- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. - Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác [r]
Trang 2Chủ đề 1 TỨ GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn AB BC CD, , và DA; trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác
Tổng các góc của một tứ giác luôn bằng 360
II BÀI TẬP
Bài 1:
a) Có tứ giác nào có bốn góc nhọn không?
b) Một tứ giác có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn, bao nhiêu góc tù, bao nhiêu góc vuông?
Bài 2:
a) Cho tứ giác ABCD có A 65 ;B0 117 ;D0 700 Tính số đo góc C
b) Cho tứ giác ABCD có A 65 ;B 117 ;C 71 Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D
Bài 3: Tứ giác ABCD có C 50 , D 60ˆ ˆ ,A : B 3 : 2ˆ ˆ Tính các góc A và B
Bài 4: Cho tứ giác ABCD biết B C 200 , B D 180 ; C D 120
a) Tính số đo các góc của tứ giác
b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của A và B của tứ giác Chứng
AIB
2
Trang 3Chủ đề 2 HÌNH THANG
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song với nhau
Hình thang có một góc vuông được gọi là hình thang vuông
Nhận xét:
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên hai cạnh bên song song và bằng nhau
III BÀITẬP
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB CD// ) biết A 115 Tính số đo góc D?
Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có B C 10 Tính số đo góc B?
Bài 3: Tứ giác ABCD có BCCD và DB là tia phân giác D. Chứng minh rằng
ABCD là hình thang và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang
Bài 4: Cho hình thang ABCD, đáy AB 40cm, CD 80cm, BC 50cm,
30
AD cm Chứng minh rằng ABCD là hình thang vuông
Bài 5: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Gọi M là trung điểm của AD Cho biếtMB MC
a) Chứng minh rằng BC AB CD;
b) Vẽ MH BC Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang
Trang 4Chủ đề 3 HÌNH THANG CÂN
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau được gọi là hình thang cân
Trong một hình thang cân:
- Hai cạnh bên bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau
Dấu hiệu nhận biết:
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau được gọi là hình thang cân
- Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân
III BÀI TẬP
Bài 1: Tứ giác ABCD là hình gì, biết A 70 , Bˆ ˆ Cˆ 110 ?
Bài 2: Cho hình thang ABCDAB//CD AC cắt BD tại O Biết OA OB Chứng minh rằng: ABCD là hình thang cân
Bài 3: Tứ giác ABCD có AB CD AB// , CD AD, BC Chứng minh ABCD là hình thang cân
Bài 4: Cho hình thang cân ABCDAB//CD có AB 3, BC CD 13 (cm) Kẻ các đường cao AK và BH
a) Chứng minh rằng CH DK
b) Tính độ dài BH
Bài 5: Hình thang cân ABCD AB//CD có C 60ˆ , DB là tia phân giác của góc
D, AB 4 cm
a) Chứng minh rằng BD vuông góc với BC
b) Tính chu vi hình thang
Trang 5Chủ đề 4 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song vớicạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
III BÀITẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD AB Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE AC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE
a) Chứng minh rằng HK song song với DE
b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10
Bài 2: Cho ABCcóABAC, AH là đường cao Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC
a) Chứng minh MNKH là hình thang cân
b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE
và K là trung điểm của AD Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân
Bài 3: Cho ABCcó trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D
2
AD DC Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM
b) Nếu I là trung điểm của AM Khi đó hãy chứng minh 1 , 1 .
AD DC ID BD
2
AD DC Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB 3AE. Chứng minh BD, CE, AM đồng quy
Bài 4: Dùng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
Trang 6Chủ đề 5 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang
Định lí 3: Đường thẳng đi trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy
III BÀITẬP
Bài 1: Cho ABC và đường thẳng d qua A không cắt đoạn thẳng BC Vẽ
,CE d
BD d (D, E d) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh ID IE
Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E F, lần lượt là trung điểm củaAD BC, . Chứng minh:
a) AFDcân tại F;
b) BAFCDF.
Bài 3: Tính các độ dài x và y trên hình Biết AB//EF//GH//CD,
AE EG GD, AB 4,CD 10 (cm)
Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD (AB CD) và M là trung điểm của
AD Qua M vẽ đường thẳng song song với hai đáy của hình thang cắt hai đường chéo BD và AC tại E và F, cắt BC tại N
a) Chứng minh rằng N, E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD, AC
b) Gọi I là trung điểm của AB , đường thẳng vuông góc với IE tại E và đường thẳng vuông góc với IF tại F cắt nhau ở K Chứng minh: KC KD
Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB là đáy nhỏ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;
b) Chứng minh PQ // CD và PQ CD AB;
2
c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN
Trang 7Chủ đề 6 HÌNH BÌNH HÀNH
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song
Tứ giác ABCD là hình bình hành //
//
AB CD
AD BC
Tính chất: Trong hình bình hành:
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
III BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC Đường vuông góc với BC tại M và đường vuông góc với AC tại
N cắt nhau ở O
a) Trên tia đối của tia OC, lấy điểm K sao cho OK OC Chứng minh rằng AHBK là hình bình hành
b) Chứng minh OM 1AH
2
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho CB = CE Chứng minh AECD là hình bình hành
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và từ Cđến BD
a) Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành
b) Gọi M là giao điểm của AKvà BC, gọi N là giao điểm của CHvà AD Chứng minh rằng ANCM.
