To¸n häc cao cÊp cã kiÕn thøc, cã c¸ch gi¶i nhanh vµ khoa häc víi bµi to¸n trªn song kh«ng vËn dông ®îc vµo cÊp häc phæ th«ng, hoÆc cha t×m ®îc ph¬ng ph¸p khoa häc ®Ó häc sinh tiÕp cËn c[r]
Trang 1I phần mở đầu I.1 Lý do chọn đề tài.
Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà ngời thầy nhất thiết phải làm Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn Ngời học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu đợc càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác Nhng nếu Học sinh đứng một mình trớc một bài toán mà không có giúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì đợc Mặt khác nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và nh vậy để học sinh có một công việc hợp lý
Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thờng gặp bài toán giải phơng trình, hệ phơng trình không chính tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng của một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó
Phơng trình, hệ phơng trình không chính tắc là sự phối hợp nhiều luồng kiến thức, kĩ năng giải toán Bài toán đòi hỏi ngời làm toán phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng Ngời làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học
Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh, gọn và tiết kiệm đợc thời gian
Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi
và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập Với các lý do nêu trên tôi có ý tởng xây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình”
I.2.Tính cần thiết của đề tài.
Theo đề tài này khi đa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:
Trang 2Nhằm nâng cao chất lợng “Giải phơng trình, hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng bất đằng thức” Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ thi học sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khối THCS, học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toán giải phơng trình và hệ phơng trình Góp phần nâng cao chất l ợng dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng cao hơn
I.2 Mục đích nghiên cứu.
Học sinh đạt đợc Giải phơng trình và hệ phơng trình bằng phơng pháp bất đẳng thức
I.3 Đối tợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu.
4.1 Đối tợng nghiên cứu:
- Các dạng toán giải phơng trình, hệ phơng trình v các bất đẳngà các bất đẳng thức trong chơng trình THCS
4.2 Phạm vi nghiên cứu:
Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trờng THCS Mạo Khê II
-Đông Triều - Quảng Ninh
4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007;
2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010
I.4 Đóng góp mới về mặt lý luận và thực tiễn
I.4.1 Cơ sở lí lụân
Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Do đó đòi hỏi ngời giáo viên cần có năng lực s phạm vững vàng, phơng pháp giảng dạy phù hợp theo hớng tích cực giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú trong học tập “Giải phơng trình hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực s phạm của giáo viên Ngoài việc lên lớp ngời giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để làm sao có thể truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả năng tiếp thu của từng đối tợng học sinh
Hớng đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay ở trờng THCS
là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt là trong năm học này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động “Xây
Trang 3dựng trờng học thân thiện, học sinh tích cực ” thì việc tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong học tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến trờng là một niềm vui”
I.4.2 Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán trên máy tính tại trờng THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:
- Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng “bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điều nh kết quả nhanh, chính xác, làm đợc nhiều bài tập trong khoảng thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán
- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng
-cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học
- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng đợc”
- Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy của mình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành
II phần nội dung II.1.1 Một số thành tựu
Thực tế qua theo dõi chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi ở khối 8, 9
có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các em tích cực t duy, hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn so với các lớp còn lại Đặc biệt là trong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cách giải hay nhất, nhanh nhất Không khí lớp học luôn sôi nổi, không gò bó, học sinh đợc độc lập t duy Điều hứng thú hơn là phát huy đợc trí lực
Trang 4của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới
II.1.2 Một số tồn tại và nguyên nhân
Sáng kiến kinh nghiệm này đợc áp dụng trong hai khối 8 và khối
9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học sinh còn thiếu động cơ học tập, lời học, không tích cực học tập vì cho rằng
đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy việc phát huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế Hơn nữa những học sinh trên ít đợc sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi hỏi sự cố gắng tận tâm của ngời thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năng nhận thức chung cuả môn học
II.13 Vấn đề đặt ra
Rèn luyện “Giải phơng trình hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng bất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng mới cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua bài tập là quan trọng để nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn Với học sinh họat
động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu đợc qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức đợc nhớ lâu khi đợc vận dụng thờng xuyên
- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong phú, hấp dẫn
- Là phơng tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt nhất kiến thức đã học
- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh
II.2.áp dụng trong giảng dạy
II.2.1.các b ớc tiến hành
Để bồi dỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy tính nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm đợc những công việc sau:
- Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn những em học khá Toán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán
- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán
- Soạn nội dung bồi dỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dỡng học sinh giỏi phải hệ thống, phân loại đợc từng dạng Toán ở khối đợc phân công bồi dỡng
- Lên kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi theo từng tuần
- Thờng xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan trên mạng internet
Trang 5Kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi : Dạy từ 2 – 3 buổi trong một tuần.
