Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình Ellipic nửa tuyến tính

Fleckinger-Pelle’: Existence of positive solutions for non cooperativos semihnear elliptic1 system defined on an un­ bounded domain.. Partial Differential Equations.[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

T Ê N ĐỀ T À IBÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPIC NỬA TUYẾN TÍNH

Chủ trì đề tài: PGS TS Hoàng Quốc Toàn

HÀ NỘI 2006

1 T ên đề tài: B à i to á n b iên đối v ớ i p h ư ơ n g trình và hệ p h ư ơ n g trình ellipic nử a tu yến tín h

C hủ trì đề

C hủ nhiệm Bộ m ôn Giải tích, K hoa T oán-C ơ-

T in học,Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia

II

3 tài: PG S TS H oàn g Quốc T oàn

C hủ n h iệm Bộ m ôn Giải tích, K hoa T oán-C ơ-

T in học,Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia

5 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

Nghiên cứu sựu tồ n tại, tín h duy n h ấ t và không duy n h ấ t (tính đ a nghiệm ) của các bài to án biên đối với hệ elliptic không tu y ến tín h trong

m iền bị c h ặ n /k h ô n g bị chặn của MA với biên trơn

6 Các k ế t quả đ ạ t được:

(a) 04 b á o c á o k h o a học về việc áp dụng các phươ ng p h á p của giải tích phi tu y ến vào phươ ng trình đạo hàm riêng không tu y ến tính bao gồm : phư ơ ng p h á p biến phân, phương p h á p to án tử đơn điệu, các b ấ t đẳng th ứ c biến p h ân và lý th u y ế t bậc của các án h xạ

111

TÓM T Ắ T BÁO CÁO BẰNG T IẾN G ANH

1 Subject title: B o u n d a ry valu e problem s for system o f sem ilinear elliptic eq u ation s

2 N um erical code: Q T 06-04

3 Coordinate: Ass P rof Dr H oàng Quốc T oàn

D e p artm e n t of Analysis, F aculty of M athem atics, M e­chanics an d Inform atics,

U niversity of Science N atural, V ietnam N ational U niver­sity, Hanoi

6 Scientific results:

analysis to p a rtia l differen tial equations

(b) 04 scien tific articles done.

(c) T raining: 02 M a s te r s g rad u ated in Oct., 2006

7 Fund:

T he to tal fund is 20.000.000V N D

ĐHKHTNĐHKHTNĐHKHTNĐHKHTNĐHGTVTHNĐHXDHN

V

N Ộ I DUNG CHÍNH CỦA BÁO CÁO

I Lời giớ i thiệu.

Giai tích phi tu y ến là m ộ t lĩnh vực nghiên cứu rộng, v ề m ộ t phươ ng diện nào đó, nó đ ặ t ra những bài to án th ự c tế hơn so với giải tích tu y ến tính, hơn nữa việc giải q u y ết những bài to án n h ư vậy cũng khó k h ăn và phức tạ p hơn.Việc ứng dụng giải tích phi tu y ến để nghiên cứu phươ ng trình đạo hàm riêng thư ờ ng th ô n g q u a các phươ ng p h á p chính sau đ ây

- Phương p h á p to á n tử đơn điệu

- Phương p h á p á p dụng các đ ịnh lý về điểm b ấ t động

- Phương p h á p á p dụng lý th u y ế t bậc Leray-Schauder

- Phương p h á p b iế n phân-nguyên lý m inim ax

Mỗi m ột phương p h á p đều cò những đặc điểm riêng của nó m à ta có th ể lựa chọn đê sử dụng m ộ t cách tố t n h ấ t cho từ ng bài toán cụ thê Sự p h á t triển

m ạnh mẽ của giải tích h àm phi tuyến và tô pô đ ã cung cấp th êm những công cụ hữu hiệu đê n g hiên cứu các ngành to án học liên quan m à trong đó

cổ phương trìn h đạo h àm riêng không tuyến tính

Trước h ế t ta th ấ y rằn g các phương trình và hệ phươ ng trình đạo hàm riêng không tu y ến tín h cùng với các bài toán biên của nổ th ư ờ ng cò x u ấ t xứ

từ nhũng bài to án th ự c tế trong V ật lý, Cơ học,., trong đò phải kê đ ến những phương trinh nôi tiế n g n h ư phươ ng trình M onge-A m père, H am ilton-Jacobi,

hệ phương trìn h Navier-Stokes, Những bài to án n h ư vậy n h ấ t th iế t phải có nghiệm V ấn đề đ ặ t ra là n ghiệm của chúng p h ải được hiểu th eo m ộ t n g h ĩa nào đò sao cho vừ a p h ù h ợ p với ý n g h ĩa th ự c tiễ n của nó vừ a phải ch ặt chẽ

về m ặ t toán học

Nghiên cứu đ ịn h tín h của lý th u y ế t phương trình đạo h àm riêng tậ p trungvào ba vấn đề chính là: sự tồ n tại, tín h duy n h ấ t và tín h trơ n của nghiệmcủa bài to án biên với m ộ t lớp các bài to án phươ ng trìn h đạo h àm riêng nào dò

Hướng nghiên cứu chính của chúng tôi là: x é t sự tồ n tại, tín h đ a nghiệm của bài to án biên D irichlet đối với hệ elliptic n ử a tu y ến tín h

(1)

