- Tính chất đường chéo của tứ giác đặc biệt. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ M bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB, BC, CA cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng min[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH :
TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY )
I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.
1 Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn :
Cách 1 Sử dụng định nghĩa đường tròn
Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC Kẻ các đường cao AM, BN, CP ; H là
trực tâm tam giác Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm các cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự
là trung điểm AH, BH, CH
Chứng minh : 9 điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm trên một đường tròn
O
K I
G
D
P
N
M
H
C B
A
Cách 2 Sử dụng định lí đảo về Tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hệ quả 1: Nếu một tứ giác có một góc bằng góc kề bù với góc đối của nó thì tứ giác nội
tiếp một đường tròn
Hệ quả 2 : Nếu MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.
D C
B
A
M
Ví dụ : Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không
trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn
Trang 2H
D E
C B
O A
Cách 3 : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.
Nếu nhiều điểm cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AB, cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một đường tròn nhận AB làm dây
G
F E
D
C
B A
Hệ quả : Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I thỏa mãn IA.IB = IC.ID thì bốn điểm A,B,C,D thuộc một đường tròn
I
D
C
B A
Ví dụ : Cho (O) MA, MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( MC < MD ) Gọi I là
trung điểm CD, K là giao điểm của AB và MD Chứng minh 4 điểm M, A, I, B thuộc một đường tròn Từ đó suy ra : KC.KD = KM.KI
H K
D
B
A
O M
Trang 32 Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
Các cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
Cách 1 : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn ( đường thẳng và đường tròn có
duy nhất một điểm chung )
Cách 2 : Theo VTTĐ của đường thẳng và đường tròn ( chỉ ra khoảng cách từ tâm đường
tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn )
Cách 3 : Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính
đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn
Cách 4 : Sử dụng định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
Nếu
2
ABx AmB
thì Bx là tiếp tuyến của (O)
x B
A O
Ví dụ Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định Từ điểm A kẻ đường
thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC
Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
B
I M D
C
O H A
+ OI.OD = OC2 = OM2 (1)
+ PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2)
+ Từ (1) và (2) => OM2 = OH.OA => AM là tiếp tuyến (O)
3 Chứng minh đường thẳng song song, góc bằng nhau
a Chứng minh đường thẳng song song.
- Quan hệ từ vuông góc đến song song
Trang 4- Góc ở vị trí SLT, SLN, ĐV, trong cùng phía bù nhau.
- Cạnh đối các tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV
- Định lí thứ nhất về đường trung bình của tam giác, của hình thang
- Định lí Ta let đảo
b Chứng minh góc bằng nhau.
- Cộng góc
- Góc SLT, SLN, ĐV
- Góc có cạnh tương ứng song song
- Sử dụng tam giác bằng nhau, đồng dạng
- Quan hệ các góc trong đường tròn : Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây
Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF Tiếp
tuyến tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P CMR : NP // MS
O
P M
F
E A
C B
S
+
AEB BMS
+ ABx ACB MEC
AEM ABS c g c
AS AB
AN AE AEN ABP g g
AP AB
Từ (1) và (2) suy ra NP//MS ( định lí Ta let đảo )
4 Chứng minh đẳng thức hình học.
- Các phép biến đổi tương đương
- Định lí Pitago
- Định lí Ta let và hệ quả
- Cạnh , đường chéo trong tứ giác đặc biệt
- Tam giác bằng nhau, đồng dạng
- Định lí thứ nhất , thứ hai về đường trung bình của tam giác, của hình thang
Trang 5- Tớnh chất trọng tõm tam giỏc.
- Trong một đường trũn, hai cung bằng nhau căng hai dõy bằng nhau; hai dõy song song chắn hai cung bằng nhau
- Quan hệ giữa cỏc gúc trong đường trũn
- Phương tớch của một điểm đối với đường trũn
Vớ dụ 1 Từ một điểm D nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến
đ-ờng tròn (A và B là các tiếp điểm) Tia Dx nằm giữa hai tia DA và DO; Dx cắt đờng tròn
tại hai điểm C và E (E nằm giữa C và D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB tại M
Chứng minh rằng:
2
=
M
C E
O
B
A
D
+
AEC MBC g g
+
2
DAE DCA g g
#
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Vớ dụ 2 Cho đường trũn (O;R) đường kớnh BC Gọi A là điểm thỏa món tam giỏc ABC
nhọn AB, AC cắt đường trũn trờn tại điểm thứ hai tương ứng là E và D Trờn cung BC
khụng chứa D lấy F(F B, C) AF cắt BC tại M, cắt đường trũn (O;R) tại N(N F) và cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE tại P(P A)
a) Chứng minh AN.AF = AP.AM
b) Gọi I, H thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của F trờn cỏc đường thẳng BD, BC Cỏc đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K Chứng minh :
DC BD BC
FK FI FH
Trang 6P
N
E
O B
D
C A
F
I
H
K
a) APEADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)
ABM ADE (Cùng bù với góc EDC)
Suy ra: ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM
AE AM
AE AB AM AP
Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF
AE AF
AE AB AN AF
Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM
b) Xét I nằm giữa B, D ( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD)
Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK ( cùng bằng FBD ), suy ra tứ giác
CKFH nội tiếp nên FKC 900
Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:
FK FH
Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:
CK BI
FK FI
Suy ra:
DC BH BI
FK FH FI
FK FI FH FI FI FH FI
Mà
ID HC
FI FH suy ra:
FK FI FH FH FH
Trang 75 Chứng minh thẳng hàng ( đồng quy ).
