CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHIA HẾT

Qua thực tế giảng dạy và chủ yếu là bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở các lớp 6, 7 và 8 trong trường THCS, tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúng túng về cách tìm lời giải khi gặp phải n[r]

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN LẬP THẠCH

TRƯỜNG THCS THÁI HÒA

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ:

ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHIA HẾT

Thời lượng: 30 tiết (lớp 6, 7) Người thực hiện: LÊ QUANG ĐÔNG Chức vụ: Giáo viên.

Đơn vị:Trường THCS Thái Hòa – Lập Thạch – Vĩnh

Ngay từ khi học bậc học Mầm non các em đã được là quen với các con

số 1, 2, 3, Đến khi học lên Tiểu học và Trung học cơ sở thì bộ môn Toánđược xác định là môn công cụ, rất quan trọng đối với mỗi học sinh

Trong chương trình Toán bậc THCS, cụ thể là ở các lớp 6 và 7 thì sốhọc là nội dung kiến thức vô cùng quan trọng bởi đây sẽ là nền tảng giúp các

em có thể khám phá nhiều nội dung khác của Toán học

Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏibản thân tôi nhận thấy để việc học những nội dung phần Số học được tốt, cụthể là các chuyên đề chia hết, tìm chữ số tận cùng hay chuyên đề số chínhphương, được tốt hơn thì việc ứng dụng Đồng dư thức một cách hợp lý sẽcho chúng ta những lời giải hay và ngắn gọn, học sinh rất dễ nắm bắt kiếnthức Nhưng nội dung này lại không được đề cập trong chương trình mônToán THCS Chính vì những lý do trên mà tôi mạnh dạn giới thiệu tới các

đồng nghiệp chuyên đề “ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng

toán số học” Với mục đích giúp các em học sinh có thêm một cách tiếp cận

mới đối với một số dạng toán cơ bản

II Mục đích, phạm vi, đối tượng của chuyên đề:

1 Mục đích của chuyên đề:

- Giới thiệu tới các em HS các khái niệm, tính chất của đồng dư thức

- Rèn kỹ năng giải các bài toán có liên quan đến đồng dư thức Từ đó

áp dụng vào quá trình học tập, nghiên cứu nhằm đạt kết quả cao trong các kỳthi HSG

2 Phạm vi nghiên cứu chuyên đề:

- Chương trình môn Toán cấp THCS

3 Đối tượng của chuyên đề:

- Áp dụng cho học sinh khá, giỏi cấp THCS

PHẦN II: NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận.

Số học là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Toán

ở cấp THCS Từ những phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn giản giữa các sốđến các bài toán đòi hỏi tư duy cao hơn như là dạng toán cấu tạo số, các bàitoán về số nguyên tố, số chính phương, các bài toán chia hết,…thường dànhcho đối tượng là học sinh khá, giỏi và một nội dung kiến thức có thể giúpchúng ta tìm ra lời giải một số dạng toán trên chính là sử dụng những kiến

thức về Đồng dư thức Đây là nội dung không được đề cập trong chương

trình chính khóa nhưng lại rất cần thiết trong việc Bồi dưỡng HSG, nên đòihỏi giáo viên phải tìm hiểu nghiên cứu và tìm ra những nội dung cần thiết đểgiúp học sinh tiếp thu và vận dụng một cách phù hợp trong suốt quá trìnhhọc Từ đó áp dụng vào giải các dạng toán có liên quan đồng thời phát triển

tư duy toán học Để rồi vận dụng vào các môn học khác cũng như trong đờisống hàng ngày

II Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế giảng dạy và chủ yếu là bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

ở các lớp 6, 7 và 8 trong trường THCS, tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúngtúng về cách tìm lời giải khi gặp phải những bài toán về chia hết, tìm chữ số tận cùng, số chính phương, …mặc dù đó không phải là những bài toán quá khó, hay như những bài toán nếu áp dụng kiến thức của Đồng dư thức vào thìcho ta lời giải rất hay và ngắn gọn, hoặc có những bài toán khi ta áp dụng kiến thức của lớp 8 thì mới giải được, nhưng khi sử dụng Đồng dư thức vào giải thì mới phù hợp với khả năng tư duy của học sinh lớp 6 và lớp 7 Từ cơ

sở lý luận và cơ sở thục tiễn như vậy mà tôi đã chọn chuyên đề:

“ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng toán số học”

1 Kiến thức cơ bản

1.1 Định nghĩa:

- Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c  0) mà có cùng số dư thì) mà có cùng số dư thì

ta nói a đồng dư với b theo môđun c; kí hiệu là a  b (mod c)

- Như vậy: a  b (mod c)  a – b chia hết cho c.