VI

trong đổ n là m ộ t m iền bị chặn hay khống bị chặn trong (N > 2) với biên trơ n d ũ T rong m ộ t số trường hợp ta có th ể m ở rộng bài to án này cho

các phương trìn h elliptic cấp 2 nử a tuyến tín h dạng tổng q uát Đây là m ột hướng nghiên cứu đ an g được p h á t triển m ạnh mẽ trên th ế giới

v ề quan điểm của phươ ng p h á p biến phân, lóp các hệ elliptic n ử a tuyến tính có th ê được ch ia th à n h hai loại: hệ biến p h ân và hệ phi b iến phân T a nổi hệ (1) là biến p h â n nếu m ộ t trong hai điều kiện sau đ ây được th o ả m ãn

T rong trư ờ ng h ợ p này hệ (1) được gọi là hệ gradient

(ii) T ồ n tại hàm th ự c k h ả vi H ( x , u , v ) , (x , u , v ) e H x R x R sao cho

Đối với m ộ t hệ biến p h ân ta có th ể sử dụng các kỹ th u ậ t biến p h ân để

xây dựng m ộ t p h iếm h àm xác đ ịnh trong m ột không gian B anach V nào đó,

và được gọi là p h iếm h àm liên kết, sao cho hệ đ ã cho là hệ phương trin h Euler-Lagrange của p h iếm hàm liên kết Khi đó sự tồ n tại nghiệm của bài toán được đ ư a về sự tồ n tại điểm tới hạn của phiếm h àm liên kết C hảng hạn

(i) đối với hệ grad ien t, p h iếm hàm liên k ế t với (1) cổ dạng

Các h àm F và H sẽ được giả th iế t sao cho p h iếm h àm Ỹ k h ả vi liên tục

Nói chung không có m ộ t quy tắc tổng q u á t nào trong việc th à n h lập p h iếm

h àm liên k ế t với m ộ t hệ b iến p h ân cho trước M ột tro n g những kỹ th u ậ t

ÕH

T ~ = g ơu

T rong trư ờ ng hợ p này hệ (1) được gọi là hệ H am iltonian

(ii) đối với hệ H am ilto n ian , p h iếm hàm liên k ết với (1) có dạng

Ụ u Ụ v d x — Ị H ( x , u , v ) d x

nn

VU

biến p h â n được á p dụng nhiều đó là sử dụng đ ịnh lý ”q u a n ú i” của A

K ết q u ả này vẫn đ an g được p h á t triển trong thời gian g ần đây Ngoài công trinh trên của A m brosetti và R abinow itz, nhũng người kh ác cũng có công lớn trong nghiên cứu hệ b iến p h â n m à ta có th ể kể tên ở đ ây là: L Nirenberg,

D G de Figueiredo, L Boccardo, E M itidieri, J Pucci, J Serrin,

Hệ phươ ng trìn h elliptic nếu không biến p h ân th ì được gọi là hệ phi biến phân Nghiên cứu hệ phi b iến p h ân người ta có th ê áp dụng các phương

p h áp khác n h a u n h ư đ ã kể ở trên Những người có công lớn trong việc nghiên cứu hệ phi b iến p h â n n h ư là: L Nirenberg, H A m ann,

Nhằm m ục đích góp p h ầ n nghiên cứu định tính phương trình và hệ phương trình đạo h àm riêng, trong đề tài nghiên cứu này chúng tôi áp dụng các phương p h á p khác n h a u đê nghiên cứu sự tồ n tại nghiệm của bài to án biên đối với m ộ t số lớp hệ elliptic nử a tuyến tính với p h ầ n chính là toán tử — A

(hay —A p) trong m iền bị chặn hoặc không bị chặn của

Đề tài nghiên cứu của chúng tôi được b ắ t đ ầ u từ những năm trước đây với sự th a m gia của các sinh viên, học viên cao học và các cán bộ trẻ của Bộ

m ôn G iải tích, K hoa T oán-C ơ-T in học Nhiều báo cáo khoa học trinh bày các phươ ng p h á p của giải tích phi tuyến và ứng dụng của nó vào phương trình đạo h àm riêng không tu y ến tín h được th ê hiện dưới dạng các chuyên đề

n h ằm tra n g bị kiến th ứ c cơ sở M ột số k ế t quả nghiên cứu được hoàn th à n h trong giai đoạn từ n ăm 2005 đ ến nay đã được báo cáo ở các hội th ảo khoa học, hội nghị khoa học n h â n kỷ niệm 50 năm th à n h lập K hoa T oán-C ơ-T in học, trư ờ n g Đại học K hoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoặc đã được công b ố /đ ã gửi đ ăn g trên các tạp chí chuyên n gành ở trong và ngoài nước T rong số đó cổ cả những k ế t quả nghiên cứu đ án g khích lệ của sinh viên và học viên cao học, chẳng hạn k ế t quả của nghiên cứu của CN Ngô

Quốc A nh đ ã được đ ăn g trên Electron J Diff Eqns., 129 (2005), 1-11.

Nội dung chính của đề tài nghiên cứu được th ể hiện q u a 04 báo cáo khoa học và các k ế t q u ả n ghiên cứu dưới đây

II C ác b á o cáo k h oa học v ề ứng dụng giải tích phi tu yến và o p h ư ơ n g trình đạo h àm riên g k hôn g tuyến tính.

1 P h ư ơ n g p h áp b iến phân và m ột số áp dụng v à o p h ư ơ n g trình đạo

T rìn h b ày m ộ t số vấn đề cơ bản n h ấ t về phươ ng p h á p b iến p h â n và các ứng dụng của nó, bao gồm :

VIII

(a) Bài to án cực tiểu p h iếm hàm : phương p h á p trự c tiế p trong phép tín h biến phân: điều kiện coercive và tính n ử a liên tục dưới yếu.(b) P hư ơ ng p h á p n h â n tử Lagrange, phương p h á p nghiệm trên nghiệm dưới.

