * * * * *

MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG SINH THÁI

VÀ MÔI TRƯỜNG Mathematical Models in Eco-systems and Environment

MÃ SÓ: QG- 06-02

CHỦ TRÌ ĐÈ TÀI:

G S T S N g u y ễ n H ữ u D ư , ĐHKH Tự nhiên CÁC CÁN B ộ THAM GIA:

- ThS Tổng Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên Thư ký

MUC LUC • •

Trang

Báo cáo tóm tắt bằng tiếng Việt 3

Báo cáo tóm tắt bằng tiếng A nh 6

Nội dung chính của đề tài 9

Kết luận 18

Tài liệu tham khảo 19

Phụ lục I: Các bài báo liên quan đến đề tà i 20

Phụ lục II: Danh mục luận án, luận văn liên quan đến đề tài 98

Tóm tắt các công trình NCKH của cá nhân 106

Scientific Project 109

Phiếu đăng ký đề tải 111

BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ T H ự C HIỆN ĐÈ TẢI QG-06-02

1 Tên đề tài:

MÔ HÌNH T O Á N HỌC TRONG SINH THÁI V À MÔI TRƯỜNG

Mathematical Models in Eco-systems and Environment

2 Mã số: QG-06-02

4 Chù nhiệm đề tài: GS TS Nguyễn Hữu Dư

5 Các cán bộ phối hợp nghiên cứu:

6 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

1 Đề tài nhằm tập hợp lực luợng, gồm các chuyên gia trong lĩnh vực Toán-Sinh cùng nhau sử dụng công cụ toán học để nghiên cứu lý thuyết sự phát triển của các quần thể cũng như giải quyết một số bài toán được đặt ra trong quá trình phát triển của tự nhiên.

2 Việc hiểu biết động học của các quần thể được mô tả bởi các mô hình này khi chúng phát triển trong môi trường xác định hoặc ngẫu nhien se giúp cho chúng ta giải thích được một số hiện tượng tự nhiên và giải một số các bài toán liên quan đến sinh thái và môi trương ma tự nhiên và xã hội đã đặt ra Cụ thể chúng ta sẽ nghiên cứu các bài toán ssu:

a) Nghiên cửu một số vấn đề về lý thuyết như động học của quần thể, tính ốn định của các mô hình toán học trong sinh thái môi trường.

3

b) Thiết kế và chạy thử nghiệm một số chương trình giải những bài toán liên quan đến thực tế trong các lĩnh vực rừng ngập mặn cũng như cúm gà v.v

c) Tạo điều kiện tốt cho NCS và học viên cao học ngành Toán- Sinh làm việc.

> Nội dung nghiên cứu

1 Nghiên cửu dáng điệu nghiệm trong quá trình phát triển lâu dài của quần thể thú mồi chịu nhiêu ngâu nhiên.

2 Sự phát triển bền vững của các quần thể được mô tả bởi phương trình động học trên time-scale.

3 Nghiên cứu dáng điệu động học của quần thể thú - mồi với mô hình Modified Leslie - Gower và Holling - Type II Schemes.

7 Các kết quả đã đạt được

> Kết quả về nghiên cứu khoa học

1 Chỉ ra rằng đối với quần thể thú mồi (gồm có một thú và một mồi) phát triển trong mõi trường ngẫu nhiên, khi thời gian dần ra vỏ cùng,

sự biến động của số lượng các loài rất lớn số lượng của các loài dao động trong khoảng từ 0 đến vô cùng.

2 Giả thiết số lượng các cá thể của các loài của một quần thể được mô tải bởi phương trình động học trên time-scale, chúng tôi chỉ ra các điều kiện để hệ ổn định theo xấp xỉ ban đầu, sau đó chúng tôi chuyển định lý nổi tiếng Perron trong phương trình vi phân sang cho time - scale.

3 Nếu quần thể thú mồi được mô hình hóa bởi mô hình Modified Leslie

- Gower và Holling - Type II Schemes, ta chỉ ra điều kiện đẻ hệ phát triển bền vững, hệ ổn định hoặc phát triển tuần hoàn Các điều kiện này là mạnh hơn các điều kiện đã có của các tác giả đã nghiên cứu trước.

4 Đã hoàn thành viết được 01 cuốn sách “Lý thuyết độ đo” và đang tiến hành các thủ tục in ấn Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho đại học, cao học hoặc tài liệu chuyên khảo cho NCS ngành toán học, toán cơ và toán tin ứng dụng.

Các kết quả nghiên cứ u của đề tài đư ợ c thể hiện trên 03 bài báo đăng ở tạp chí quốc té chuyên ngành và 01 báo cáo tại h ộ i n g h ị quốc

tế tại N hật Bản tháng 3 năm 2007 và bản thảo của 01 cuốn sách.

4

> Kết quả về đào tạo

1 Đề tài đã góp phần đào tạo được nhiều cử nhân khoa học và cử nhân khoa học tài năng, trong đó có sinh viên Trịnh Khánh Duy là thủ khoa của Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2007.

2 Đã có 07 học viên cao học bảo vệ thành công luận văn trong khuôn khổ đề tài.

3 Đang đào tạo 06 học viên cao học trong khuôn khổ đề tài.

4 Đề tài đã hỗ trợ đắc lực cho 05 NCS của khoa Toán - Cơ - Tin học có tên sau đây:

5 Đề tài đã tổ chức 01 hội thảo “Mô hình toán học trong sinh thái, môi trường”, tại Thái Nguyên, tháng 4 năm 2007.

8 Tình hình tài chính của đề tài

Đề tài được cấp 60.000.000d trong hai năm 2006 và 2007 và được chi vào các mục sau đây:

GS TS Nguyễn Hữu Dư

XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

I llf*l I »»1 ■ rr— mm >«>

BREIF REPORT ON THE PERFORMANCE

4 Head of research group: Ph.D Prof Nguyen Huu Du

5 Participants:

University of National Economy Secretery

Ph.D Nguyễn Minh Mần

Ph D Trinh Tuan Anh

MSc Tong Thanh Trung

Ph D Le Dinh Dinh

BA Vu Hai Sam

BA Nguyen Trong Hieu

6 The aim and content of the project:

> The aim o f the p ro je ct

1 To find a buget and gather a group of experts in mathematical modeling for ecosystems and environment in order to investigate some mathematical modelings describe the evolution of a population

in an ecosystem under the effect of deterministic or random environment.

2 Throughout this investigation, we can explain some nature phenomens and can solve some practical problems posed during the development of the economy and sociality Concretelly:

a) Carry out some theorical studies like the dynamic behavior, stability property of a population consisting of two competative species or a prey-predator system.

b) Setup a model for the growth of mangrow in south of Vietnam or the birth flu disease Design an algorithm to find the numerical solution.

c) Create a good working conditions for Ph.D and master students of Bio-mathematics.

6

> The content o f the p ro je ct

1 We study the assymptoctic behavior of a prey-predator system under the effect of random factors It is shown that as the time tends to infinity, the dynamics of systems are very chaotic.

2 We investigate the dynaics of some populations on the time-scale.

3 To learn about the dynaics of prey-predator population of modeling

of Modified Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes.

4 Complete a book of “Measure and Integral” and submit it for

2 Suppose that the quantity of the species of a population discribes by a dynamic equation on time-scale We prove the stability by the first approximation and prove a Perron theorem type for time-scale.

3 !f a prey-predator population is modeling by Modified Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes We give some conditions ensuring the persistence, stability of population and the existence of a periodic solution.

4 Complete a book of “Measure and Integral” and submit it for publishing at the Publishing House of Vietnam National University, Hanoi This book can be used for Ph.D or master students of mathematics, mechanics.