Ii.2.2 Quá trình thực hiện
I)-
á p dụng bất đẳng thức Cauchy
1 Kiến thức
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc đối cới hầu hết học sinh Tuy nhiên, ngời ta vẫn xây dựng đợc nhiều bài toán mới hay khó Bất đẳng thức cauchy đợc phát biểu:
Cho dãy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức:
a1+a2+ an
n
√a1a2 a n
Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =an
Bất đẳng thức đợc chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép không trình bày chứng minh trong bài viết này
2 Một số ví dụ
Phơng trình, hệ phơng trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức cauchy rất phong phú và đa dạng Thông qua các ví dụ điển hình mong rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
x + y +z+4=2 √x − 2+4 √y − 3+6 √z −5
(Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh 1993 -1994)
* Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: x 2 ; y 3 ; z 5
áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta có:
Cộng (1), (2), (3), ta có:
2 √x −2+4√y − 3+6 √z − 5 ≤ x + y +z +4
Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1
z - 5 = 3 Vậy nghiệm của phơng trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8)
Trang 6Nhận xét: Đây là phơng trình vô tỷ không chính tắc, bài toán còn
có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức Cauchy là dụng ý của ngời viết Đây là bài toán cơ bản, chúng ta có thể tạo nhiều bài tơng tự với một chút biến đổi
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 16 x4 +5=6√3 4 x3
+x
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + 5 > 0 nên √34 x3+x> 0 x > 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dơng 4x; 4x2 +1 ; 2 ta có:
6√34 x3
+x=3√34 x (4 x3
+1).2 ≤ 4 x +(4 x2
+1)+2=4 x2
+4 x+3
=> 16x3 + 5 4xx2 + 4xx + 3
8xx3 + 2x2 - 2x + 1 0
(2x-1)2 (2x2 + 2x + 1) 0
(2x - 1)2 0, vì (2x - 1)2 0, nên x = 1/2 thỏa mãn
Nhận xét: Đây là bài toán phơng trình vô tỷ khó, hiểu giải bằng cách nâng lên lũy thừa thì bài toán phức tạp và khó giải đợc Bằng cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tơng đông chúng ta tìm ra lời giải Quan sát kỹ chúng ta
có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biển đổi đi lên
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình
2 x2
+ 1
y4=3
2 y2+ 1
x4=3
Lời giải:
2 x2+ 1
x2 +2 y2+ 1
y2 =6 Cộng vế với vế ta có: (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: x2+x2+ 1
x4≥ 3 3
√x2x2. 1
x4 =3
y2
+y2
+ 1
y4≥ 3.3
√y2y2 1
y4 =3
x2= 1
x4
Trang 7Vậy dấu bằng xảy ra ở (1) khi: y2= 1
y4 x = 1
y = 1 Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là:
( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1) Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phơng trình đối xứng loại 2, bài toán có thể giải theo phơng trình chung đó Vận dụng bất đẳng thức cauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì phơng trình (1) dễ phát hiện hơn so với
hệ phơng trình đầu bài cho áp dụng cách giải, ta có thể tạo ra nhiều bài hay và khó hơn
Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình :
2 x2 1+ x2=y
2 y2
1+ y2 =z
2 z2 1+ z2 =x
Lời giải:
Dễ thấy ( x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của phơng trình
Xét x # 0 thì y # 0, z # và x, y, z > 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x2 2x , 1+ y2 2y ,1 +z2 2z
Nên ta có: 2 x2
1+ x2≤ x ; 2 y2
1+ y2≤ y ; 2 z2
1+ z2≤ zVậy từ hệ phơng trình ta có:
y x z y do đó x = y = z Giải ra ta có: x = y = z = 1
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)}
Nhận xét: Đây là hệ phơng trình có dạng hoán vị, ngoài cách giải trên, bài toán còn cách giải khác Tuy nhiên cách giải trên ngắn gọn, phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đã đem lại lời giải hay, độc đáo
Trang 8II)- á p dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.