(c) Lý th u y ế t điểm tới hạn: điều kiện Palais-Sm ale, đ ịn h lý q u a núi,

2 M ộ t số b ấ t đẩng th ứ c b iến phân và ứng dụng Người thực hiện:

Nguyễn T h ế V inh

T rinh bày m ộ t số b ấ t đẳng thứ c biến p h ân cổ điển của F Browder, p

H artm an , J Lions, G Stam pacchia, và các ứng dụng của nò trong giải tích nổi chung và phươ ng trinh đạo hàm riêng nòi riêng

3 P h ư a n g pháp to á n tử đ an điêu Người thực hiện: Trần Tất Đạt.

T rinh bày phươ ng p h á p cơ bản về toán tử đơn điệu trên R N, trên không

gian H ilbert thực, không gian H ilbert thự c tách được, và trên không gian B anach p h ả n xạ cùng với các ứng dụng của nổ đối với m ột vài lớp phương trinh đạo h àm riêng elliptic phi tuyến

4 L ý t h u y ế t b ậ c B ro u w e r Người thực hiện: Đặng A nh T uấn

X ây dựng bậc của án h xạ thuộc các lớp C ‘(Q, K'1), ơ 2(r2,Mn), C (Q ,M n)

từ đó đ ư a ra các tín h c h ấ t của bậc và các ứng dụng của nó

III Các k ết quả n gh iên cứu.

m iền không bị chặn (đã đăng trong Vietnam J o f M ath 33:4 (2005),

trong đó / i , /> th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz; q (x) £ c ° (Mn), q ( x ) —

+ 0 0 khi |.r| —» + 0 0 và tồ n tại hằng số dương qo sao cho q (X) >

m in h sự tồ n tại n ghiệm của bài toán trong không gian Sobolev có trọng

K °(Q) được x ây dựng th ích hợp

IX

P hư ơ ng p h á p nghiên cứu: đ ư a việc chứng m inh sự tồ n tại nghiệm của bài to án về việc chứng m inh sự tồ n tại điểm b ấ t động của to án tử trong

không gian B anach Vq{ũ)

hệ phương trìn h elliptic nưa tuyến tính trong m iền không bị chặn (đã gửi

đăng)

Bằng sự k ế t h ợ p của phươ ng p h áp nghiệm trên nghiệm dưới và đ ịnh lý diêm b ấ t động Schauder, chúng tôi đ ã đ ư a ra điều kiện đê cho sự tồ n tại nghiệm dương của bài toán trong m iền không bị chặn £7 c R n với biên ÔQ trơ n sau đ ây

nghiệm duơng của bài toán biên elliptic tụa tuyến tín h trong m iền bị chặn.

Sử dụng phư ơ ng p h á p biến phân, bài toán đang x ét được đ ư a về x ét sự

tồ n tại điêni tới hạn của p h iếm hàm liên k ết

—A u + q( x) u = QM + Ị3v + f ( u , v),

— A v + q( x) v = ỗu + 'yv + g(u),

< u (x) > 0, V (X) > 0 w ith X € n , u( x) —» 0 , v ( t ) —> 0 k h i |x| —> +CX)

D ỉrỉchlet không th v ề n nhất đối với hệ elliptic nửa tuyến tính.

T rong m iền bị chặn Q c M.N (N > 3) với biên <9f2 trơ n ta x ét bài toán

dương

Khi đó bài to án đ an g x ét được đ ư a về bài to án biên D irichlet với điều kiện biên th u ầ n n h ấ t sau đây

s ử dụng phươ ng p h á p b iến p h ân chúng tôi chuyển bài to án (8) sang xét

sự tồ n tại của điẽm tới hạn của phiếm hàm liên k ế t

'J'a.t(w) = i J ( |V w |2 + a (x) |w i|2 4- P{ x ) |u>2|2) d x - X Ị F ( w + T ) d x

Với những giả th iế t thích hợp ấn định lên các h àm / và g chúng tôi đã

chứng m inh được với r = | | t | | Zp ^ xLp(q) đủ bé, tồ n tại khoảng (A,A) sao cho với m ọi A € (A, Ă) bài toán đ ã cho có ít n h ấ t 2 nghiệm không

K ết quả nghiên cứu đ ã được báo cáo tại Hội nghị K hoa học n h ân kỷ niệm 50 năm trư ờ ng Đại học Tông hợp H à Nội và hiện đang được gửi đăng

XII

ứ n g dung g iả i tíc h phi tu yến v à o p h ư ơ n g trìn h

v i p h â n đao h à m riêng k h ôn g tu y ến tín h

i P h ư ơ n g trìn h đạo h àm riên g

M ục lục * •

1.1 Một vài vấn đề bổ sung kiến t h ứ c 2

1.1.1 Không gian Sobolev và định lý n h ú n g 2

1.1.2 Tính khả vi của phiếm h à m 5

1.1.3 Một số ước lượng cơ bản về phương trình elliptic cấp hai 11

1.2 Cực tiểu phiếm hàm Phương pháp trực tiếp trong phép tính biến p h â n 14

1.2.1 Điều kiện bức (coercive) và tính nửa liên tục d ư ớ i 14

1.2.2 Phương pháp nhân từ L a g ra n g e 18

1.2.3 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới y ế u 26

1.3 Một số định lý về lý thuyết điểm tới hạn và ứng dụng vào phương trình elliptic nửa tuyến tính trong Rn 30

1.3.1 Điều kiện Palais-Smale và sự tồn tại điểm tới hạn 30

1.3.2 Ư ng dụng định lý qua núi vào bài toán biên đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính 48