The researching results are realised under the form o f 3 papers

p ublished in in te rn a tio n a l jo u rn a ls and one re p o rt a t in te rn a tio n a l

conferences, March 2007 in Japan.

> E ducational and training results

1 Many undergraduate students have finished their study under the support of this project.

2 There are 07 master students who have finished their thesis under the

7

support of this project.

3 The project has been supporting to the Ph.D students of mathematics.

• Hoang Thi Ngoc Yen, • Vu Hai Sam • Pham Van Quoc,

• Tran Minh Ngoc • Tong Thanh Trung.

4 The prpect has suppoted for a conference “Mathematical Models in Biology and Invironment’, organized at Thai Nguyen, April 2007.

8 Bugets

The project has been sponsored 60.000.000VND in two years 2006 and

2007 This fund covers the following iterms:

8

MỞ ĐÀU

Việc đưa các kiến thức trong trường đại học phục vụ cho công cuộc đổi mới hiện nay là một mục tiêu chiến lược hết sức quan trọng của nền giáo dục đại học Việt Nam Toán học cũng là một ngành khoa học nên phát triển theo hướng đó.

Trong những năm vừa qua, nền kinh tế quốc dân đã phát triển nhanh chóng Sự phát triển nhanh chóng đó, đặc biệt là công nghiệp đã mang lại

sự phồn vinh cho đất nước nhưng đồng thời cũng đã đặt ra nhiều thách thức, nhiều bài toán lớn cho môi trường tự nhiên - xã hội Các tác động của

sự phát triển kinh tế và công nghiệp lên môi trường rát mạnh mẽ theo cả chiều hướng tích cực lẫn tiêu cực: bên cạnh hệ thống giao thông được cải tiến, các kênh rạch được chú ý cho thông thoáng hơn, đường xá sạch sẽ thi còn có các yếu tố tiêu cực khác như các khu rừng bị tàn phá, tình hình ô nhiễm không khí và các nguồn nước ngày càng nghiêm trọng Những tác động xấu này đã kéo theo những biến động to lớn trong các hệ sinh thái ở Việt Nam, đặc biệt là kéo theo sự thay đổi số lượng và chất lượng các loài Việc tìm hiểu sự biến động này của các loài trong một hệ sinh thái là vấn đề hết sức quan trọng và cấp bách.

Vì vậy chúng tôi đăng ký đề tài đặc biệt này để tập hợp lực luợng, gồm các chuyên gia trong lĩnh vực Toán-Sinh, tạo nguồn kinh phí cho việc nghiên cứu một số mô hình toán học mô tả sự phát triển của các loài trong các hệ sinh thái trong một môi trường đã xác định hoặc môi trường ngẫu nhiên Các mô hình này sẽ giúp cho chúng ta giải một số bài toán liên quan đến sinh thái và môi trường mà tự nhiên và xã hội đã đặt ra.

Một trong những bài toán quan trọng của sinh thái-môi trường là nghiên cứu dáng điệu của số lượng các cá thể trong hệ trên khoảng thời gian tâu dài Trong tiến trình phát triển của mình, một vải loài của hệ có thể bị diệt vong nhưng cũng có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào

đó Việc biết thông tin này sẽ giúp cho các nhà hoạch định chiến lược đưa

ra những quyết sách đúng đắn để khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa ra những chính sách kịp thời để đảm bảo cho sự phát triển bền vững của môi trường.

Sự phát triển của hệ sẽ phức tạp lên rất nhiều nếu như có sự tham gia của các yếu tố ngẫu nhiên như khí hậu, di nhập cư

Mục tiêu của đề tài là đưa ra những kết quả lý thuyết về dáng điệu tiệm cận của một hệ sinh thái được mô tả bởi phương trình vi phân Lotka-

9

Voltera trong môi trường ngẫu nhiên như là phương trình vi phân Lotka- Volterra chịu nhiễu ồn thực, òn trắng cũng như các mô hình tất định.

Đề tài QG 06-03 được thực hiện từ tháng 6 năm 2006 đến tháng 10 năm

2007 đã giải quyết một số vấn đề như: Chỉ ra rằng đối với quần thể thú mồi (gồm có một thú và một mồi) phát triển trong môi trường ngẫu nhiên, khi thời gian dần ra vô cùng, sự biến động của số lượng các loài rất lớn số lượng của các loài dao động trong khoảng từ 0 đến vô cùng Giả thiết số lượng các cá thẻ của các loài của một quần thể được mô tải bời phương trình động học trên time-scale, chúng tôi chỉ ra các điều kiện đẻ hệ ổn định theo xấp xỉ ban đầu, sau đó chúng tôi chuyển định lý nổi tiếng Perron trong phương trình vi phân sang cho time -scale Nếu quần thể thú mồi được mô hình hóa bởi mô hình Modified Leslie - Gower and Holling - Type II Schemes, ta chỉ ra điều kiện đề hệ phát triẻn bền vững, hệ ổn định hoặc phát triển tuần hoàn Các điều kiện này là mạnh hơn các điều kiện đâ có của các tác giả đã nghiên cứu trước Trong khuôn khổ của sự trợ giúp của

đề tài, chúng tôi đâ hoàn thành viết được 01 cuốn sách “Lý thuyết độ đo” và đang tiến hành các thủ tục in ấn Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho đại học, cao học hoặc tài liệu chuyên khảo cho NCS ngành toán học, toán cơ và toán tin ứng dụng.

Các kế t quả nghiên cửu của đề tài đư ợ c thể hiện trên 03 bài báo đăng ở tạp ch í quốc tế chuyên ngành ịxem các tài liệu tham khảo [1,2,3]) và 01 báo cáo tại h ộ i n g h ị quốc tế tại Nhật Bản tháng 3 năm

2007 (tài liệu tham khảo [4]) và bản thảo của 01 cuốn sách.

10

Chương 1.

ĐỘNG LỰC CỦA HỆ THÚ MỒI TRONG MÔI TRƯỜNG NGÃU NHIÊN

Trước hết, chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai loài, trong đó loài thứ nhất là con mòi của loài còn lại Chúng ta cũng giả thiết hệ được phát triển trong hai chế độ khác nhau của môi trường và sự chuyển đổi giữa các chế

độ này tuân theo quá trinh quá trình Markov bước nhảy Như vậy, nếu gọi

x (t) và y {t) là số lượng tương ứng của tương ứng loài mồi và loài thú thì

chúng được mô tả bởi phương trình Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn thực

Để trả lời được câu hỏi này, ta tiến hành phân tích mối quan hệ của hai hệ tất định (2a) và (2b) Chúng ta chỉ ra rằng sau mỗi lần chuyển đổi tại

vị trí thích hợp, quỹ đạo của hệ sẽ nở ra Cụ thể chúng tôi đã chứng minh được các định lý và được minh họa như sau:

xuất hiện vô hạn lần với xác suất 1.

Vì vậy, định lý này cho chúng ta biết, nhờ tính chất của quá trình markov, ta có thể thực hiện một loạt chuyền đổỉ tại vị trí thích hợp để cho quỹ đạo ra khỏi một tập compact bất kỳ Việc ra khỏi tập compact đã chứng

tỏ rằng trong môi trường ngẫu nhiên, hệ phát triển hết sức hỗn loạn và chúng tôi đã chứng minh được rằng

limsup^(0 = °°; liminf>'(/)=0

Các tính chất này được minh họa bởi hình vẽ sau đây

12

Nhìn vào hình trên ta tháy số lượng của các loài khi thì trở nên rất nhỏ bé, khi thì trở nên rất lớn và như vậy thì hệ không phát triển bền vững Cũng như trong mô hinh cạnh tranh đâ được nghiên cứu, hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo dao động hết sức phức tạp số lượng các loài có thể dao động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức vô cùng) và về thực tế thì hệ có nguy cơ bi tiêu diệt.