- Hệ thức có dạng: a  b (mod c) gọi là một đồng dư thức, a gọi là vếtrái của đồng dư thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun

1.3 Một số kiến thức liên quan:

Trong khi làm bài tập sử dụng đồng dư thức, ta nên chú ý tới các tính chất hay

dùng sau đây:

+ Trong n số nguyên liên tiếp (n  1) có một và chỉ một số chiahết cho n

+ Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n  1) đem chia cho n thì phải có hai số khi chia cho n có cùng số dư; (Theo nguyên lí Đirichlet)

+ Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số dư khi chia A cho 10) mà có cùng số dư thìm.

2 ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI TOÁN.

dư thức để có được lời giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.

Bài 2: ( Sách Phát triển toán 8 tập 1).Chứng minh rằng:

Từ (5) và (6) ta được: A  0) mà có cùng số dư thì (mod 7)

b) Ta có:

Từ (1) và (2), cộng vế với vế, ta được B  0) mà có cùng số dư thì (mod 13).

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n  N.

Bài 5: ( lớp 8) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1:

Lời giải

Ta có: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B

Với n > 2, ta biến đổi A như sau:

Với một số bài toán có luỹ thừa tầng thì khi chúng ta sử dụng Đồng dư thức thì sẽ giúp cho học sinh có được cách giải tổng quát cho dạng toán đó Chẳng hạn

Từ đây ta xét M 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì320) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4nchia cho 5 có số dư là bao nhiêu

Vì 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4 4  nên ta đặt 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4n  4k và M 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì320) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4n  20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì34k

Mà 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3 3 mod 5   => 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì34k 34kmod 5 81 mod 5k  1 mod 5 

 và P 34n1

* N 24n1 2.16n 2.6 mod10) mà có cùng số dư thìn  2 .6 mod10) mà có cùng số dư thì    2 mod10) mà có cùng số dư thì 

 0) mà có cùng số dư thì(mod 13)

Vậy D chia hết cho 13 với mọi n

Sau khi đã hình thành cho các em một số kỹ năng nhất định qua dạng toán chứng minh trên thì với cách biến đổi tương tự các em sẽ không gặp quá nhiều không khi gặp một số dạng toán sau:

2.2 DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN TRONG PHÉP CHIA

+ Trường hợp 1: Tìm số dư của A = 776776 + 777777 +778778 khi chia cho 3.

Ta có: 776  2 (mod 3)

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.

Lời giải

Cách 1: Gọi n là số tự nhiên chia 5 dư 1 và chia 7 dư 5

r chia 5 dư 1, chia 7 dư 5

Số nhỏ hơn 35 chia 7 dư 5 và chia 5 dư 1 là 5; 12; 19; 26; 33 Trongcác số trên chỉ có 26 là số chia cho 5 dư 1 Vậy r = 26

Thay (2) vào (1), ta được: A = 7(5m-2)+5 = 35m - 9

=> A  -9 (mod 35)  26 (mod 35)

Vậy số A =26

Nhận xét: Nếu sử dụng Đồng dư thức cho loại toán này thì ta có thể giải được các bài toán có nhiều số chia hơn, hoặc các số chia có giá trị lớn một cách dễ dàng hơn, đồng thời ta có được cách giải rõ ràng cho dạng toán này.

Bài 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì

dư 112, chia n cho 132 thì dư 98.

Từ (1) và (2) suy ra: 132n -131n = 131.132(x –y) + 1946 => n =1946

Bài 5: Một số tự nhiên chia 4 dư 3, chia 17 dư 9, chia 19 dư 13 Hỏi

số đó chia 1292 dư bao nhiêu.

Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên thì việc thử loại sẽ mất rất

nhiều thời gian và nếu là các số chia lớn thì để giải được bài toán ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn.