Chương 2 Một sỏ bất đẳng thức biến phàn và ứng dụng 63 2.1 Mở đ ầ u 63

2.2 Sự tồn tại n g h iệ m 64

2.3 Bất đẳng thức biến phân cho các toán tử đơn điệu 66

2.4 Toán tử N o n c o erc iv e 70

2.5 Một số ứng dụng 75

2.6 Phụ lục: Định lý Lax-Milgram phi t u y ế n 79

Chương 3 Phương pháp toán tử đơn điệu 82 3.1 Giới thiệu chung 82

3.2 Bài toán xuất p h á t 82

3.3 Toán tử trên Kn 83

3.4 Toán tử trên không gian Hilbert t h ự c 85

3.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách đ ư ợ c 89

i

ịị _ M ục lụ c

3.6 Toán tử trên không gian Banach phản x ạ 97

3.7 Một số nhận xét và đánh g i á 100

Chương 4 Lý thuyết bậc Brouwer (hữu hạn chiều) 102 4.1 Xây dựng bậc của ánh xạ liên tục .102

4.1.1 Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc lớp R n) 103

4.1.2 Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc lớp C 2( f ỉ ; R " ) 105

4.1.3 Xây dựng bậc của ánh xạ thuộc lớp C(ù] R n) 106

4.2 Một số tính chất của b ậ c 109

4.3 Các ứng dụng của lý thuyết bậc 113

4.3.1 Định lý Brower về điểm bất động và một số dạng tương đương của n ó 114

4.3.2 Định lý Borsuk và các ứng dụng của n ó 117

đã lần lượt báo cáo các kết quả nghiên cứu của mình Chúng tôi nhận thấy rằng Seminar đ ã có ích thực sự cho các cán bộ mới vào nghề cũng như các học viên cao học.

Có th ể nói sự hăng hái nhiệt tình tham gia Seminar của nhiều cán bộ trẻ trong

bộ môn giải tích đã làm sôi động không khí học tập và nghiên cứu trong Bộ môn Một số cán bộ tuy tuổi đời, tuổi nghề còn trẻ nhưng đã có những kết quả nghiên cứu, những bài báo được đăng ở các tạp chí toán học trong và ngoài nước Đó là những “ thành tựu” bước đầu mà Seminar chúng tôi đã làm được

Năm 2004-2005 chúng tôi in tập 1 về các bài giảng ứng dụng giải tích hàm vào phương trình vi phân đạo hàm riêng Năm nay trong tập 2 chúng tôi giới thiệu các ứng dụng của giải tích phi tuyến vào việc nghiên cứu các bài toán biên của phương trình vi phân đạo hàm riêng không tuyến tính

Chương 1 do Phó Giáo sư Tiến sĩ Hoàng Quốc Toàn viết

Chương 2 do Thạc sĩ Nguyễn T hế Vinh viết

Chương 3 do Thạc sĩ T rần T ất Đạt viết

Chương 4 do NCS-Tiến sĩ Đặng Anh Tuấn viết

Vì lý do này hay lý do khác, tập Seminar của chúng tôi không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi dần dần sẽ hiệu đính lại, hy vọng trước h ết hữu ích cho những

ai mới vào nghề và có quan tâm đến việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng

Hà Nội ngày 20.07.2006

1 P h ư ơ n g tr ìn h đạo h àm riê n g

C h ư ơ n g 1

P h ư ơ n g p h á p b iến phân v à m ô t số áp dung

v à o p h ư ơ n g trìn h v i ph ân đao h à m riên g

- Phương pháp áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder

- Phương pháp biến phân-nguyên lý minimax

Sau đây ta sẽ trình bày một áp dụng của phương pháp biến phân để nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính

Đê’ hiểu rõ vấn đề được đặt ra thì trước hết ta hãy nói m ột cách ngắn gọn nội dung của phương pháp biến phân trong phương trình đạo hàm riêng

Nghiên cứu định tính cùa lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tập trung vào

ba vấn đề chính là: sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn của nghiệm của bài toán biên với m ột lớp phương trình đạo hàm riêng nào đó

Đê’ nghiên cứu bài toán biên nói trên người ta có thê xây dựng m ột phiếm hàm năng lượng liên kết dạng

trong đó X là m ột không gian Banach nào đó và J là m ột phiếm hàm khả vi

Frechet hay có đạo hàm yếu (đạo hàm Gateaux) sao cho nghiệm của phương trinh

2 Chương 1 P hư ơng p háp b iế n p h â n v à m ộ t sô áp d ụ n gNhư vậy, việc nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng có

th ế đưa về việc nghiên cứu m ột phương trình phiếm hàm dạng

trong đó K(u) nói chung là phi tuyến.

Rõ ràng tính khả vi Frechet của phiếm hàm J phụ thuộc vào dáng điệu của hàm F (X, u, Vu, v 2ti , ).

Giả sử u0 G X là điểm cực tiểu tương đối của J và J € C l (X) thì u0 phải thoả mãn điều kiện DJ(uo) = 0 Do đổ u0 là nghiệm của bài toán biên đang xét.

Nếu J không khả vi liên tục Frechet nhưng tồn tại đạo hàm theo nghĩa yếu trong X th ì u0 thoả m ãn phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu

(■v , D J ( u 0)) = 0, Vt; £ X.

Như vậy, dù J khả vi liên tục Frechet hay có đạo hàm theo nghĩa yếu thì điểm cực tiêu tương đối u0 cũng là nghiệm suy rộng của bài toán biên liên kết.