Hiện tại chúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu mô dáng điệu của hệ được

mô tả bởi phương trình:

Ị x(t)=xự)(a(m - b ( m m - c(ỉ(t))y(0)

Việc mô tả bằng kỹ thuật số đã chỉ ra rằng hệ (3) ổn định và tồn tại tập hút

và tập đẩy Vì vậy thời gian tới, chúng tôi tập trung để giải quyết vấn đề này Các kết quả này được đăng chi tiết trong tài liệu tham khảo [1],

Chương 2

ĐỘNG LỰC CỦA QUẰN THẾ TRÊN TIME-SCALE

Việc nghiên cứu phương trình động học trên thang thời gian đã chứng

tỏ phù hợp hơn với thực tế Thật vậy, sự phát triển của một cá thể tùy thuộc theo từng thời kỳ, khi thì nó chỉ thay đổi sau một khoảng thời gian cố định (như sau kỳ ngủ đông chẳng hạn) và sau đó thì phát triển liên tục (thí dụ

13

gặp kỳ thời tiết thuận lợi) Vì thế chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trinh động học trên time-scale.

Lý thuyết động học trên time-scale được đưa ra đầu tiên vào năm 1988 bởi Stefan Hilger Một time-scale lả tập con đóng của R Chúng ta có thẻ dẫn ra các định nghĩa về đạo hàm và tích phân trên time-scales Hàm mũ được định nghĩa là nghiệm của phương trình

x A (t) = q(t)xự); *(0) = 1.

Xét phương trình

Định nghĩa: Nghiệm tầm thường x=0 của phương trình (4) gọi là ổn định mũ

nếu tồn tại các hàng số K và m sao cho

Định lý: Nếu với mỗi hàm h() e B C jC IT), nghiệm của (8) bị chặn thì hệ thuần nhất (7) sẽ ổn định mũ.

Áp dụng vào các bài toán sinh thái: nếu hệ có n loài Giả sử

loài tương tác với nhau theo phương trình động học trẽn time-scale bởi (7)

và ta cũng giả thiết thêm rằng hệ ổn định mũ Khi đó, nếu h(t) là cường độ

nhập hoặc di cư của các loài tại thời điểm t Khi đó số lượng các loài

yCO = (yj(t), y2(t), ,yn(t))

tại thời điểm t tuân theo phương trình (8) Định lý trên nói với chúng ta rằng

nếu cường độ nhập hay di cư h(t) giới nội thì số lượng các cá thể trong hệ cũng sẽ giới nội.

Các kết quả này được đăng chi tiết trong tài liệu tham khảo [2].

Chương 3.

ĐỘNG LỰC CỦA QUÀN THẺ THÚ MỒI MODIFIED LESLIE - GOWER VÀ

HOLLING- TYPE II SCHEMES

Xét hệ sinh thái có hai loài quan hệ với nhau theo kiểu thú-mồi Khác với mục trước, chúng ta giả thiết rằng hệ được phát triển trong môi trường tất định.

Gọi xự ) và y ự ) là số lượng tương ứng của loài mồi và loài thú và

chúng được mô tả bởi phương trình Modified Leslie - Gower và Holling - Type II Schemes

x(t) = x(0(a(t ) - b{t)x{t) - c(t, x(t))y(t))

Hàm c(t,x) được gọi là hàm đáp ứng kiểu Bendison de Angelis Nó mô

tả khả năng bắt mồi của con thú tại thời điểm ị Mô hình này được dẫn vào

15

đầu tiên bởi Leslie(1960) Từ đó, nó đã được quan tâm rất nhiều và tùy

thuộc theo dạng của hàm c (t,x ) mà người ta phân loại thành 5 mô hình

M.A.A Alaoui và M.D Okiye's đã đề cập đến mô hình kiểu 2

3 2 Ồn định tiệm cận

Định nghĩa: Hệ (9) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu hai nghiệm

dương bất kỳ của (9) thỏa mãn đánh giá

3 3 Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn

Định lý: Giả sử các điều kiện (A1) - (A2) thỏa mãn Hơn nữa, giả sử các hệ

số của hệ (9) là những hàm tuần hoàn có cùng một chu kỳ T Khi đó hệ có một nghiệm tuần hoàn duy nhất ổn định tiệm cận.

thú mồi với Modified Leslie - Gower vả Holling - Type II Schemes sẽ phát triển trường tòn Hơn nữa, chúng sẽ phát triển ổn định Điều đó nói lên rằng, tại mỗi thời điểm nhất định, hệ bị tác động bởi các yếu tố ngẫu nhiên,

1 7

£ A l A - A r ,

T P U N G Ĩ - V - T r4 *Mi ; • f ' ; I

dù có một xác suất nào đó của sự diệt vong, nhưng về trung bình thì phát triển bền vững.

Các kết quả này được đăng chi tiết trong tài liệu tham khảo [3]

KÉT LUẬN

Với nguồn kinh phí được cấp của đề tài và đề cương đã đề ra, chúng tôi đã tập hợp được một lực lượng đông đảo gồm các nhà nghiên cứu ứng dụng toán học trẻ và đội ngũ học viên cao học, nghiên cửu sinh để nghiên cứu một số mô hình toán học trong sinh thái và môi trường Có ba mô hình chính đã được giải quyết là mô hình thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên,

mô hình động học trên time-scale, mô hình thú mồi có hàm đáp ứng kiểu Modified Leslie - Gower và Holling Các kết luận từ mô hình này đều nói lên rằng trong một môi trường, khi ché độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu cũng như chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi một cách ngẫu nhiên thì sớm hay muộn sẽ có một loài bị diệt vong, Tuy nhiên nếu tính về mặt trung bình thì ở từng thời điểm mô hình vẫn phát triển bền vững Các kết luận này đóng vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn thực hành Nó giúp cho các nhà đầu tư

18

hoach định chiến lược để kịp thời can thiệp vào hệ nhằm khai thác tối ưu hệ

và tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.

TÀI LIỆU THAM KHÀO

Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo khoa học sau:

[1] N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey

environment, đang in trong tạp chi Journal of Mathematical Analyse and Applications, 323 (2006) 938-957.

[2] On the Exponential stability of Dynamic Equations on Time Scales, J Math Anal Appl 331(2007), pp 1159-1174.

[3] N.H Du, N.M.Man and T.T.Trung Dynamics of Predator-Prey Population

with Modified Leslie - Gower and Holling - Type II Schemes, J Acta Mathematica Vietnamica, 99, vol 32, Number 1(2007), 99-111.

[4] Plenary talk at "Internatinal Symposium on Dynamical Systems Theory and Its Applications to Biology and Environment, Japan 2007”: Dynamics of

Lotka-Volterra population under random environment.

[5] Talk at Danang Conference on Environment: “Dynamics of Predator-Prey Population with Modified Leslie - Gower and Holling- Type II Schemes"

Danang September 27-28, 2007.

[6] M.A.Aziz-Aloui and M.Daher Okiye, Boundedness and Global stability for a Predator-Prey Model with Modified Leslie - Gower and Holling - Type II

Schemes, Applied Mathematics Letters, 16,(2003)1069-1075

[7] B M Levitan, V V Zhivkov, Almost Periodic Functions and Differential Equations, Moscow Uni Pub House 1978.