c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng O M N, , thẳng hàng
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có A 120 , phân giác góc D đi qua trung
điểm của cạnh AB Gọi E là trung điểm của CD Chứng minh:
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm E, F lần lượt lấy trên BC, AD sao
BE BC
3 ,
1
DF DA
3 và EF lần lượt cắt AB, CD tại G, H Chứng minh rằng:
a) GE EF FH b) Tứ giác AECF là hình bình hành
Trang 8Chủ đề 7 HÌNH CHỮ NHẬT
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật
0
90
Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân
Tính chất:
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân
- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường
Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Áp dụng vào tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông
III BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABCvuông ở A, đường cao AH, trung tuyến AM Gọi D, E
theo thứ tự là hình chiếu của Htrên AB, AC
a) Tứ giác ADHE là hình gì?
b) Chứng minh DE AM Trong trường hợp nào thì DE AM?
c) Chứng minh DE AM
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật
Bài 3: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA Cho biết EG FH Chứng minh rằng AC BD
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, điểm E thuộc cạnh CD Đường vuông góc với AE tại A cắt BC ở F Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh rằng OM là đường trung trực của AC
Bài 5: Cho tam giác ABCvuông ở A, đường cao AH Điểm M thuộc cạnh BC
Vẽ MD ABD AB , ME AC E AC,
a) Gọi Ilà trung điểm của DE Chứng minh rằng I nằm trên đường trung trực của AH
b) Điểm M ở vị trí nào trên BC thì DE có độ dài nhỏ nhất
Trang 9Chủ đề 8 HÌNH THOI
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành
Tính chất:
- Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành
- Trong hình thoi:
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi
Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi
III BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC có AC 2AB , đường trung tuyến BM Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến tia phân giác của góc A Chứng minh rằng ABHM
là hình thoi
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AD BC Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD Chứng minh rằng tứ giác MNPQlà hình thoi
Bài 3: Cho hình thang cân ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Vẽ AE BC tại E, DF AB tại F Biết
AE DF Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi
Trang 10Chủ đề 9 HÌNH VUÔNG
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định nghĩa: hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
Tứ giác ABCD là hình vuông
0 90
AB BC CD DA
Từ định nghĩa hình vuông suy ra:
- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau
- Hình vuông là hình thoi có bốn góc bằng nhau
Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi
Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình
vuông
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
III BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE BF CG DH Chứng minh EFGH là hình vuông
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCDcó AB 2AD Gọi E, F theo thứ tụ là trung điểm của AB, CD Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và
CE
a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD AD AB 2AD Vẽ các tam giác vuông cân
ABI, CDK I Kˆ ˆ 90 , I và K nằm trong hình chữ nhật Gọi E là giao điểm của
AI và DK, F là giao điểm của BI và CK Chứng minh rằng:
a) EF song song với CD b) EKFI là hình vuông
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD.Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các hình vuông ADEF và ABGH Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình vuông ADEF Chứng minh rằng
Bài 5: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA
a) Chứng minh AN = DM và AN DM
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành một hình vuông
c) Gọi E là giao điểm của DM và AN Chứng minh CE = CD
Trang 11Chủ đề 10 ĐA GIÁC – ĐA GIÁC ĐỀU
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Đa giác: A A1 2 A n là hình gồm n đoạn thẳng A A1 2; A A2 3; .; A A n 1 trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào đó có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng
2 Đa giác lồi: là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác
Lưu ý: Trong chương trình THCS, chúng ta sẽ chỉ xét các đa giác lồi Vì vậy,
nếu không giải thích gì thêm, chúng ta viết “đa giác” để thay cho “đa giác lồi”
3 Các khái niệm khác
Một đa giác có n đỉnh được gọi là n – giác
Ví dụ: tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, 100 – giác
Đường chéo của đa giác là các đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa
giác đó
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng
nhau
III BÀI TẬP
Bài 1: Tính số đo của mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh)
Bài 2:
a) Tính tổng các góc của đa giác 15 cạnh
b) Đa giác nào có tổng các góc bằng 1620 ?
Bài 3: Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 7
Bài 4: Tính số cạnh cảu một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng 135
Bài 5: Góc ngoài của đa giác là góc kề bù với một góc của đa giác Ta coi ở mỗi đỉnh của đa giác có một góc ngoài Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của đa giác bằng 3600
Trang 12
Chủ đề 11 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT – DIỆN TÍCH TAM GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó
Ta có:S a b. với a b, là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật
- Diện tích hình vuông bằng bình phưong cạnh của nó
Ta có: S a2 với a là độ dài hai cạnh hình vuông
- Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
Ta có: 1 .
2
S a b với a b, là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
- Diện tích tam giác bằng nửa diện tích một cạnh và chiều cao hạ xuống cạnh đó
Ta có: 1 . 1 . 1 .
2 a 2 b 2 c
S a h b h c h với a b c, , là độ dài các cạnh tam giác và h a, , h b h c
là độ dài đường cao tương ứng hạ xuống cạnh đó
II BÀI TẬP
Bài 1: Một hình chữ nhật có các kích thước 6m và 2m Một hình tam giác có các cạnh bằng 5m, 5m, 6m Chứng minh rằng hai hình đó có chu vi bằng nhau và diện tích bằng nhau
Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc, AC 16cm BD, 10cm.Gọi
E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA Tính diện tích tứ giác
.
EFGH
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 12 cm, AD 6,8 cm Gọi H, I, E, K
là các trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC
a) Tính diện tích tam giác DBE.
b) Tính diện tích tứ giác EHIK.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có CD = 4cm, BC = 3cm Gọi H là hình chiếu của C trên BD Tính diện tích tam giác ADH
Bài 5: Hai hình vuông có hiệu hai cạnh bằng 3m và hiệu diện tích bằng 69m2
Tính cạnh của mỗi hình vuông
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường phân giác BD Biết
AD 3cm, DC 5cm Tính diện tích tam giác ABC