Từ đổ ta thấy việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên dẫn đến việc

tìm các điểm tới hạn của phiếm hàm J, tức là những điểm u e X mà DJ{u) = 0,

trong đó ngoài những điêm cực tiẽu địa phương còn cổ các điểm tới hạn khác nói chung là các điểm yên ngựa

Một trong những tiêu chuẩn tồn tại điểm tới hạn được đề cao đó là ’’định lý qua núi”

Năm 1950, Courant đưa ra định lý qua núi trong không gian hữu hạn chiều Năm 1973, Ambrosetti và Rabinowitz chứng minh định lý qua núi đối với phiếm

hàm J 6 C l (X) trong không gian Banach vô hạn chiều.

Định lý qua núi góp phần quan trọng trong việc áp dụng giải tích phi tuyến nghiên cứu các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

Như vậy, ý tưởng của phương pháp biến phân trong phương trình đạo hàm riêng là: để chứng m inh sự tồn tại nghiệm của bài toán biên ta có thê sừ dụng các phương pháp của lý thuyết tối ưu đê tìm điểm cực tiêu (hoặc diêm tới hạn) của phiếm hàm năng lượng liên kết với nó

1.1 M ộ t v à i v ấ n đê bổ sung kiến th ứ c

1 K h ô n g g ia n S o b o le v Giả sử Sì là một miền (mở và liên thông) trong Rn,

1=1

3 Chương 1 Phư ơng pháp b iến p h â n v à m ột sõ áp d ụ n g

nghĩa suy rộng của u xác định theo công thức

n

T a nòi Dữu € ư ’ (fỉ) nếu tồn tại một hàm ga £ ư (Q) sao cho

IM IW - = ma*llỠQwll£,+o° •|q|^ k

T a chú ý rằng phép đạo hàm của hàm suy rộng là liên tục theo nghĩa hội tụ yếu

trong L}oc (ũ) Nhiều tính chất của không gian ư (Q.) cũng đúng trong không gian

W k'P (n).

Định lý 1.1 Với k G No, 1 ^ p ^ +oo, w k'p (Í2) là một không gian Banach Không gian

w k'p (fỉ) là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < +oo Hơn nữa, w k'2 (Í2) là không gian Hilbert với tích vô hướng

fch

Với 1 ^ p < +oo, w k'p (f2) là không gian tách được.

Định lý 1.2 Với mọi k G No, 1 ^ p < +oo, không gian con w k'p (Q) n c°° (fỉ) trù mật trong w k'p (íỉ)

BỔ sung của w k'p (fỉ) nC °° (fỉ) trong w k'p (ũ) được ký hiệu là H k’p (Q) Đặc biệt

ngẫu.của H k'2 (ữ) được ký hiệu là H ~k (í)).

2 K h ô n g g ia n H o ld e r Giả sử rỉ c R" Hàm u : Q —» R được gọi là liên tục theo Holder với số mũ ị3 > 0 nếu

Ịu]<« SUp < +00

X.yẽn

4 C hương 1 P h ư ơn g pháp b iế n p h ả n và m ộ t số áp d ụ n g

Khi đó ta đồng nhất X với không gian con i ( X) c Y X được gọi là nhúng compắc vào Y nếu ánh xạ i biến tập con bị chặn trong X thành tập con compắc tương đối trong Y Ta có các định lý quan trọng sau đây.

Định lý 1.3 Cho Í2 c R" có độ đo Lebesgue c n(fì) < +oo, 1 ^ p ^ q < +oo Khi dó

ư (íĩ) c ư (í)).

Nếu £ ” (Í2) = +oo thì nói chung định lý không đúng.

Định lý 1.4 Giả sử Q là miền compắc tương đối trong R" và m ẽ N0, 0 ^ a < ị3 ^ 1 Khi dó

5 C hương 1 P h ư ơn g p háp b iế n p h â n v à m ộ t sô' áp d ụ n g

ii) Nếu 0 ^ TTI < k — 2 < ra + 1, 0 p ^ Q ^ k — m — - thì ta có p

wk'p (ũ) cm'a (Ũ)

và phép nhúng là compắc nếu a < k — m —

Tính compắc của phép nhúng w k'p (fỉ) ‘—> Lq (Q) là hệ quả của đinh lý Rellich-

miền £} bị chặn.

Định lý 1.6 (Định lý trù mật) Giả sử ũ c R n là miền bị chặn thuộc lớp c 1, k € N và

1 ^ p < +oo Khi đó c°° (H) trù mật trong w k’p (rĩ).

4 Bất đẳng thức Poincaré Giả sử là miền bị chặn trong Rn, d là đường kính

của Í7, u G H ị'2 (Í7) Khi đó

Định lý 1.7 Cho Q c R" là miền bị chặn thuộc lóp c \ tồn tại hằng số c = c(ũ) sao

1.1.2 T ín h k h ả v i củ a p h iếm hàm

1 Đạo hàm Frechet Cho V là không gian Banach, / là phiếm hàm xác định

trên V T a nói phiếm hàm / khả vi Frechet tại điêm u e V nếu tồn tại một ánh

xạ tuyến tính bị chặn, ký hiệu là f ( u ) € V* và được gọi là đạo hàm Frechet của / tại u sao cho

Nếu ánh x ạ u - + f { u ) là liên tục thì ta nói phiếm hàm / thuộc lớp C l {V) Chuẩn của f { u ) được xác định

Giả sử / là phiếm hàm khả vi Frechet trong không gian Banach V , V* là đối ngâu

của nó Ký hiệu (,) là phép toán đối ngẫu Như vậy

II/' (u)|| - sup {!/' (u) {h)\ : h e V , |Ị/iỊ| = 1}

6 C hương 1 Phư ơng p h áp b iế n p h â n v à m ột số áp dụng

và

là đạo hàm Frechet của / Khi đó với mọi h E V ta có

được xác định như sau

Điểm u e V thỏa mãn phương trình /'( tí) = 0 được gọi là điểm tới hạn, ngược lại

được gọi là giá trị tới hạn của / nếu tồn tại một điểm tới hạn u € V sao cho /(li) = /3, f' (u) = 0 Giả sử M là một tập con của V Điểm Uo e M là điểm cực

đến sự tồn tại điểm yên ngựa (saddle point), tức là các điểm tới hạn u của / sao

Trong các hệ vật lý, điểm yên ngựa xuất hiện như là trạng thái cân bằng không bền vững

2 Tính khả vi của phiếm hàm tích phân Đê’ đơn giản, ta ký hiệu H l'2 (fỉ),

dạng

vào dáng điệu của F T a có định lý sau đây.