[8] Qian Wang, Meng Fan and Ke Wang, Dynamics of a class of non autonomous semi-ratio-dependent predator-prey system with functional

responses, J Math Anal Appl., 278 (2003) 433 - 471.

[9] MiklV{o}s Farkas, Periodic Motions, Applied Mathematical Sciences, Volume

104, (1994)pp578.

19

A P P L IC A T IO N S

w w w elseviercom /locate/jm aa

Evolution o f predator-prey systems described

by a Lotka-Volterra equation under random

environment

Y Takeuchi3 *, N.H D u b , N.T Hieu b, K S a to a

1 D epartm ent o f System s Engineering Schizuoka University, H am am alsu 4 3 2 -8 5 6 Ỉ, Japan

k Faculty o f M athem atics, M echanics and Informatics, H anoi N ational University,

334 Nguyen Trai, Thanh Xuun, Hanoi Vie! Nam

Received 16 May 2005 Available online 7 D ecember 2005 Subm itted by H R Thieme

Abstract

In this paper, we consider the evolution of a system composed of two predator-prey deterministic systems described hy Lotka-Vollerra equations in random environment, il is proved thal under the inllucncc nl telegraph noise, all positive trajectories of such a system always go out from any compact set of int with probability one if two rest points of Ihe two systems do not coincide In case where they have the rest point

in common, the trajectory either leaves from any compact set of intlR^ or converges to the rest point The escape of the trajectories from any compact set means that the system is neither permanent nor dissipative

© 2005 Elsevier Inc All rights reserved.

Keywords: Loika-V ollerra equation; Predator-prey model; Telegraph noise

1 Introduction

U n d e r s t a n d in g d y n a m i c a l r e l a tio n s h ip b e tw e e n p o p u la t i o n s y s te m s w ith th e r a n d o m fa ctors

o f e n v ir o n m e n t is a c e n tr a l g o a l in ecolo gy R a n d o m n e s s o r s t o c h a s ti c ity p la y a vital ro le in the

' Corresponding author

E-m ail address: iakeuchi@ sys.cng.shizuoka.ac.jp (Y Takeuchi).

1 This work was done while ihe author was in Shizuoka University under I he support o! ihc G rund-in-A id lor Scientific Research (A) 13304006.

0022-247X /S - see front m atter © 2005 Elsevier Inc All rights reserved

doi:IO IO I6/j.jm aa 2005 I 1.009

àO-d y n a m i c s o f an e c o lo g i c a l s y s te m a n àO-d the variation o f r a n àO-d o m fa ctors can caube s h a r p c h a n g e s

in it T h is p a p e r is c o n c e r n e d with the stu d y o f tr a je c to ry b e h a v io r o f L o tk a - V o lt e r r a p r e d a t o r -

p re y sy s te m u n d e r th e te le g r a p h noises It is w ell k n o w n th at f o r a p r e d a t o r - p r e y L o tk a - V o lt e r r a

m o d e l

i x ( t ) = x ( t ) ( a - b y { t ) ) ,

[ y ( t ) = y ( t ) ( - c + d x ( t ) ) ,

w h e r e a, b, c a n d d are p o sitiv e co n s t a n ts , i f there is n o in f lu e n c e fro m e n v i r o n m e n t , th e p o p u ­

lation d e v e lo p s p e rio d ic a lly [8,9,16], H ow ever, in pra c tic e , the e ffect o f r a n d o m e n v ir o n m e n t or

o f se a s o n a l d e p e n d e n c e m u s t b e ta k e n into a c c o u n t U p to th e p re s e n t, m a n y m o d e ls re veal the effect o f e n v ir o n m e n ta l v ariability on the p o p u la iio n d y n a m i c s in m a t h e m a t ic a l e c o lo g y In [10]

L evin did p io n e e r in g w o rk , w h e r e he first c o n s i d e r e d an a u t o n o m o u s tw o s p e c ie s p r e d a t o r - p r e v

L otka-V olterT a d is p e rs a l s y s te m a n d s h o w e d th at th e d is p e r s io n c o u ld d e s t a b il iz e d the sy s te m

E s p e c ia lly a g re a t e ffo rt h a s b e e n e x p e n d e d to find the p o ss ib ility o f p e r s is t e n c e u n d e r the u n p r e ­

d ic ta b le o r ra th e r p r e d ic ta b le (s u ch as s e a s o n a l) e n v ir o n m e n ta l flu ctu atio n s [ 1 - 5 , 7 , 1 0 - 1 3 ] ,

T h e nois e m a k e s in f lu e n c e s on an e c o lo g ic a l s y s te m by v ario u s ways B y the c o m p l e x it y o f sto c h a stic m o d e ls , w e are lim ited on c o n s id e r in g a sim p le c o l o r nois e, say te le g ra p h noise T h e

te leg rap h no is e can be il lus trated as a sw itc h in g b e tw e e n tw o r e g i m e s o f e n v ir o n m e n t , w h ic h

d iffer by e le m e n ts s u c h as the nutrition o r as rain falls T h e c h a n g in g is n o n m e m o r i e s a n d the

w a itin g ti m e fo r the nex t c h a n g e has an e x p o n e n ti a l d is trib u tio n U n d e r d if fe re n t re g im e s , the intrinsic g r o w th rate a nd interspecific coefficient o f (1.1) are dif ferent T h e r e f o r e , w h e n r a n d o m factors m a k e a s w it c h in g b e tw e e n th es e d e te r m i n is tic s y s te m s , it s e e m s that the b e h a v io r o f the

s o lu tio n is r a th e r c o m p l ic a t e d B y intuition, w e see that th e b e h a v io r o f th e s o lu tio n o f a p e rtu rb e d

s y s te m can in h er it s i m u l ta n e o u s l y the g o o d situation a n d th e b a d situation In a view o f e c ology,

th e b a d th in g h a p p e n s w h e n a sp e c ie s d is a p p e a rs a n d a g o o d situ a tio n o c c u r s w h e n all sp e c ie s

c o -e x is t and th e i r a m o u n t o f q u a n ti ty in c r e a s e s o r d e v e lo p s p erio d ically

S la tkin [15] c o n c e n t r a te d on a n a ly z in g a clas s o f m o d e l s o f single p o p u la t io n w h ic h g ro w s

u n d e r this k in d o f te l e g r a p h nois e, a n d o b ta in e d the g e n e r a l c o n d it i o n s fo r e x tin c tio n or p e r s i s ­ tent fluctu ations In ihis paper, w e c o n s i d e r the b e h a v io r o f a tw o - s p e c ie s p o p u la t io n , d e v e lo p in g

u n d e r tw o d if f e r e n t c o n d i t io n s o f e n v ir o n m e n t U n d e r e a c h c o n d itio n , th e q u a n tity o f sp e c ie s satisfies a d e te r m i n is t ic c la s s ic a l p r e d a t o r - p r e y eq u a tio n w h ic h IS c o n n e c t e d to the o th e r by t e l e ­

g ra p h noise It is p r o v e d that u n d e r the influ ence o f te le g ra p h nois e, all p o s itiv e tr a je c to rie s o f

s u c h a s y s te m a lw a y s exile f r o m an y c o m p a c t set o f i n t K ^ = (<;r, v): X > 0, V > 0) w ith p r o b a ­

bility o n e if tw o rest p o in ts o f tw o thes e d e te r m i n is tic s y s te m s d o not c o in c i d e Jf th es e tw o rest

p o in ts c o in c i d e a n d if th e q u a n titie s o f p o p u la t io n d o not c o n v e r g e io the c o m m o n rest point, the q u a n ti ty o f e a c h s p e c i e s o s c illa te s b e tw e e n 0 a n d 0 0 T h a t e x p la in s w h y the p o p u la tio n o f a

ra n d o m e c o - s y s te m v aries co m p lic a te d ly

T h e p a p e r is o r g a n i z e d as follow s S e c tio n 2 su r v e y s s o m e n e c e s s a r y p r o p e r tie s o f tw o - s ta te

