HỆ VECTƠ độc lập PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH ppt _ TOÁN CAO CẤP

Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ 3.. Ma trận hệ số của hệ pt là: 1 2 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này ta được:  TH1: Hệ có vô số nghiệm có nghiệm kh

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php?

use_id=7046916

Hệ PTrTT và PP khử Gauss Vectơ n chiều và KGVT

Các mối liên hệ tuyến tính…

Cơ sở của không gian vectơ Hạng của một hệ vectơ

1 2 3 4 5

Hệ PTrTT và PP khử Gauss Vectơ n chiều và KGVT

Chương 1. KHÔNG GIAN VECTO SỐ HỌC N CHIỀU

Bài 3 CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN

VECTƠ Rn

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

III Một số kết quả cơ bản về sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

1 Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

3 Một số ví dụ

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

Trong không gian vectơ Rn cho m vectơ (một hệ vectơ)

X ,X ,…,X

và m số thực bất kỳ ; Ta lập tổng:α ,α ,…,α1 2 m

1 1

α X + α X2 2 + + α Xm m ∈ Rn (*)

ĐN: Mỗi tổng được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ

; Các số được gọi là hệ số của

tổ hợp tuyến tính đó

(*)

X ,X ,…,X α ,α ,…,α1 2 m

Định lý:

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ n chiều

cho trước là một không gian vectơ con của không gian vectơ Rn

X ,X ,…,X

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

ĐN:Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ

nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến tính nào đó của

hệ vectơ này

X ,X ,…,X

Ví dụ 1: Cho các vectơ X = 2,-41 ( )

Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ

Nếu tồn tại bộ m số sao cho:

( ) 2

X = 3,5

( )

X = 5,1 Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay không? { X ,X1 2}

Trả lời: Biểu diễn được

X =α X + α X +…+ α X

X = 1.X +1.X

Ví dụ 2: Cho các vectơ X = 3,-1,0,51 ( )

2

X = 4,-2,0,3

X = 2,-4,7,-3

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay không? { X ,X ,X 1 2 3}

α ,α ,α X α X + α X + α X

Trả lời: Không biểu diễn được

3

X = 7,-1,0,4

 Vectơ không luôn bd tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều:

O = 0.X + 0.X + + 0.X

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn tầm thường.

 Cho hệ thức vectơ:

Vectơ Xi biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại  ki ≠ 0;

k X +k X + +k X + +k X = O

 Phép biểu diễn tuyến tính có tính bắc cầu

Chú ý:

Với giá trị nào của k thì véc tơ biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đã cho ?

VD: Cho hệ véc tơ

1

2

3

X = 1, - 2, - 3, 0

X = 2, - 3, -1, 5

X = -3, 4, 3, 2

Giải: Giả sử ta có:

1 1 2 2 3 3

X = k X +k X +k X





⇔ 





I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

k1

k3

k2









5k + 2k = k

k + 2k - 3k = 1

-2k - 3k + 4k = -3

1 2 3 -3k - k + 3k = -4

X =( 1, -3, - 4, k )

+

X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đã cho  hệ phương trình với các ẩn có nghiệm k , k , k1 2 3

-2 -3 4 -3 -3 -1 3 -4

Hệ pt có nghiệm  k – 7 = 0  k = 7

0 0 12 k + 5

→

0 1 -2 -1

0 0 0 k - 7

→

1 2 -3 1

0 1 -2 -1

0 5 -6 -1

→

I Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

2 Phép biểu diễn tuyến tính

Biến đổi ma trận mở rộng ta có:

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

1 Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính

ĐN: Ta nói rằng hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại m số thực , trong đó có ít

nhất một số khác 0, sao cho:

X ,X ,…,X

α ,α ,…,α

α X + α X + + α X = O (*) Ngược lại, nếu đẳng thức chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở

vế trái bằng 0 thì ta nói hệ vectơ độc lập

tuyến tính.

(*)

Xét hệ thức dưới dạng biểu diễn vtơ qua hệ(*) On X ,X ,…,X1 2 m

n 1 1 2 2 m m

O =α X +α X + +α X

Có

i

α ≠ 0 Phụ thuộc tuyến tính

⇒

Độc lập tuyến tính

⇒

α = α = = α = 0

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

BT: Xét xem hệ vectơ X ,X ,…,X1 2 độc lập hay phụ thuộc tuyến tínhm

α X + α X + + α X = O (*) Xét hệ thức:

Viết lại dưới dạng đẳng thức vectơ dưới dạng cột:(*)

123

       

 ÷  ÷  ÷  ÷

 ÷  ÷  ÷  ÷

 ÷  ÷  ÷  ÷

 ÷  ÷  ÷  ÷

 

