PHÉP BIẾN đổi TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ rn ppt _ TOÁN CAO CẤP

PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ; https://123doc.net/users/home/user_home.php?. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRON

Bài 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php?

use_id=7046916

PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ Rn

I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính

II Liên hệ với ma trận

III Phép biến tuyến tính không suy biến, phép biến đổi đổi ngược

I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính

1 Định nghĩa:

Phép biến đổi tuyến tính F trên Rn là một ánh xạ từ Rn vào chính nó

và thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

( ) ( ) ( )

n

∀ X,Y ∈R ⇒ F X +Y =F X +F Y

(i)

( ) ( )

∀ ∈ X Rn ,α ∀ ∈R ⇒ F αX =αF X

(ii)

Ví dụ:

Các ánh xạ sau đây có phải là các phép biến đổi tuyến tính

trên Rn không?

→ a

1

F : x,y 2x-3y,-x+5y

→

a

2

F : x,y 2x-3y,-x+5y+1

I Khái niệm phép biến đổi tuyến tính

2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tuyến tính

 →

F :R R Giả sử F là phép biến đổi trên Rn:

Tính chất 1: F biến On thành On:

( )n ( n) ( )n n

F O = F 0.O = 0.F O = O

Tính chất 2: Ảnh của đối bằng đối của ảnh: F(- X) = -F(X)

( ) ( ) ( ) ( )

F -X = F -1.X = -1.F X = -F X

Tính chất 3: Ảnh của một tổ hợp bằng tổ hợp của các ảnh

Fα X + α X + + α X = α F X + α F X + + α F X

Nhận xét:

Nếu hệ vectơ X1, X2,…, Xk phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ ảnh F(X1), f(X2),…, f(Xk) cũng phụ thuộc tuyến tính

Phép biến đổi tuyến tính không làm tăng số chiều của không gian con, không làm tăng hạng của hệ vectơ

II Liên hệ với ma trận

1 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính

 →

F :R R

Giả sử F là phép biến đổi trên Rn:

Trong không gian Rn, xét E1, E2,…, En là hệ cơ sở đơn vị Lập ma trận A vuông cấp n nhận các vectơ ảnh F(E1), F(E2),…, F(En)

tương ứng làm các cột:

A = (F(E1) F(E2) … F(En))

Ma trận A được xây dựng như ở trên được gọi là ma trận của phép biến đổi F Hạng của F là hạng của A

Ví dụ: Xét phép biến đổi tuyến tính trên R3:

 →

a

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3

F :

x ,x ,x 2x - x +3x ,-3x +x +5x ,x -3x

( )1

F E =F 1,0,0( ) = 2,-3,1( )

( )2

F E =F 0,1,0( ) = -1,1,0( )

( )3

F E =F 0,0,1( ) = 3,5,-3( )

2 -1 3

A = -3 1 5

1 0 -3

Ma trận của phép biến đổi

F là:

II Liên hệ với ma trận

1 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính

Ví dụ: Xét phép biến đổi tuyến tính trên R3:

 →

a

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3

F :

x ,x ,x 2x - x +3x ,-3x +x +5x ,x -3x

2 -1 3

A = -3 1 5

1 0 -3

Ma trận của phép biến đổi F là ma trận hệ số ở vế phải của

hệ phương trình trên

Phép biến đổi tuyến tính F trên còn được cho dưới dạng:

Chú ý:

1 1 2 3

2 1 2 3

y 2x x 3x

y 3x x 5x

y x 3x



 = − + +





Với vectơ X = (x1, x2, x3), ta có F(X) = Y = (y1, y2, y3), và:

II Liên hệ với ma trận

2 Liên hệ với ma trận

Cho A là ma trận của phép biến đổi F trên Rn, khi đó ta có F(X) = AX

Chứng minh:

Giả sử

 

 ÷

 ÷

 ÷

 ÷

 

1 2

n

x x

X =

x

=AX

Khi đó

 

 ÷

 ÷

 ÷

 ÷

 

1

2

n

x x

X = =x E +x E + +x E

x Suy ra

F X =F x E +x E + +x E =x F E +x F E + +x F E

Do đó, ta có phép biến đổi tuyến tính:

( )

 →

a

F :

X Y =F X =AX

Chú ý:

Mỗi một phép biến đổi tuyến tính có duy nhất một ma trận của nó, ngược lại, mỗi ma trận vuông cấp n là ma trận của một phép biến

đổi tuyến tính trên Rn

III Phép b/đổi tuyến tính không suy biến, phép b/đổi ngược

1 Phép biến đổi tuyến tính không suy biến

Phép biến đổi tuyến tính F trên Rn được gọi là phép biến đổi tuyến tính không suy biến nếu ma trận của nó là ma trận không suy biến

Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:

 →

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

x ,x ,x 5x - x +2x ,-3x +5x +7x ,x +4x -3x

R

5 -1 2

A = -3 5 7

1 4 -3

Ma trận của phép biến đổi F là:

Ta có det(A)=-247 Vậy F là phép biến đổi t/tính không suy biến

Hay: 







1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

y = 5x - x +2x

y =-3x +5x +7x

y = x +4x -3x

Hay phép biến đổi tuyến tính F trên Rn được gọi là phép biến đổi tuyến tính không suy biến nếu nó có hạng bằng n

III Phép b/đổi tuyến tính không suy biến, phép b/đổi ngược

2 Phép biến đổi tích

Giả sử ta có 2 phép biến đổi tuyến tính F và G trên Rn:

F→ →G

X Khi đó phép biến đổi

a F X a( ) G F X  ( )

: n → n

GF R R

X a G F X  ( )

là một phép b/đổi tuyến tính, gọi là phép biến đổi tích của F và G

 Ta dễ dàng nhận thấy rằng ma trận của phép biến đổi tích là tích của hai ma trận thành phần Với ma trận của phép biến đổi

F và G lần lượt là A và B ta có:

F→ →G

X AX B(AX)=(BA)X

Nhận xét:

 Tích của hai phép biến đổi không suy biến là phép biến đổi không suy biến

III Phép biến đổi tuyến tính không suy biến, phép biến đổi ngược

3 Phép biến đổi ngược

Giả sử phép biến đổi tuyến tính không suy biến F có ma trận A:

( )

→

a

F

X Y =F X =AX

Xét quy tắc mới được xây dựng như sau:

¬ 

Rn F-1 Rn

Ta có thể nhận thấy ngay là:

F-1 là một phép biến đổi tuyến tính;

●

Ma trận của phép biến đổi tuyến tính F-1 là ma trận A-1;

●

Định nghĩa:

Phép biến đổi F-1 như xây dựng ở trên được gọi là phép biến đổi ngược của F

¬

X Y =F X =AX