M a r k o v p r o c e s s , say “ te le g r a p h nois e.” S e c tio n 3 d eals w ith c o n n e c t io n s o f tw o d e te r m in is tic

p r e d a t o r - p r e y s y s te m s In S e c tio n 4, it is s h o w n that, i f th e rest p o in ts o f tw o th e s e d e te r m i n is tic

s y s te m s d o n o t c o i n c i d e , all tr a je c to rie s o f the s y s te m p e r t u r b e d by te le g r a p h n o is e a lw a y s leave fro m a ny c o m p a c t set in i n t R + In c ase tw o d e t e r m i n is tic s y s te m s h av e th e rest p o in t in c o m ­

m o n , e it h e r th e tr a je c to r y o f a r a n d o m p r e d a t o r - p r e y s y s te m c o n v e r g e s to th e c o m m o n rest p o in t

o r it leave s fr o m a n y r e c t a n g le in i n t R ị T h e s e p r o p e r tie s im p ly that su ch a s y s te m is n e it h e r

p e r m a n e n t n o r d is sip a tiv e

2 Preliminary

L e t IP) b e a p r o b a b ility sp a c e satisfy in g th e usual h y p o th e s e s [14] and ( Í , ) , ặ 0 be a

M a r k o v p ro c e s s , d e fin e d on {Í2, T , IP), ta king valu es in the set o f tw o e le m e n ts , say £■ = {1,2}-

S u p p o s e th at (Ệ,) h a s th e tr a n s it io n intensities 1 2+ 2 a n d 2 ] w ith a > 0, ft > 0 T h e p r o c e s s

{£,) has th e p ie c e - w i s e c o n s t a n t trajectories S u p p o s e that

are its j u m p tim es P ut

Ơ] = I] — ro, ơ 2 = T2 ~ T ì ơ„ = r n — r „ _ i , — (2 2)

T h e n <7 | = ri is the first ex ile fro m the initial state £o* °2 is the tim e d u ra tio n tha t the p ro cess

(ệi) s p e n d s in ihe s e c o n d Slate inlo w h ic h ii m o v e s fr om the iirsi slate a nd s o fo rth It is k n o w n

that th e se q u e n c e (ơ*)*= i is an in d e p e n d e n t r a n d o m v a ria b le s w h e n a s e q u e n c e )" _ ! is given (see [6, vol 2, p 217]) N o te th at if £o is given, then £r„ is co n stant, since the p ro c e s s (£,) takes

o n ly tw o values H e n c e , ( ơ * ) ° L | is a s e q u e n c e o f c o n d itio n a lly i n d e p e n d e n t r a n d o m v ariables, valued in [0, oo] M o r e o v e r , if £o = 1, th en Ơ2n+ 1 has the e x p o n en tial d e n sity a l [0 n o )e x p (—Qfi)

a nd Ơ 2n has the d en sity oo )ex p ( — fi t)- C onversely, if £o = 2, then Ơ2„ has th e ex p o n en tia l

d e n sity a 1|0 00) ex p { —Of/), and Ơ 2n+Ì has the density ^ 1[0 oo) e x p ( —p i ) (see [6 , vol 2, p 217])

S in ce Ệ(t ) takes va lu e s in a tw o - e l e m e n t set £ , ií the so lu tio n oi (2 3 ) s atislies Eq, (2 4 ) on

the interval ( r „ _ | , T„), th en it m u s t sa tisfy Eq (2.5) on th e in terval ( r „ , r „ + i ) a nd vice versa

T h e r e f o r e , (.* ( r „ ) , >'(T„)) is th e s w it c h in g p o in t w h ic h p la y s the te r m in a l p o i n t o f o ne s y s te m

a n d s i m u l ta n e o u s l y th e initial c o n d itio n o f the other T h u s , the r e l a ti o n s h ip o f tw o s y s te m s (2.4)

a n d (2.5) will d e t e r m i n e th e b e h a v i o r o f all tr ajecto ry o f Eq (2.3)

3 An analysis of inter-connections between two deterministic p r e d a t o r - p r e y systems

F or the s y s te m (1 1) it is s e e n th at ( p ạ ) = ( c / d a / b ) is its u n iq u e p o sitiv e rest point Let

Y Takeuchi el ai. / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

with a = d / b b e a first in tegral o f (1.1) B y a s im p le c a lc u la tio n , w e s e e that all integ ral c u rv e s

o f (1 1 ) in th e q u a d ra n t in tR ^- = {(■*< y ): * > 0 , y > 0 } are clo s e d and the c u rv e p a ss in g th ro ug h

the p o in t (jco >o) is g iv e n b y th e a lg e b r a ic e q u a tio n

v ( x , y ) = v( xo, yo) - 0 - 2 )

O n e a c h in tegral c u r v e k , th e p o in ts w ith th e s m a ll e s t o r b ig g e s t a b s c is s a are the in tersec tion

p o in ts o f X w ith th e h o r iz o n ta l straight line y = a / b W e call th e m th e h o ri z o n ta l p o in ts o f Ằ and

d e n o te th e ir a b s c i s s a re s p e c ti v e ly by jr*in a n d A t a h o riz o n ta l po in t, th e ta n g e n t li ne to the

k is p ara llel to y - a x i s Sim ilarly, th e p o in ts on Ằ th a t have th e s m a lle s t o r b ig g e s t o rd i n a te are the

in tersec tio n p o in t s o f X w ith th e vertical s ư a ig h t line X = c / d W e call th e m v ertical po in ts an d

d e n o te th e ir o r d in a te re s p e c tiv e ly b y y* jn a n d A t a v ertical poin t, the t a n g e n t line to th e X

is parallel to jc-axis.

W e no w p a s s to the s tu d y o f th e c o n n e c tio n b e tw e e n th e integral c u r v e s o f (2 4 ) a nd (2 5 )

w h ic h d e te r m i n e s the b e h a v io r o f the so lu tio n s o f th e r a n d o m e q u a tio n (2 3 ) b e c a u s e the no is e Ệ,

3.1 C a s e 1: S y s t e m s wit h the c o m m o n rest p o i n t

Firstly, w e c o n s i d e r th e c a s e w h e re both s y s te m s h av e the re s t p o in t in c o m m o n T h a t is, (pi,<?i) = (P2.<?2) :=

To av o id a trivial s itu a tio n , w e s u p p o s e that the s y s te m s (2 4) a n d (2 5 ) do not c o in c id e T h is

m e a n s th at a I CC 2 - T he relation betw een tw o these system s is e x p res se d by the follow ing claims.

C l a i m 3 1 / / A ] p a sse s through a horizontal p oin t o f k 2, TWO cu rves are tangent to each other at

bot h h o r i z o n t a l po i n t s Mor eover, e x c e p t t hes e two point s, o n e o f t he s e c u r v e s m u s t lie wit hin the

d o m a i n s u r r o u n d e d b y t he o t h e r (s e e Fig 1).

