Trọn Bộ Chuyên đề HH -Trần Đình Cư | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB,  SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu[r]

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 8 GÓC TRONG KHÔNG GIAN 3

DẠNG 1 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 3

DẠNG 2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 9

DẠNG 3 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 16

CHỦ ĐỀ 8 GÓC TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 1 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD ,

SA AB a  , AD3a Gọi M là trung điểm BC Tính cosin góc tạ bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB2a và góc BAD120 Hình chiếu vuông

góc của S xuống mặt phẳng đáy ABCD

trùng với giao điểm I của hai đường chéo và 2

a

SI 

Tính góc tạobởi mặt phẳng SAB

BI

BI a AB

Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a SA SB ,  và ACB 30 ,

SASB Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

34

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE Khi đó dễ

thấy H là trọng tâm tam giác ABD.

Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó AM SBC

Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó

13

 

Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là  với cos  1365.

23

và ABC

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A trên ABC

Vì A A A B'  '  A C' nên HA HB HC  , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC 4 Gọi H là trung điểm

của AB, SH ABC

AH HP

Hướng dẫn giải

Kẻ OPAB SAB , ABC  SPO

Ta có

6tan

D

15

Hướng dẫn giải

Kẻ ME song song với DN với E AD suy ra 2

a

AE

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM DN, nên SM ME,  

Gọi H là hình chiếu của S lên AB Ta có SH ABCD

7

SA AIS

SI

mà sin

DE AIS DI



3.sin

Vậy chọn đáp án C.

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB2 ,a AD DC a  ,

Hướng dẫn giải

Ta có  SBC , ABCD  ACS

Ta có AC AD2DC2 a 2

1tan

2

SA ACS



D

15

DẠNG 2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và

BCD vuông góc với nhau Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC

Hướng dẫn giải

Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD, AB,

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a SB a ,  3 và mặt phẳng SAB

vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ABCD

Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có: SA2SB2 a23a2  AB2  SAB vuông tại S

cos

552

a a

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

1'

tam giác B BH' là cân tại B' Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA' và

' '

B C thì  B BH'

Vậy

1cos

a a

Vậy chọn đáp án B.

Câu 4. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân ABAC a BAC , 120 và AB' vuông góc

với đáy A B C' ' ' Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC' và A B' ', mặt phẳng AA C' ' tạo với mặtphẳng ABC một góc 30° Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và C N'

A

7

52

32

7229

Gọi E là trung điểm của AB', suy ra ME C N|| ' nên C N AM' ,   EM AM, 

MA

Vậy chọn đáp án D.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 2,AC2a Mặt bên SAC là tam

giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Cạnh bên SA hợp với mặt đáy một góc α thỏa mãn

Gọi H là trung điểm của AC khi đó SH AC

Mặt khác SAC  ABCSH ABC

Mặt khác BC AC2AB2 a 2 AB nên tam giác ABC vuông cân

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a   Tính góc giữa

hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB

Ta có I là trung điểm của AB nên CI CA,  ICA

Xét tam giác AIC vuông tại I, có

Hướng dẫn giải

Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A.

Gọi OACBD Và M là trung điểm của SA Do đó OM SC||

Hay SC||MBD nên SC BD,   OM BD, MOB

Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB.

Ta được BM2 OM2 OB22OM OB. .cosMOB

2 2 2 8cos

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD DC a AB  , 2a, SA2a3 3

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AB Ta có AM AD DC a 

Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A.

Do đó DM song song với BC Suy ra SD BC,   SD DM,  SDM

Câu 12. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đáy bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60°

và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng A B C' ' '

, H trùng với trung điểm của cạnh B C' ' Góc giữa BC

và AC' là α Giá trị của tan là:

1

13

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD, với AB3 ,a AD2 ,a DC a .

Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABCD là H thuộc AB với AH 2HB Biết SH 2a, cosincủa góc giữa SB và AC là:



Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy Biết SA a ;

AB a ; BC a 2 Gọi I là trung điểm của BC Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là:

A

2

23

Suy ra góc giữa đường thẳng A B' và mặt phẳng AA C C' ' 

là góc BA H' Trong tam giác vuông A BH' có

312

a BH

A B a

Vậy chọn đáp án A.

Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B Biết AB3cm BC, ' 3 2 cm

Tính góc hợp bởi đường thẳng BC' và mặt phẳng ACC A' '

Hướng dẫn giải

Tính góc hợp bởi đường thẳng BC, và mặt phẳng ACC A' '

Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra HC' là hình chiếu của BC' lên

mặt phẳng ACC A' '

Do đó BC',ACC A' '  BC HC', '

Ta có tam giác BHC' vuông tại H, cạnh

3 22

Câu 3. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60° Chân đường vuông

góc hạ từ B' xuống mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD Cho BB'a

Tính góc giữa cạnh bên và đáy

90°

Hướng dẫn giải

Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Gọi OACBD Theo giả thiết ta có B O' ABCD

a OB

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a Hai mặt phẳng SAB và SAD

cùng vuông góc với đáy Tam giác SAB có diện tích bằng

2

3

a Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và

D SBC SBC

và

3

SD a

Chọn A.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD2 ,a AD AB a  Hình

chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng

SCD

bằng

23

a Tan của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SCD

Vậy chọn đáp án B.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB2 ;a AD2a 3 và SAABCD Gọi

M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 45° Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng

ABCD là:

Hướng dẫn giải

Từ SA ABCD SM ABCD,   SMA cosSM ABCD,   cosSMA AM

SM

Từ SAABCD SC ABCD,   SCASCA45  SAC

vuông cân tại A

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC a 2

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD Cosin của góc giữa SC và mặt phẳng SHD

Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có ABAC4a, góc BAC120 Gọi M là trung

điểm của BC, N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết

2

SA a Góc giữa SN và mặt phẳng ABC

là:

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên ABCD

là trọng tâm G của ABD Biết SG2a , cosin của góc giữa SD và ABCD

Hướng dẫn giải

 

B

1cos

10

 

C

3cos

3

 

D

3cos

10

 

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB

Mặt khác SAB  ABC suy ra SH ABC

10

HM SMH

Vậy chọn đáp án B.