7 Chương 1 P hư ơng p háp b iế n p h â n v à m ột sỏ' áp d ụ n g

Chú ý thẽm rằng các điều kiện tăng của định lý trước đòi hỏi cấu trúc khá đặc

tăng sau đây

Fl) \p\2 ^ F ( x , u , p ) ^ c ( \ u \ ) ( l + \p\2)

F2) Fu ( x , u , p K c ( M ) ( 1 + M 2)

F3) Fp (x, u,p) ^ c ( H ) ( l + |p|).

v ớ i X £ ũ , u £ R , p 6 K n

Với những giả th iế t như vậy, nói chung phiếm hàm f ( u) không th ể khà vi

tại Liệu nó có th ể mô tả điều kiện cần của cực trị dưới dạng phương trình Euler- Lagrange được hay không? Đê trà lời cho câu hỏi này, ta có định lý sau đây

8 Chương 1 P hư ơng pháp b iế n p h â n v à m ộ t sô' áp d ụ n g

Định lý 1.10 Giả sử phiếm hàm ỉ xác định như trên trong đó F là hàm Carathéodory thuộc lớp c 1 theo u và p thỏa mãn các điều kiện tăng tự nhiên FI)-F3) Khi đó, nếu

u, </? e H ì’2 (Í2) n L°° (rỉ), đạo hàm theo hướng ip của f tại u tồn tại và được xác định bởi công thức

n

kiện Fỉ)-F3) phương trình Euler-Lagrange thỏa mãn theo nghĩa yếu như sau

với mọi ự> G H 1’2 (fì) n L°° (íí).

Chú ý rằng giả th iế t u 6 L°° (Í2) thường được thỏa mãn tự nhiên.

Đê’ giải thích kỹ hơn về ý nghĩa của định lý này ta hãy nhắc lại khái niệm biến phân cấp 1 của phiếm hàm và phương trình Euler-Lagrange

bị chặn trong Rn với biên d ũ trơn F là một hàm trơn cho trước

là hàm tùy ý trong H l (fỉ) T a xét hàm thực

trong đó r > 0 đủ bé Vì u0 là điểm cực tiểu địa phương của / cho nên /ío ) đạt cực tiểu tại a = 0 Nếu ta ký hiệu

>

9 C hương 1 Phư ơng pháp b iế n p h â n và m ộ t số áp d ụ ng

Uo-Như vậy, ta có điều kiện cần của cực trị địa phương của phiếm hàm f{u), u e H là: nếu phiếm hàm / đạt cực tiểu địa phương tại điểm u0 €: H thì biến phân cấp

1 của / tại u0 nếu tồn tại sẽ bằng 0, tức là

được gọi là phương trình Euler-Lagrange của phiếm hàm /

thì u0 là nghiệm của phương trình Euler-Lagrange theo nghĩa yếu.

Định nghĩa Phương trình

Fu (X, ti, Vu) — divFp (x, u, Vu) = 0

Q

n

10 C hương 1 P hư ơng pháp b iế n p h â n v à m ộ t sô' áp d ụ n g

Phương trình Euler-Lagranger của phiếm hàm / là

—divV u = —Au = 0 trong ũ.

Nguyên lý Dirichlet được phát biểu như sau: hàm u e H là nghiệm của bài toán

Vì u e H q (£ ì ) ta suy ra

/(u ) = min f{w)

we/ỉẶ(íì)

11 C hương 1 P h ư ơn g p háp b iế n p h ả n và m ột sô' áp d ụ n g

Ngược lại, nếu u là điểm làm cực tiểu phiếm hàm f(u), ta suy ra u là nghiệm của

phương trinh Euler - Lagrange:

Điều đó có nghĩa là u là nghiệm của bài toán Dirichlet — Alt = g, u €

của nó là

Green ta suy ra u là nghiệm của bài toán Dirichlet.

1.1.3 M ô t số ư ớ c lư ợ n g cơ bản v ề p h ư ơ n g trìn h ellip tic

12 Chương 1 P h ư ơn g p háp b iế n p h â n v à m ột sô' áp d ụ n g

1.1.3.1 Ư ớ c lư ợ n g Schauder

Định lý 1.11 Giả sử L là toán tử elliptic cấp hai tuyến tính với hệ sô' thuộc lớp c a và giả sử u G c 2(fỉ) Giả thiết Lu = / G C“ (Í2) Khi đó u e C 2,a(í2), vả với mọi tập con compact íì1 c Q ta có ước lượng

Hơn nữa, nếu Ị thuộc lớp c 2'a(ũ), u 6 c ° ( ũ) và u = u0 trên biên dfl, trong đó

trong đó c là hằng số phụ thuộc vào L, p, n, Í2, Í2'.

1.1.3.3 T ín h đều

T a xét phương trình

- A u = g(-,u) trong Q c R",

theo Định lý nhúng Sobolev và Định lý 1.9 ta suy ra ỡ(-,ií) e // ~ l (n)

mãn điều kiện

[ợ(x,u)| ^ a(a:)(l + |u|) h.k.n trong Í2,

u G Lg(Q) với mọi q < +oo.