In c a s e ÀI lies w ith i n th e d o m a i n lim ited by Ằ2 w e say ẰỊ to be in scrib e d in Ằ2 at the horizontal

p oin ts A s i m i la r p r o p e r ty c a n b e fo r m u la t e d fo r th e c a s e w h e r e Ả1 is in s c rib ed in A2 at the vertical

p oin ts T h a t is, Ằ| a n d Ằ2 are tan g e n t to e a c h o th er at the vertical p o in ts a n d Ằ] lies w ithin the

d o m a i n lim ite d b y Ằ2

-C l a i m 3 2 I f t here is a n i n t e gr al c u r v e o f (2 4) to be i n s c r i b e d in a c u r v e o f (2 5 ) at t he h o r i z o n t a l

point s, t hen e v e r y c u r v e o f (2 4 ) m u s t b e i n s c r i b e d in a c u r v e o f (2 5 ) a t h o r i z o n t a l p o i n t s Mor eover, in this case, e v e r y c u r v e o f (2.5 ) is i n s c r i b e d in a c u r v e o f ( 2 4 ) a t t he vert ical point s.

P r o o f C la i m s 3.1 a n d 3,2 are d e d u c e d f r o m a n a ly z in g th e fu n c t io n s I’i ( x , V) a n d n U , y) d e ­ fined by (3.3), T h e r e f o r e , w e o m i t the prooi here □

Ấ J

Fig 1 A] is inscribed in A 2 at the horizontal points.

By vir tu e o f C la im 3.2, w it h o u t loss o f g e n e ra lity w e s u p p o s e th at

Hypothesis 3.3 E a c h in tegral c u r v e o f (2.4 ) is in s c rib e d in an in tegral c u r v e o f (2.5) at the

ho rizo n tal points.

It is e a s y to see that H y p o th e s i s 3.3 is satisfied iff « 1 < »2

For a fixed £ > 0, w e c a n find tw o positive n u m b e r s #0 > 0 an d 6\ > 0 such th at if A is an integral c u rv e o f e it h e r (2 4 ) or (2 5 ) w ith jc^ax ^ p + £, th en y L x + # 0 a n d > * in < q - 9 \

Y Takeuchi et at / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

944 y Takeuchi el al / J Math Anal Appl, 323 (2006) 938-957

P r o o f T h e p r o o f is s i m i la r to th e p r o o f o f C la im 3.4 B y E q (3.2),

Qf 1 (jtmax - p In JCmax) + q - q \nq = ữ ị ( x - p \ n x ) + ỹ - q I n ỹ ,

“ ! (*max - p l n *max) + 9 - <? ln <? = “ 1 - pln p ) + ?max - <7 ln >max •

H e n c e , th e r e is 8 e ( % H , ỉ r a » ) s u c h that

®1 (-*max “ ^max) ^ a * (^max — Xm a x )^ — p/ft)

= <*](■* max -*max — p O n j r max — lnjcmax))

w h e re 6 ( Í , p ) an d 0 ' 6 (>, >mix) Let AO < p such that (Jto <7 + flu/2) is a point on the curve

pa ss in g th r o u g h ( p , <7 + ^o) If *0 < X í p we have ti' > q 4 - 1)[)/2 w hic h im p lies th at I - q /H' >

C l a i m 3.7 Le t Ằ| a n d AJ b e i nt egral c u r v e s o f (2.4) S u p p o s e that À| n A 2 n \ p 4- f oc) X

[0, oo) j i 0 a n d A'j n A 2 n \ p — 2 e \ , p] X [q , 0 0 ) ^ 0 then

y^> _ > n

•i ma* ' max ^ ' ' ■

_

Y Tukeuchi el al / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957 945

R e m a r k 3.8 B y c h a n g i n g th e role b e tw e e n th e v ertical p o in ts a n d h o r iz o n ta l po in ts, w e see that

for any E > 0 w e c a n find e \ > 0 a n d a'y > 0 sa tisf y in g the fo l lo w in g : s u p p o s e that k \ n A 2 n (0, o c ) X (0, q - |9] ] ■£ 0 a n d A j n A 2 n ( p, 00) X [q, q + 2 e \ ] Ỷ 0 then

r A| - j t X| > a '

'"•max x m tx u y

-3.2 C a s e 11: S y s t e m s wi t h di f f er ent rest p o i n t s

W e no w s u p p o s e th at ( p i , q \ ) ^ ( p i , q i ) We a rg u e fo r th e c a s e P 2 ^ P i ; <72 > <?I T h e other

cases can be a n a ly z e d similarly.

C l a i m 3 9 For s m a l l E, ther e are pos i t i v e n u m b e r s f-2 a n d ơy > 0 s u c h that: i f t her e exists

linkin g tw o p o in t s ( x , ỹ ) Ẽ [P\ - £, oo) X [q\ - E2 , q \ + £2] a n d 0*1, J i ) € \ p\ , oc) X [<72 <?2 +

2 e 2] then f o r any XI, passing through (X1, ỹ i ) , we have

By ch o o s in g Oy = (q\ - q i - <?2 ( l n ? i - ]n<72))/(2ar2), w e can c o m p l e te the pro of □

3.3 Estim ate o f entrance tim es

]-For the sak e o f c o n v e n ie n c e , w e d e n o te H I = [/72 P i ] x [<72> 92 + £2] in C a s e II.

We no w look at the e n tr a n c e tim e o f a so lution A t th e ti m e t , let ( x i ( r ) , >’] ( r ) ) = u }’)■

D e n o te T\ ( x , y ) = inf{j: e ith e r { x \ { t + s) , y \ ( t + i ) ) e ( / | o r (JC! (r + s ) , V| (I + s ) ) 6 H i } for

C a s e I a n d T\ ( x , y ) — i n f : (jc 1 (/ + s) , y \ ( t + s) ) £ U \ } for C a se II Sim ilarly,

7*2u y ) = i n f {S', e it h e r (x 2 (t + 5 ), y 2 (t + j ) ) £ V] o r (x2 (t + s) , y 2 (1 + í ) ) € H t Ị

B e c a u s e every in tegral c u r v e is c lo s e d a n d s y s te m s (2 4 ) a n d (2.5) are a u t o n o m o u s , it is e a s y to

see that Tị ( x , y ) < 0 0 , 7 2 (x, y ) < 00 an d they d o not d e p e n d on t.

Let H 2 — [ ^ 1 , Ả2 ] X [m 1 , m 2 ] be an arbitrary rectan g le w h ich c o n tain s the rest points o f (2 4)

a n d (2.5) S in c e T\ (Jt, y ) a n d T j i x , y ) are c o n ti n u o u s in (X , >'), th ere is a c o n s t a n t r * > 0 su ch

T \ { x , y } ^ T \ T2 ( x , y ) ^ T * fo r an y ( x , y ) Ẽ H i

M oreover, by the c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o f the so lu tio n in the initial data, it fo l lo w s that there

is Í* s u c h th at if (Xị ( f ), V[ ( t )) e u I n H i th e n (JCI (/ + s), V] (í + s ) ) e Ơ fo r a ny 0 ị s ^ I* Sim ilarly, if (X 2 (1 ), }‘ỉ U )) € Vi 0 / ^ 2 then (X2 (t + i ) , >'2 (f + 5 )) e V for any

D e n o te H — H i \ H \ in C a s e I a nd H — H i in C a s e II.