Cách 2: Gọi số tự nhiên cần tìm là A, ta có:

A  3 (mod 4); A  9 (mod 17); A  13 (mod 19)

Từ A  13 (mod 19) => A = 19k+13 ( k thuộc N) (1)

Mặt khác: A  3 (mod 4) =>323m-25  3 (mod 4)

=> 324m-m-1 3 (mod 4)

=>-m  0) mà có cùng số dư thì (mod 4)

=> m = 4n ( n thuộc N) (4)

Thay (4) vào (3) => A = 1292n -25 -25 (mod 1292)  1267 (mod 1292)

Vậy số A chia cho 1292 dư 1267

Bài 6: Xác định giá trị của n để:

Trong các trường hợp trên thì n = 5k + 4 là thoả mãn điều kiện

a Tìm số dư trong phép chia A chia cho 7

b Xét số dư khi chia A cho 10) mà có cùng số dư thì

Ta có: 1994  4 (mod 10) mà có cùng số dư thì)

Ta xét số dư khi chia A cho 2 và cho 5

Ta có : 1994  0) mà có cùng số dư thì (mod 2)

1994  4 (mod 5)  (-1) (mod 5) => 199420) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì5  (-1)20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì5 (mod 5)  (-1) (mod 5)  4 (mod 5) => A  4 (mod 10) mà có cùng số dư thì)

Vậy chữ số tận cùng của A là 4

c)

Bài 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của số:

a) A = 220) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4

Ta có: A = 234 = 281 = 24.20) mà có cùng số dư thì + 1 = 2.(24)20) mà có cùng số dư thì = 2.1620) mà có cùng số dư thì

Mà 16  6 (mod 10) mà có cùng số dư thì)  1620) mà có cùng số dư thì  620) mà có cùng số dư thì (mod 10) mà có cùng số dư thì)

Từ đó: 1620) mà có cùng số dư thì  6 (mod 10) mà có cùng số dư thì), mà 2  2 (mod 10) mà có cùng số dư thì)

Nên: 2.1620) mà có cùng số dư thì  6.2 (mod 10) mà có cùng số dư thì)  2.1620) mà có cùng số dư thì  2 (mod 10) mà có cùng số dư thì)

=> A chia cho 10) mà có cùng số dư thì dư 2

Vậy A có chữ số tận cùng là 2

Giải

Ta có: B = 515 = 53.5 = 1255  (-3)5 (mod 26)

=> B  20) mà có cùng số dư thì3125 (mod 10) mà có cùng số dư thì6)

=> B chia cho 10) mà có cùng số dư thì6 dư 20) mà có cùng số dư thì3125

Vậy B có 6 chữ số tận cùng là 20) mà có cùng số dư thì3125

Khi học sinh đã nắm vững cách tìm chữ số tận cùng thì ta có thể đưa ra một dạng toán khác nhưng có cách giải tương tự.

Bài 5: Hỏi số sau đây là số nguyên hay là phân số:

 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6

) 0) mà có cùng số dư thì, 7 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3

a) Ta xét A 0) mà có cùng số dư thì, 7 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì4  20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6

khi chia cho 10) mà có cùng số dư thì.

Ta có 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì1  1 mod10) mà có cùng số dư thì 

20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6

20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3  3 mod10) mà có cùng số dư thì

 910) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3mod10) mà có cùng số dư thì  910) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì3mod10) mà có cùng số dư thì

  1 mod10) mà có cùng số dư thì    9 mod10) mà có cùng số dư thì 

3.9991mod10) mà có cùng số dư thì 3 1  991 mod10) mà có cùng số dư thì

3 mod10) mà có cùng số dư thì  7 mod10) mà có cùng số dư thì 

7 1  958 mod10) mà có cùng số dư thì 7 mod10) mà có cùng số dư thì 

2.4 DẠNG 4: ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ

chia hết cho 7 hay không

Vậy A luôn chia hết cho 11 nên A không là số nguyên tố.

Bài 4: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương.

c) C  1 910) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì 9410) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì 199410) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì

Lời giải

Cách 1: Ta sử dụng tính chất của số chính phương để chứng minh các

số trên không phải là số chính phương

phương

số 1993 ;19952 2 là các số chính phương lẻ) nên chia 4 dư 1 Số B chia 4 dư 2, nên B không là số chính phương

c) Tương tự ý b) ta có C chia cho 4 dư 2 nên C không là số chính phương

Cách 2: Nếu ta sử dụng Đồng dư thức thì có 1 cách làm chung cho cả

3 ý trên và cách làm đơn giản hơn nhiều.