13 Chương 1 P hư ơng p háp b iế n p h ả n và m ộ t sô áp d ụ n g

Ap dụng Định lý 1.13 vào phương trình

của phương trình đang xét, thì u là nghiệm yếu của phương trình

—Au = a(x)(l + \u\),

Holder, áp dụng lý thuyết Schauder suy ra u € c 2(fì) (xem [7]).

1.1.3.4 N gu yên lý cưc đai

Định lý 1.14 Gid sử L là toán tử elliptic trong miền Q c M " dạng (A), u e c 2 (rĩ) n C 1 (r2) thoả mãn điều kiện

Hơn nữa, giả sừ tồn tại hàm h G C 2(Q) n c 1(fi) sao cho

Khi đó hoặc u > 0 trong Q hoặc u = Ị3h, với Ị3 ^ 0.

Đặc biệt, nếu L là toán từ elliptic tự liên hợp dạng (B) với hệ số atj e C 1,Q(Í2),

giá trị riêng tưomg ứng

đó ta có

của bài toán (1.12) sẽ hoặc dương trong Q hoặc đồng nhất 0 Bây giờ ta xét toán

từ elliptic dạng tự liên hợp (B) và ký hiệu

C( u v) được gọi là phiếm hàm toàn phương (hay dạng toàn phương) Dirichlet Ta

có nguyên lý cực đại yếu

( 1 1 4 )

14 C hương 1 Phư ơng pháp b iế n p h â n và m ột sõ áp d ụ n g

Định lý 1.15 (Nguyên lý cực đại yếu) GiảsửC(u,u) > 0 trong HẶ{Q) N ếuu G H^i ũ)

là nghiệm yếu của bất phương trình Lu > 0 theo nghĩa

(1.15) C( u, í f ) > 0 Vv? e H q (Q), ự>(x) > 0 trong Q,

và u > 0 trên dVt, thì u > 0 trong n.

ph ép tín h b iến phân

Trong chương này ta sẽ xét những điều kiện để cho phiếm hàm tích phân f (u)

xác định trong các không gian Sobolev tồn tại điểm cực tiểu

1.2.1 Đ iều k iên bứ c (coercive) và tín h n ử a liên tục d ư ớ i

T a xét phiếm hàm dạng tích phân

J n

Định nghĩa 1.1 Giả sử V là không gian Banach, f{u), li 6 V là một phiếm hàm xác định

Bây giờ ta giả th iết rằng với 1 < q < oo, hàm F ( x , z , p ) thoả mãn điều kiện: tồn tại các hằng số a > 0, 0 > 0 sao cho

Khi đó từ (1.16), với u e u /1’9(fì) ta suy ra

Vì tb ế f ( u) —> oo khi ||Vii||Lí(n) —> oo Điều kiện (1.18) được gọi là điều kiện bức

hàm F).

Trước hết ta chú ý rằng m ột hàm trcm / : R —> R bị chặn dưới chưa chắc đã

đạt cực tiểu (ví dụ hàm / = ex) Tuy nhiên một hàm liên tục / : R — > R thoả mãn

điều kiện bức sẽ đạt cực tiêu Nhưng điều khẳng định trên nói chung không đúng đối với phiếm hàm tích phân ta đang xét Như vậy tâ cần m ột điều kiện bõ sung nào đó cụ th ể là tính nửa liên tục dưới yếu mà ta sẽ nói đến dưới đây

điều kiện bức

15 C hương 1 Phư ơng pháp b iế n p h ả n v à m ộ t sô áp d ụ n g

Dáy {ufc}ĩ° như vậy được gọi là dãy cực tiểu của phiếm hàm / Vì / thoả mãn

W01,,?(Q) là không gian phản xạ, và đối ngẫu của nó là w _1'p(fỉ), với ị + - = 1, cho

f ( u ) = lim f ( u k ),

] —* oo

do đó không th ể suy ra u là điểm cực tiểu, tức là không th ể suy ra rằng /(?f) = m

Như vậy nếu phiếm hàm / liên tục theo sự hội tụ yếu thì /(li) = ra Nhưng điều kiện này ấn định lẽn phiếm hàm / là một điều kiện khá mạnh, m à dưới đây ta nhận thấy rằng có the thay th ế bằng một điều kiện khác yếu hơn

Định nghĩa 1.2 Ta nói phiếm hàm /(tí), u e M/01,9(rỉ), là nửa liên tục dưới yếu nếu với mọi dãy {ttfc}o° hội tụ yếu đến u e Wq1,,?(í2), thì

k—>oo

Ta thấy rằng nếu {Uk} là dãy cực tiểu của phiếm hàm / và / là nửa liên tục

dưới yếu, tức là khi đó nếu

uk —" u trong Wo’9^ ) ,

f ( u) ^ lim in f /(u fc).

k—> oo

thì

Vì lí € V^o’9(fì) nên /(ti) > m, từ đó suy ra /(ti) = m, tức là / đạt cực tiểu trong

Ta có điều kiện đủ sau đây về tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm (xem [7])

Định lý 1.16 (Tính nửa liên tục dưới yếu) Giả sử hàm Lagrange F( x, z , p) là bị chặn dưới và lồi theo p với mỗi X € Q Khi đó phiếm hàm f ( u ) là nửa liên tục dưới yếu trong

w}*(n).