4 Dynamics of population under influences of random factors

W e n o w tu rn b a c k to th e in vestigation o f so l u tio n s o f (2.3) L e t z ( t , x , y ) = ( x ( t x y ) ,

y ( t , x , y ) ) be the s o l u tio n o f (2.3 ) starting f r o m { x , y ) e i n t R ị a t t = 0 F o r th e sake o f s i m p l ic ­

ity, w e s u p p o s e th a t f 0 — 1 w ith p robability one T h e o th e r c ases can be a n a ly z e d by a sim ilar way by ta k i n g th e c o n d itio n a l e x p e c ta tio n W e shall p ro v e th a t w ith p r o b a b i l i ty 1, the tr ajecto ry

o f z ( t , x , y ) a lw a y s leave s f r o m a ny re c ta n g le i f tw o re s t p o in ts d o not c o in c id e In c a s e tw o

sy s tem s have the rest p o in t in c o m m o n , the solution e i t h e r g o e s a w a y f r o m the d o m a i n Í-Ỉ 2 or

c o n v erg es to th e rest poin t.

D e n o te

xn = x ( T n, x , y ) , y„ = y{ Tn, x , y ) , a nd z n - ( x „ , y n).

It is o b v io u s that Zn is T q - m e a s u r a b l e fo r any n > 0 a n d is the p o in t at w h i c h the so lu tio n z{<)

transfers fr om s u b j e c tin g to Eq (2 4 ) into s u b je c tin g to Eq (2.5 ) o r vice versa We c o n s tr u c t a

Ak - {ơyi + ì € Ự \ { x Yk, y n ), T \ ( x Yi , y Yk) + /* ) u ( y k = o c ) } ,

where t* is given in Section 3.3 Then

P r o o f C o n s i d e r th e altern ativ e event o f A l t :

-23-Ị ^ p ịơ ^ + l ị (7"i(m), T](u) + f‘ ) I Yk =2n, Zjn - u-23-ỊP{ỵ* = 2/1, Zln € du)

= p{ơw +1 i (T\(zn), Tị(zYk) + r*), Yk < oo.

Ơ« + I +1 £ (7’l(zn + l) T\(Zyk+i) + r), Yk+\ < oc}

Yk = 2/, y*+[ = 2n, Z2I = u Z2n = I')

y Takeuchi er al / J Math Anal Appl 323 (2006) 93K-957 949

ơyk +1 ] an d the solutio n sw itc h e s the trajectory to the system (2.5) at the p o in t ; n _ i —

( j r i ( ơ ỵt + | , z y i ), yi (Ơỵ* + I , z n )) By definition o f T\ a n d Í*, the ev e n t (fTft+1 <E ( 7~| T\ + Í* )| im ­ plies { z Yk + \ 6 u \ T h u s , T h e o r e m 4.1 tells us that w ith p r o b a b ili ty 1, e ith e r (Z2n) is in H for

at m o s t finitely m a n y tim e s o f « , o r th e s e q u e n c e (Z2n + i ) falls into the d o m a i n u for in finitely

Bk — {°Ví + i € { / ’ì ( x n , y Yll), T[ ( x Yk, y Yl) + f ),

ơ Y í + 2 ^ (-^2 + J < yyt + \)t T l i X y i - ị - ] , yy^-ị-ị) -ị- t ) u (yiị — oo) Ị (4 3 )

^ (ả-] (1 — &;) + ( 1 - k\ ))P{ỵ* < ocỊ = ( 1 — k \ k 2 ) ĩ ị y k < oc) < 1 — Ẳ-1 Ả2

F o r the sak e o f sim p lic ity , in the c o u r s e o f e s tim a ti n g IP ( S t r I ) we u s e n o ta tio n s

I-ơ n‘ (M) = [I-ơ„ ệ ( T i ị u ) , T i ị u ) + t * ) } , ơ„2( « ) = ịơn i { T ỉ í u ) , T ĩ ( u ) + f *) Ị ,

T h e o c c u r r e n c e o f e v e n t B/c s a y s th at w e h av e tw o p o ss ib ilitie s O n e is th at the tr ajecto ry

o f s o lu tio n s o f (2 3 ) n e v e r vis its H fro m a c e rtain m o m e n t S e c o n d p o ss ib ility is that first, the

tra je c to ry o f s o lu tio n s u b j e c t to (2.4 ), e n d s at a p o in t in the d o m a i n u (w e call this p o in t by

s w itc h in g o n e ) a n d th e n , it will t e r m i n a te in V as a s o l u tio n s u b je c t to Eq (2.5) T h e o r e m 4.2 tells us th a t this p r o c e s s h a p p e n s w ith p ro b a b ility 1 M o r e o v e r , this p r o c e s s c a n be c o n t i n u e d for

T h is t h e o r e m lets us k n o w th a t w ith p ro b a b ility o n e , th e so lu tio n z ( r ) c a n sw it c h s u cces siv ely

from s u b je c tin g to (2 4 ) into s u b je c tin g to (2 5 ) in th e d o m a i n s u a n d v ice v e rs a in V and so on for a finite n u m b e r , as larg e as w e p leas e, o f s w it c h in g tim es in c o n d it io n th a t z ( 0 can stay in H

for infinitely m a n y tim es B y v irtu e o f the a n a ly s is in S e c tio n 3 w e see that, after tw o tim e s o f

s w itc h in g : first at a p o in t in u a n d n ex t at a p o in t in V , the in te rse c tio n p o in t o f the tr ajecto ry

w ith the s traig h t line y = q \ , X > P \ m o v e s to the rig h t w ith a d i s p l a c e m e n t b ig g e r th an ơy So

the so lu ti o n o f (2 3 ) in C a s e II a lw a y s leave s fro m any a rb itra ry re ctan g le.

In c a s e w h e r e tw o s y s te m s have th e rest p o in t in c o m m o n , usin g R e m a r k 3.8 we can prove

that if the s w itc h in g p o in t s o f a tr a je c to ry o f (2 3 ) so jo u r n s in H lo r intìniLẹly m a n y limes , 11

m u s t visit H | In d e e d , w ith f'l giv en on R e m a r k 3.8 w e p u t U' = [ p p 4- 2&I ] X (0 ÍỊ - «1 ],

y i U + s ) ) 6 V ' for a n y 0 ^ s ^ t.

Theorem 4.4 For any N > 0, the event

Clt = {ơyl + 1 e ( T Ị ( z yk), T { ( z Yk) + t ) , ơ y k+ 2 € { T { ( z Yk+ \ ) T ^ Z y i + i) + t),

c h a n g in g tim e , its m a x i m u m a b s c is s a m o v e s to p T h u s , w e have

T h e o r e m 4 5 S u p p o s e t hat (2 4 ) a n d (2 5) h a v e a c o m m o n res! poi nt For a n y ( x y ) e i n t R ị ,

P r o o f We n o te th at if lim s u p , ^ ^ x ( r , X, y) = o c th en w e have li m inf(_,Tc jr(r Jt, _v) = 0

l i m s u p , ^ ^ y ( r jr v) - DC a n d lim i n f z - x x >'(’ • x - >') = 0 a u to m a tic a lly a nd vice versa A s i m ­ ilar p ro p e r ty h o ld s w ith lim sup, t, y) — DC T h e re fo r e , if (4 6 ) or 14.7 I do es noi hold,

th e so l u tio n z { t ) is b o u n d e d by a rectan g le H c R + F o r any Í > 0, s u p p o s e that H I IS a small

e n o u g h re c t a n g le , c o n t a i n in g th e rest p o in t, such th at e v ery trajectory , p a s s in g th r o u g h a p o in t H1 ,

is c o n t a i n e d in H] — H] ( f ) W e se e th at th e n u m b e r o f the s w itc h in g p o in ts in H \ H\ m u s t be finite O th e r w is e , th e o rb it o f z ( f ) h a s to leav e fr o m H by T h e o r e m 4.3 T h e r e f o r e , ther e is k > 0

s u c h th at Zn € H \ fo r a ny n > k w h ic h im p lie s t h a t l i m , _ 00( j r ( i , >') y(r X , v)) = ( p q ) T h u s,

w e h av e (4.5) □

5 Conclusion

U p to n o w v a rio u s d y n a m i c a l m o d e l s in e c o lo g y h a v e b e e n p r o p o s e d u n d e r th e e n v i r o n m e n ­ tal f lu c tu a tio n s c o r r e s p o n d i n g to seasonality T h e d e te r m in is tic s w itc h in g b e tw e e n tw o dif ferent

p r e d a t o r - p r e y s y s te m s e x h ib i ts m o r e c o m p l e x d y n a m i c s in c lu d in g stable e q u ilib r iu m poin t, limit

c ycle , a n d a ls o c h a o s [7] T h e p o ss ib ilitie s o r the c o n d itio n s for the c o e x is te n c e o f te m p o ­ rally s e g r e g a te d c o m p e t i t o r s in a c y clic e n v ir o n m e n t [10] o r tw o c o m p e t in g s p c c ie s fo llo w in g