     

Có

i

α ≠ 0 PT

⇒

α = α = = α = 0

ĐL

⇒

1

Đưa hệ thức vectơ này về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với các ẩn











Ma trận hệ số

của hệ pt là:

1

2

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này ta được:

 TH1: Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm khác nghiệm tầm thường)

thì hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính

 TH2: Hệ có nghiệm duy nhất (chỉ có nghiệm nghiệm tầm thường)

thì hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính

α ,α ,…,α

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

2 Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

Do chỉ cần có kết quả về số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nên ta có thuật toán thực hành như sau:

Biến đổi ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nhận các véc tơ lần lượt là các cột

 Nếu A đưa được về dạng tam giác ( hệ pttt thuần nhất có

nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường) thì hệ véc tơ độc lập tuyến tính

 Ngược lại, nếu A đưa được về dạng hình thang (hệ pttt thuần

nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường) thi hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

X ,X ,…,X

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

3 Một số ví dụ

1

2

n

E = 1,0,0,…,0

E = 0,1,0,…,0

E = 0,0,0,…,1

Hệ vectơ trên độc lập tuyến tính

Ví dụ 1: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ Rn

Lời giải:

1 0 0

0 1 0

A =

0 0 1

Lập ma trận A nhận các vectơ trong hệ lần lượt là các cột

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

3 Một số ví dụ

X = 2,-1,6 ,X = 3,2,-5 ,X = 2,6,-3

Biến đổi ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nhận các vectơ X1, X2, X3 lần lượt là các cột:

Ví dụ 2: Xét sự độc lập tt hay phụ thuộc tt của hệ vectơ trong

không gian vectơ R3

Lời giải:

2 3 2 -1 2 6

6 -5 -3

 →

0 -14 -9

2 3 2

0 7 14

0 0 19

 →

Ma trận kết thúc ở dạng tam giác, nên hệ vectơ { X1, X2, X3 }

độc lập tuyến tính

II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính

3 Một số ví dụ

X = 4,-2,3 , X = -1,5,3 , X = 2,-4,-1

Ví dụ 3: Xét hệ vectơ trong không gian vectơ R3

Lời giải:

 →

0 15 -10

 →

Ma trận kết thúc ở dạng hình thang nên hệ vectơ đã cho phụ

thuộc tuyến tính

4 -1 2 -2 5 -4

3 3 -1

4 -1 2

0 9 -6

0 0 0

Biến đổi ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nhận các vectơ X1, X2, X3 lần lượt là các cột:

III Một số kết quả về sự phụ thuộc - độc lập tuyến tính

ĐL1: Một hệ vectơ n chiều có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến

tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua những vectơ còn lại

HQ1: Một hệ gồm 2 vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

chúng tỷ lệ

HQ2: Mọi hệ vectơ n chiều chứa vectơ không đều phụ thuộc

tuyến tính

ĐL2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc

tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

HQ1: Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó

cũng độc lập tuyến tính

HQ2: Nếu trong một hệ vectơ có hai vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ

vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

III Một số kết quả về sự phụ thuộc - độc lập tuyến tính

ĐL3: Cho 2 hệ vectơ n chiều

Nếu r > s và mọi vectơ của hệ (1) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (2) thì hệ vectơ (1) phụ thuộc tuyến tính

HQ1: Nếu hệ vectơ (1) độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ

(1) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (2) thì r ≤ s

ĐL4: Trong không gian vectơ Rn mọi hệ có nhiều hơn n vectơ

đều phụ thuộc tuyến tính

Hay: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn số chiều đều phụ thuộc tuyến tính

HQ2: Nếu cả hai hệ vectơ độc lập tuyến tính, mỗi vectơ của hệ

này đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ kia và ngược lại thì hai hệ vectơ đó có số vectơ bằng nhau

X , X ,…, X (1)

Y , Y ,…, Y (2)

VD: Cho 2 hệ vectơ n chiều

Giả sử hệ vectơ (1) độc lập tuyến tính

CMR: Hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ X

biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ vectơ (1)

X , X ,…, X (1)

X , X ,…, X ,X (2)

Giải:

 Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ vectơ (1)

thì ta có hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính

 Nếu hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính thì có ít nhất một vectơ trong hệ bdtt qua các vectơ còn lại Giả sử:

X = k X + k X + +k X +k X; 1 s r ≤ ≤

Trong đẳng thức trên, nếu k = 0 thì vectơ Xs biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ vectơ (1)=> hệ vectơ (1) phụ thuộc tuyến tính Điều này mâu thuẫn với giả thiết nên ta phải có k ≠ 0 =>