Sau đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ để cho phiếm hàm bị chặn dưới và đạt cực tiểu T a có định lý sau

16 C hương 1 P h ư ơn g pháp b iến p h â n và m ột sô áp d ụ n g

điêu kiện compact bị chặn: Với mọi ữ ẽ K , tập hợp

là compact (tính chất Heine - Borel) Khi dó f bị chặn dưới đều trên M và đạt cực tiểu.

là compact và khác rỗng, hơn nữa K m D K m+], Vra Do tính compact của các tập K m cho nên tổn tại u e Pl K m và thoả mãn f(u) ^ a m với mọi m Cho qua giới hạn khi

là tập mở, điều đò có nghĩa là / là nửa liên tục dưới Ngược lại nếu / là nửa liên

tục dưới và với m ột giá trị ã £ R nào đó tập K ở la compact thì K a sẽ compact với mọi a ^ ã, và từ đò khẳng định của Định lý 1.17 là đúng.

Trong khi áp dụng, ta có định lý sau đây là trường hợp riêng của Định lý 1.17

m à các điều kiện của nổ có thể kiểm tra dễ dàng hơn

Định lý 1.18 Giả sử V là không gian Banach phản xạ, M là tập hợp con dóng yếu của

Khi đó f ( u) bị chặn dưới trên M và đạt cực tiểu trong M

Chú ý Theo Định lý Mazur: mọi tập con đóng, lồi của không gian Banach V là đóng yếu, và phiếm hàm / : V —* R xác định f (u) = IIliII là phiếm hàm nửa liên tục dưới yếu.

tức là f( um) —> ao khi m —► 00 Vì / thoả m ãn điều kiện bức, ị f ( u m)} là dãy bị chặn,

nên {iím} là dãy bị chặn trong V Vì V là không gian Banach phản xạ nên tồn tại một dãy con {iífc } hội tụ yếu trong V, tức là tồn tại u G V sao cho

17 C hương 1 P h ư ơn g p háp b iế n p h â n và m ột s ố áp d ụ n g

*

với phương trình elliptic tựa tuyến tính (suy biến) sau

thoả mãn điểu kiện bức (coercive) Thật vậy, ta có

18 C hương 1 P hư ơng pháp b iế n p h â n v à m ột số áp d ụ ng

nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange

Do đó u là nghiệm yếu của bài toán đang xét.

Chú ý: Với p > 2 p —Laplacian là đơn điệu mạnh theo nghĩa

J (|Vti|p-2Vu - |Vu|p-2Vi>)(Vu - Vu) > c\\u - v\\pH.

0

19 Chương 1 P hư ơng p háp b iế n p h ả n và m ột sô áp d ụ n g

Ta có định lý sau đây về sự tồn tại cực tiểu có ràng buộc

Định lý 1.20 Giả sử tập M khác rỗng Khi đó tồn tại u e M sao cho

I(u) = min I(v).

v£M Chứng minh Chọn dãy cực tiểu {uk}Ỹ=i c M sao cho

I{uk) —> m = inf ỉ(v).

d € M

con {uk }°°! hội tụ yếu trong HẶ(Q) và tồn tại u (E HẶ(ÍÌ) sao cho uk} —1 u trong HẶ(Q) Đồng thời ta có I(u) ^ m = inf I(v).

v£M Theo định lý nhúng Sobolev, Ukj —» u trong L 2(ĩì).

Vì vậy

[ G(u)dx h

20 C hương 1 Phư ơng pháp b iế n p h â n và m ột sỗ áp d ụ n g

Áp dụng tính khả vi của G(u), và từ (1.26) ta suy ra

|G(u) - G ( u kj)\ ^ \u - ukj\\g{u + e(u - ukj))\

Định nghĩa 1.3 Bài toán biên Dirichlet dạng

(1.29)

được gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến

Giá trị tham số A sao cho đối với nó bài toán giá trị riêng có nghiệm u khác không trong HẶ (Í2) được gọi là giá trị riêng, còn nghiệm U=Ẻ 0 được gọi là hàm riêng tương ứng

với giá trị riêng A

Sự tồn tại hàm riêng và giá trị riêng phi tuyến được suy ra từ định lý 1.20 và dịnh ]ý 1.21 sau đây

Định lý 1.21 (Nhản tử Lagrange) Giả sử u 6 M là phần tử làm cực tiểu của phiếm hàm I(v)

(giá trị X được gọi là nhân tử Lagrange)

chọn được hàm w G Hq(Q) sa0 ch°

/n

g(u).wdx Ỷ

0-21 C hương 1 P hư ơng pháp b iế n p h â n v à m ộ t sỏ áp d ụ n g

Xét hàm hai biến số

íì Khi đó: /ì(0,0 = f G(u)dx = 0 và /i(í,r) € c \ đồng thời ta có

22 Chương ỉ Phư ơng pháp b iế n p h â n v à m ộ t sô' áp d ụ n g

Ta có điểu phải chứng minh

2 Nếu g(u) = 0 hầu khắp nơi trong Q Khi đó ta có

23 Chương 1 Phư ơng p háp b iế n p h â n và m ộ t sô' áp d ụ n g

chúng u Ệ ư ịy ì), cho nên f ( u) có thể không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới trong

Để tìm nghiệm bài toán biên đang xét ta đưa về bài toán cực tiểu hoá phiếm hàm

J (ViiVu + Xuv — u\u\p 2v)dx — 0 \fv £ C “ (Í2)

24 Chương 1 Phư ơng pháp b iế n p h â n v à m ột s ố áp d ụ n g

Ta xét hạn chế của phiếm hàm / trên M

Ta sẽ chứng minh rằng phiếm hàm / I M thoả mãn các giả thiết của định lý 1.18.

Ư{SĨ),P € (2,2*) Vì J \uk\pdx = 1, cho nên qua giới hạn ta cũng có / \u\pdx = 1, do

Từ đó suy ra / thoả mãn điểu kiện bức với mọi A > -A ]