<b)

Fig 6 (a) Time evolution o f x ( t ) for Case A (b) Time evolution o f v ( 0 for Cai»e A

L o tk a - V o lt e r r a c o m p e t it io n s y s te m in a s e a s o n a lly fluctu atin g e n v ir o n m e n t [12] arc studied

T h e s to c h a s tic c h a n g e o f e n v ir o n m e n t gives the sim i la r effect on p o p u la tio n d y n a m i c s w ith s e a ­

s o n a lity [2] M o s t o f s u c h m o d e l s are fo r m u la t e d by d e te r m in is t ic d y n a m ic s , but s o m e kind o f

s to c h a s tic ity ref le c tin g c o m p l e x it y o f bio lo g ical or e n v ir o n m e n ta l fa ctors sh o u ld be in tro d u ced

in p o p u l a t io n d y n a m i c s S la tk in [15] in tro d u c e d a nd a n a ly z e d a clas s o f g e n e ra l m o d e ls o f s in ­ gle p o p u la t io n w h ic h g r o w s u n d e r th e te le g ra p h no is e e x a c tly s a m e in this paper D u et al [3.4]

a n a ly z e d tw o - s p e c ie s L o t k a - V o l t e r r a c o m p e titio n s y s te m s u n d e r te le g r a p h noises In this p a p e r

w e o b ta i n e d th e re s u lts , s t a te d in T h e o r e m 4.5, f o r tw o - s p e c ie s L o tk a - V o lt e r r a p r e d a t o r - p r e y

s y s te m s u n d e r te le g r a p h n ois es W e believe the necess ity to c o lle c t the results for various ty p es

o f tw o - s p e c ie s d y n a m i c a l s y s te m s in c lu d in g the a s y m p to tic a l ly stab le L o t k a - V o lt e r r a p r e d a i o r -

p rey sy s te m s , a n d to p r o c e e d to o b tain the ge n e ra l c o n d itio n s for the b e h a v io r s o f [he system s.

In v iew o f p ra c tic e , w h e n the a m o u n t o f a species is s m a lle r th an a th r e s h o ld , we c o n s i d e r this

s p e c ie s d is a p p e a r s in o u r s y s te m T h e o r e m 4.5 tells us that a lth o u g h the e n v i r o n m e n t c o n d itio n

c h a n g e s c o n s t a n tl y ( s in c e th e M a r k o v s w itc h in g p ro c e s s IS s ta tio n a ry I s p e c ie s may vanish fro m

4 ?

-y Takeuchi et a! / J Math Anal Appl 323 (2006) 938-957

e c o - s y s t e m T h is c o n c l u s io n w a r n s us to have a tim ely d e c is io n to p r o t e c t sp e c ie s in o u r e c o ­

-p o in t in c o m m o n , th e s o lu tio n o f (2 3 ) turns a ro u n d the rest -po in t fo r a w h ile , a nd then leave s

[1] M Đallys, Le D ung, D A Jones, H.L Smith, Effects of random mortality on microbial growth and com petition in

a flow reactor, SIA M J Appl Maỉh 57 (2) f 1998) 5 7 3 -5 9 6 , 374-402.

[2] P.L Chesson, R.R Warner, Environmental variability prom otes coexistence in lottery com petitive system s Amer Naiur 117 (1981) 923-943.

[3] N.H Du, R, Kon, K Sato, Y, Takeuchi, Dynamical behavior o f Lotka-Volterra com petition system s Nonau tonom ous bistable case and the effect o f telegraph noise, J Com pui Appl Maih- 170 (2004) 199—422

[4] N.H Du, R Kon, K- Sato, Y Takeuchi, Evolution of periodic population systems under random environ me nl Tohoku Math J 57 (2005) 447-468.

(5J M Farkas, Periodic M otions, springer-V erlag, New York, 1994.

[6] 1.1 Gihm an, A V, Skorohod, The Theory o f Stochastic Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1979

[7] I, H anski, p TurcHin, E K orpim ảki, H Henitonen, Population oscillations of boreal rodenis: Regulation by musielid predators leads to chaos N ature 364 (1994) 232-235.

(8J J Hofbauer, K Sigm und, Evolutionary Game and Population Dynamics, Cam bridge Univ Press, Cambridge 1998 [9] M E G ilpin, P re d ato r-P re y Com m unities, Princeton Univ Press, 1975.

[10] A Levin, D ispersion and population interactions, Amer Nature 108 (1974) 207-228.

[11] M L oreau, Coexistence o f tem porally segregated com petitors in a cyclic environment, Theorei Population Biol 36 (1989) 181-201.

[12J X M ao, S Sabais E Renshaw, Asymptotic behavior o f stochastic Lotka-V olterra model, J Math Anal 287 {2003) 141-156,

[13] T N am ba, s Takahashi, Com petitive coexistence in a seasonally fluctuating environm ent II M ultiple stable states and invasion success, Theoret Population Biol 44 (1993) 374—402.

{]4] J s Randall, A stochastic predator-prey mode], Irish Math Soc Bull 48 (2002) 57-63.

[15] M Slatkin, The dynam ics o f a population in a Markovian environm ent Ecology 59 (1978) 249-256

[16) Y Takeuchi, G lobal Dynarrucal Properties o f Lotka-V olterra System s, World Scientific, 1996

^03-Provided for non-com m ercial research and educational use only Not for reproduction or distribution or com m ercial use

Volma6 » I 4 N w t w I k t y t í » 7 F&SN 0002-2471

Tfcb Cqnytwo m int 3?l

MATNEMATICAI ANALYSIS AND APPLICATIONS

U / l Mcu M-C N kci EL&otfci^k

D triknu

CV^

MfeJupKl MMM i p

J t - w A y Ố / / 4 * - R ichatd Brltnvan rfw iBi 'W E b 't'v n

George liMtnuBD WiLUajnF Ames wvw*vpoca4=^eiơ>m

J i t Kn ỈĐ.M Wain

I Kuo

ArfW tfHe online K ScienceDirect

T his article was originally published in a journal published by

Elsevier, and the attached copy is provided by Elsevier for the

author's benefit and for the benefit of the author's institution, for

non-com m ercial research and educational use including without

limitation use in instruction at your institution, sending it to specific colleagues that you know, and providing a copy to your institution’s

administrator.

All other u se s, reproduction and distribution, including without

limitation com m ercial reprints, selling or licensing copies or a c c e ss,

or posting on open internet sites, your personal or institution's

website or repository, are prohibited For exceptions, perm ission

may be sought for such use through Elsevier s perm issions site at:

h l t p : w w w e l s e v i e r c o m l o c a t e p o r m i s s i o n n s o m a t e ! ’Cil