Một mệnh đề toán học khẳng định 3 điểm thẳng hàng luôn có một mệnh đề tương đương khẳng định 3 đường thẳng đồng quy
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng ( 3 đường thẳng đồng quy ):
- 3 điểm tạo thành góc bẹt
- Tiên đề Euclid
- Bổ đề hình thang
- Ba đường cao, đường phân giác trong ( trong - ngoài ), ba đường trung tuyến, ba đường trung trực trong tam giác
- Tính chất đường chéo của tứ giác đặc biệt
- xAB xAC
x
C B
A
- Góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì đường nối tâm đi qua tiếp điểm
Ví dụ 1 ( Đường thẳng Simson ).
Cho ba điểm A, B, C trên đường tròn Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ M bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB, BC, CA cùng nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Simson của điểm M )
F E
D
M
C B
A
+ FCM MBD FMC BMD BED FEC => D, E, F thẳng hàng
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B,
C cố định, A di động trên cung lớn BC) Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Từ M
kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I
Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng
Trang 8Q
P
O
I
F E
D
M
C B
A
Có MIC MOC (BAC) => B, O, I, C, M thuộc đường tròn đường kính OM
=> PF/(BOICM) = FI.FM = FC.FB (1)
Lại có PF/(O) = FC.FB = FQ.FT (2)
=> FI.FM = FQ.FT => 4 điểm M, T, I, Q thuộc một đường tròn => QTM 900=> M, T, P thẳng hàng
II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1 Cho tam giác MNP vuông tại M Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam
giác MNP sao cho NQ = NP và MNPPNQ và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E
1) Chứng minh PMI QNI
2) Chứng minh tam giác MNE cân
3) Chứng minh: MN PQ = NP ME
Bài 2 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt
nhau tại E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE.DN = EN.BD
Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M
là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD
1) Chứng minh OM // DC
2) Chứng minh tam giác ICM cân
3) BM cắt AD tại N Chứng minh IC2 = IA.IN
Bài 4 Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại 2 điểm B, C ( AB < AC ) Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
Trang 92) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O)
Chứng minh DM AC
3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2
Bài 5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy điểm C ( CA >
CB) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D Kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh : 2BCF CFB 900
3) BD cắt CH tại M Chứng minh EM // AB.
Bài 6 Cho tam giác ABC có A 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai tại D, đường thẳng AC cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai là E
1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn
2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) ( F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD
3) Gọi H là giao điểm của AB và EF Chứng minh rằng BH.AD = AH BD
Bài 7 Cho đường tròn ( O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên
đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O và A) Tia CM cắt đường tròn ( O; R) tại điểm thứ hai là N Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại N Tiếp tuyến này cắt đường thẳng vuông góc với AB tại M ở P
1) Chứng minh OMNP là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh CN// OP
3) Khi AM =
1
3AO Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R
Bài 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ các đường cao BE,
CF của tam giác ấy Gọi H là giao điểm của BE và CF Kẻ đường kính BK của (O).
a) Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N Chứng minh AM = AN.
Bài 9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C
khác A và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn
2) Gọi I là trung điểm của BF.Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho
3) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của CKE cắt AE và AF lần lượt tại
M và N Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
Trang 10Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên cạnh BC
lấy điểm M (M khác B, C và H) Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F
1) Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh BE.CF = ME.MF
3) Giả sử MAC 45 0 Chứng minh
BE HB
=
Bài 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC Đường
thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE
a) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R) Chứng minh rằng
2
CED AMB
c) Tính tích MC.BF theo R
Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE,
CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 13.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC Đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A Tiếp tuyến tại B và
C của đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE
1) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R) Chứng minh rằng
2
CED AMB
3) Tính tích MC.BF theo R
Bài 14.
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Gọi m là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 15.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn (
,
M A M B) Tia BM cắt tiếp tuyến của nửa đường tròn kẻ từ A tại I, phân giác của
Trang 11góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F Tia BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ABF là tam giác cân
b/ BE BH. BM BI.
c/ Tứ giác AKFH là hình thoi
Bài 16.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (O) lấy 2
điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D Đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F
a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp
b) Chứng minh: BF = BG
c) Chứng minh:
DA DG DE
BA BE BC
Bài 17.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
1) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp Suy ra AHC 180 0 ABC
2) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và
N là điểm đối xứng của M qua AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp
3) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN
Chứng minh AJI ANC
4) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
Bài 18.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường tròn
(C) có tâm C, bán kính CA Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai
là D
1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C)
2)Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với
AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F Gọi K là trung điểm của EF Chứng minh rằng:
a) BA2 = BE.BF và BHE BFC
b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một
Bài 19.
Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm) Gọi M là trung điểm của AB Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại N (N khác C)
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
Trang 12b) Chứng minh MB2 MN MC.
c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D ( D khác N) Chứng minh: MAN ADC
Bài 20.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF Tiếp tuyến tại
B và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại M
a) Chứng minh AB MB = AE.BS
b) Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng
c) Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P CMR NP vuông góc với BC
Bài 21 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng
với A, B), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại
I, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K
a) Chứng minh rằng:ABM IBM và ABI cân
b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp
c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N Chứng minh đường thẳng NI
là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) và NIMO
d) Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn (B;BA) tại D (D không trùng với I) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng
Bài 22 Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường
thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C
là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO)
a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO Chứng
minh tứ giác AHOB nội tiếp
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường
kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC
d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS
và T là trung điểm của KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
Bài 23.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạn thẳng OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với (O) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax tại C Qua I dựng một đường thẳng vuông góc với IC cắt tia By tại D Gọi E là giao điểm AM, CI và F là giao điểm ID và MB
1/ Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nội tiếp
2/ Chứng minh EF // AB