A   0) mà có cùng số dư thì 1 2 mod 32  2 mod 3  Nên A không là số chính phương.

phương

c) C  1 910) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì 9410) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì 199410) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì

C   1 1 210) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì210) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thìmod 4 2 mod 4  Nên C không là số chính phương

Mà số chính phương chia 4 chỉ dư 0) mà có cùng số dư thì hoặc 1

Vậy A không là số chính phương

Bài 1: Tìm số dư trong phép chia số A = 15325 – 1 khi chia cho 9

Bài 2: Cho số nguyên n > 1 Tìm dư trong phép chia:

A = 19nn + 5n2 + 1890) mà có cùng số dư thìn + 20) mà có cùng số dư thì0) mà có cùng số dư thì6 cho B = n2 – 2n + 1

Bài 5: Cho n là một số tự nhiên Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng:

b) B = 1890) mà có cùng số dư thì1930) mà có cùng số dư thì+ 19451975+ 1 chia hết cho 7

Bài 9: Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng:

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có:

Bài 11: Cho a; b là các số nguyên Chứng minh rằng:

2a + 11b chia hết cho 19  5a + 18b chia hết cho 19

Sau nhiều năm trực tiếp đứng lớp giảng dạy và bồi dưỡng HSG môn

Toán tại THCS Thái Hòa và qua nghiên cứu chuyên đề “Ứng dụng Đồng dư

thức vào giải một số dạng toán chia hết” bản thân tôi đã tích lũy thêm nhiều

kiến thức của phần Số học trong bộ môn Toán Xây dựng được khung

chương trình dạy phần Số học của cấp THCS, có phương pháp giải các bài

toán rõ ràng hơn, từ đó đã giúp HS rèn luyện kỹ năng, gây được hứng thú học

tập cho HS và được các đồng nghiệp trong trường sử dụng để phục vụ cho

công tác bồi dưỡng HSG

Kết quả của việc ứng dụng chuyên đề vào Bồi dưỡng Học sinh giỏi:

Năm học 20) mà có cùng số dư thì10) mà có cùng số dư thì – 20) mà có cùng số dư thì11

- Có 0) mà có cùng số dư thì1 học sinh đạt giải Nhất môn toán 6 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì2 học sinh đạt giải Nhì môn toán 6 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Ba môn toán 6 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải KK môn toán 6 cấp huyện

Năm học 20) mà có cùng số dư thì11 – 20) mà có cùng số dư thì12

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Nhất môn toán 7 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Nhì môn toán 7 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì2 học sinh đạt giải Ba môn toán 7 cấp huyện

Năm học 20) mà có cùng số dư thì12 – 20) mà có cùng số dư thì13

- Có 0) mà có cùng số dư thì1 học sinh đạt giải Nhất môn toán 8 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì1 học sinh đạt giải Nhì môn toán 8 cấp huyện

- Có 0) mà có cùng số dư thì3 học sinh đạt giải Ba môn toán 8 cấp huyện

2 Kết luận

Trên đây là nội dung đề tài mà tôi đã tìm hiểu trong suốt quá trình giảng

dạy và bồi dưỡng Học sinh giỏi các lớp 6 và 7 Trong quá trình thực hiện và

trình bày đề tài không thể tránh khỏi những thiếu xót Vì vậy tôi rất mong nhận

được nhiều sự phê bình, đóng góp ý kiến để đề tài được phong phú và hoàn

thiện hơn nhằm áp dụng trong quá trình giảng dạy góp phần nâng cao chất

lượng Học sinh giỏi môn Toán của bậc THCS

Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo !.

Thái Hòa, ngày 17 tháng 2 năm 2014

Người thực hiện chuyên đề

LÊ QUANG ĐÔNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách Nâng cao và phát triển toán 6 -7- 8 – NXB Giáo dục Việt Nam

( Tác giả: Vũ Hữu Bình)

2) Sách Nâng cao và các chuyên đề đại số 7 – NXB Giáo dục Việt Nam

( Tác giả: Bùi Văn Tuyên)

3) Các chuyên đề Số học Học sinh giỏi THCS - NXB Giáo dục Việt Nam

( Tác giả: Phạm Minh Phương)

4) Các bài toán phát triển Bồi dưỡng Học sinh giỏi Số học 9 – NXB Đại

học quốc gia TP Hồ Chí Minh

( Tác giả: Võ Đại Mau)

5) Toán tuổi thơ 2 - NXB Giáo dục Việt Nam.