1- Kiến thức:
Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến Bất đẳng thức Binhiacôpski Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với học sinh, đợc sử dụng nh một công cụ, trong phần này chúng ta nghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình không mẫu mực Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski
Giả sử: a1, a2,…, an và b1, b2,…bn là hai hãy số tùy ý
Ta có bất đẳng thức
(a1b1 + a2b2…+ anbn) (a12
+a22
+ +a n2 ).(b12
+b22
+ +b n2
)
Và dấu bằng xảy ra khi: a b1
1
=a2
b2=
a n
b n
Bất đẳng thức đợc chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép không trình bày cách chứng minh trong bài viết này
2 Một số ví dụ:
Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phơng trình, hệ phơng trình thờng phong phú và đa dạng Khi giải dạng toán bằng phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các cặp số Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
√x −1+x −3=√2 x2− 4 x +16
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa x 1
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:
| √x − 1+ x −3|≤√1 2
+ 1 2 √ ¿ ¿
√x −1+x −3 ≤√2 x2− 4 x +16
Đẳng thức xảy ra √
x −1
1 =
x −3
1
x − 3≥ 0 x − 1=¿ ¿ x2 x ≥ 3
− 7 x +10=0
x = 5 (loại x = 2 < 3) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x
= 5
Nhận xét: Nhận biết hai bộ s√x −1 ; x − 3 và 1; 1 để dùng bất đẳng thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó Bài
Trang 9toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn, Chúng
ta có thể tạo ra những bài toán tơng tự
Ví dụ 2: Giải phơng trình
√7 − x +√x −5=x2−12 x+38
(Thi học sinh giỏi THCS TP Hồ Chí Minh 2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: 5 x 7
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Vế trái: √7 − x +√x −5 ≤√1+1 √( √7 − x)2+ ( √x − 5)2=2 (1)
Vế phải: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + 2 2 (2)
Vậy vế trái 2 vế phải
√7 − x
1 =√
x −5
1
Từ (1), (2) đẳng thức xảy ra khi: ¿ x = 6
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 6
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh Nhận biết hai bộ: √7 − x ; √x −5 và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski đánh giá vế trái kết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải Cách thiết
lế những bài toán nh vậy sẽ kiểm tra đợc nhiều luồng kiến thức của học sinh
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình
¿
¿
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
¿
¿ (1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi 1x=y
3=
z
4kết hợp với hệ phơng trình ta tìm đợc nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4)
Nhận xét: Đây là hệ phơng trình không mẫu mực Để phát hiện
ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến
vế phải của chơng trình thứ nhất (chứa x2 + y2 + z2), Sau đó chọn bộ số thích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá Phơng trình thứ hai chỉu
Trang 10dùng khi đánh giá xong phơng trình thứ nhất Những bài kiểu này dễ thiết kế, xong khó giải Ngời giải phải có kiến thức nhất định về bất
đẳng thức
Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình
√1+x1++√1+ x2+ √1+x2006=2006 √20072006
√1− x1 ++√1 − x2 + √1 − x2006 =2006 √20052006
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa; -1 xi 1 ; i = 1, 2 …., 2006
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
2006 2 2007
2006=(√1+ x1 +√1+ x2 + +√1+x2006 )2
(1+1+ +1)(1+x1+1+x2+ +1+x2006)
2006 2007 ≤2006 (2006+x1+x2+ +x2006)
x1+x2+ +x2006≥ 1 (1)
2006 2 2005
2006=(√1 − x1 +√1− x2 + +√1− x2006 )2
2006 2005≤ 2006 (2006 − x1− x2− .− x2006)
x1+x2+ + x2006≤ 1 (2)
Từ (1), (2) x1 + x2 + ….+ x2006 và điều kiện bất đẳng thức của
hệ xảy ra, nên hệ đã cho tơng đơng với:
Tơng đơng với:
1+x1=1+x2= =1+x2006
1 − x1=1− x2= =1 − x2006
x1+x2+ +x2006=1
=> x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006
Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất
đẳng thức Cách đánh giá liên lục hai phơng trình rồi so sánh với nhau
đòi hỏi ngời giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy bén trong vận dụng bất đẳng thức nói chung