HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ppt _ TOÁN CAO CẤP

PP ma trận & định thứcHệ PTrTT tổng quát Hệ PTrTT thuần nhất Một số MHTT trong kinh tế 1 2 3 4 PP ma trận & định thức Hệ PTrTT tổng quát... Điều kiện có nghiệm không tầm thườngMột vài hệ

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có

https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916

PP ma trận & định thức

Hệ PTrTT tổng quát

Hệ PTrTT thuần nhất Một số MHTT trong kinh tế

1 2 3 4

PP ma trận & định thức

Hệ PTrTT tổng quát

Bài 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

I Điều kiện có nghiệm không tầm thường

II Cấu trúc tập hợp nghiệm, hệ nghiệm cơ bản

III Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

I Điều kiện có nghiệm không tầm thường

Xét hệ thuần nhất:

(1) Nếu r(A) = n (số ẩn) thì hệ CÓ NGHIỆM DUY NHẤT;

(2) Nếu r(A) < n thì hệ CÓ VÔ SỐ NGHIỆM;















Kiểm nghiệm lại: Ta luôn có r A = r A = A | O   

Hệ luôn có ít nhất 1 nghiệm, là nghiệm tầm thường (0, 0,…, 0)

hay chỉ có nghiệm tầm thường (x1 = 0, x2 = 0,…, xn = 0)

hay có nghiệm khác nghiệm tầm thường

ĐL: Hệ thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường khi và chỉ

khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn ( r(A) < n)

I Điều kiện có nghiệm không tầm thường

Một vài hệ quả:

HQ2: Hệ thuần nhất với số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì luôn có

nghiệm khác nghiệm tầm thường (có vô số nghiệm)

HQ1: Hệ thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn có nghiệm

khác nghiệm tầm thường khi và chỉ khi ma trận hệ số là ma trận suy biến (có định thức bằng 0)

I Điều kiện có nghiệm khác nghiệm tầm thường

Ví dụ:

Tìm điều kiện của tham số m để hệ sau có nghiệm khác nghiệm tầm thường

Xét ma trận hệ số

Hệ trên có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det(A) = 0

m -2 5

A = 3 1 2m -1

1 3 -m

  2

det A = -7m - 7m + 42

 











mx - 2y + 5z = 0 3x + y + 2m -1 z = 0

x + 3y - mz = 0

= -7 m +m - 6 = -7 m + 3 m - 2   

m = -3

m = 2



 



II Không gian con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản















a x + a x + + a x = 0

a x + a x + + a x = 0

a x + a x + + a x = 0 Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

ĐL: Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất (1) là một không

gian vectơ con của không gian vectơ Rn (không gian nghiệm)

Hướng dẫn chứng minh:

Viết lại hệ (1) dưới dạng phương trình ma trận: AX = O

 Tập hợp nghiệm khác Ø, vì On là một nghiệm của hệ;

 Tập nghiệm đóng kín đối với phép cộng các nghiệm (vectơ):

 Tập nghiệm đóng kín đối với phép nhân nghiệm (vectơ) với số:

(1)

Mỗi nghiệm của hệ là một vectơ G (n chiều) thỏa mãn AG = O

II Không gian con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản















Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

ĐN: Cơ sở của không gian nghiệm của hệ thuần nhất được gọi là

hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất

Ta chứng minh

được:

Khi hệ thuần nhất (1) có vô số nghiệm (r(A) < n) thì không gian nghiệm của hệ thuần nhất (1) là một không gian con n – r(A) chiều, nghĩa là mỗi hệ nghiệm cơ bản của (1) có n – r(A) vectơ nghiệm

(1)

II Không gian con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản

Thuật toán tìm 1 hệ nghiệm cơ bản của một hệ thuần nhất :

 Giải hệ thuần nhất để đưa ra nghiệm tổng quát (và tìm được r(A))

Trong công thức nghiệm có n – r(A) tham số là α1, α2, , αn – r(A) (ứng với n – r(A) ẩn tự do)

 n – r(A) nghiệm của hệ nghiệm cơ bản được tìm như sau:

 Nghiệm thứ nhất: thay α1 = 1, α2 = 0, , αn – r(A) = 0;

 Nghiệm thứ hai : thay α1 = 0, α2 = 1, , αn – r(A) = 0;

 Nghiệm thứ n – r(A): thay α1 = 0, α2 = 0, , αn – r(A) = 1;

Chú ý: Ta có thể thay bộ n – r(A) giá trị đã gán cho các ẩn tự do

(là E1, E2, , En – r(A)) bởi một cơ sở bất kỳ của kgvt Rn – r(A)

II Không gian con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản

Ví dụ 1: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình















-x + x + 3x - x = 0 3x - 4x - 2x + 3x = 0 2x - 3x + x + 2x = 0

x - 2x + 4x + x = 0 Biến đổi ma trận hệ số:

A =





=> Hạng của ma trận hệ số r(A) = 2

II Không gian con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản

Ta được hệ phương trình

Các ẩn x1, x2 là các ẩn chính; x3, x4 là các ẩn tự do Gán x3 = α; x4

= β tùy ý, ta được được nghiệm tổng quát của hệ là:

 x = 10 - ,x=7α,x=α,x=β,α,βx = 7 ,x=7α,x=α,x=β,α,βx = ,x=7α,x=α,x=β,α,βx =1 α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β 2 α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β 3 α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β 4 β,x=7α,x=α,x=β,α,β,x=7α,x=α,x=β,α,β α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β R,x=7α,x=α,x=β,α,β 

Do r(A) = 2 nên hệ nghiệm cơ bản có 4 – 2 = 2 nghiệm:

Thay α = 1, β = 0 ta được nghiệm riêng:

 

1

P = 10,x=7α,x=α,x=β,α,β7,x=7α,x=α,x=β,α,β1,x=7α,x=α,x=β,α,β0

 

2

P = -1,x=7α,x=α,x=β,α,β0,x=7α,x=α,x=β,α,β0,x=7α,x=α,x=β,α,β1

Thay α = 0, β = 1 ta được nghiệm riêng:

Vậy hệ nghiệm cơ bản gồm 2 nghiệm là: {P1, P2}







-x + x + 3x - x = 0

- x + 7x = 0

II Không gian con nghiệm của hệ thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản

Giải: Biến đổi ma trận hệ số:

-2 3 1 -4

A = 5 -4 -3 2

3 -1 -2 -2

Ví dụ 2: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất có ma trận hệ số là:

Ta được r(A) = 2 và hệ phương trình:

-2 3 1 -4

A = 5 -4 -3 2

3 -1 -2 -2

-2 3 1 -4 -2 3 1 -4

0 7 -1 -16 0 7 -1 -16

0 7 -1 -16 0 0 0 0

Do r(A) = 2 nên hệ nghiệm cơ bản có 4 – 2 = 2 nghiệm:







-2x + 3x + x - 4x = 0

7x - x -16x = 0 Các ẩn x1, x2 là các ẩn chính; x3, x4 là các ẩn tự do Gán x3 = α; x4

= β tùy ý, ta được được nghiệm tổng quát của hệ là:



5 +10 α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β +16 β,x=7α,x=α,x=β,α,β

x = ,x=7α,x=α,x=β,α,βy = ,x=7α,x=α,x=β,α,βz = ,x=7α,x=α,x=β,α,βt = α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β ,x=7α,x=α,x=β,α,β α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β ,x=7α,x=α,x=β,α,β

 ;

1

P = 5,x=7α,x=α,x=β,α,β1,x=7α,x=α,x=β,α,β7,x=7α,x=α,x=β,α,β0 P = 10,x=7α,x=α,x=β,α,β16,x=7α,x=α,x=β,α,β0,x=7α,x=α,x=β,α,β72  

III Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

Xét 2 hệ phương trình















a x + a x + + a x = b

a x + a x + + a x = b

a x + a x + + a x = b















Hệ phương trình (2) được gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ pt (1)

(1)

(2)

Viết 2 hệ phương trình dưới dạng ma trận:

AX = B (1)

AX = O (2)

III Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

Ta suy ra:

Nếu biết được nghiệm tổng quát của hệ phương trình không thuần nhất, ta sẽ biết được nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất liên kết bằng cách lấy nghiệm tổng quát này trừ đi một nghiệm riêng của nó (thường lấy nghiệm riêng ứng với trường hợp các

ẩn tự do nhận các giá trị bằng 0)

Định lý:

1) Hiệu hai nghiệm bất kỳ của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất liên kết (2) của nó;

2) Tổng của một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình tuyến tính

không thuần nhất (1) và một nghiệm bất kỳ của hệ thuần nhất liên kết (2) là nghiệm của hệ không thuần nhất (1)

III Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau, và sau đó

hãy chỉ ra một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết















2x + 3y - z + 4t = 3

x + 8y + 3z + 7t = 4 -4x + 7y + 9z + 2t = -1 -3x + 2y + 5z - t = -2 Biến đổi ma trận mở rộng của hệ phương trình ta có kết quả:



III Mối liên hệ với hệ không thuần nhất



17 11 12 7 10 5

x = α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β - β,x=7α,x=α,x=β,α,β + ,x=7α,x=α,x=β,α,βy = - α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β - β,x=7α,x=α,x=β,α,β + ,x=7α,x=α,x=β,α,βz = ,x=7α,x=α,x=β,α,βt =α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β ,x=7α,x=α,x=β,α,β α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β,x=7α,x=α,x=β,α,β

13 13 13 13 13 13 Nghiệm tổng quát của hệ trên là:

12 5

x = ,x=7α,x=α,x=β,α,βy = ,x=7α,x=α,x=β,α,βz = 0,x=7α,x=α,x=β,α,βt = 0

13 13 Một nghiệm riêng của hệ trên là:



17 11 7 10

x = α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β - β,x=7α,x=α,x=β,α,β,x=7α,x=α,x=β,α,βy = - α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β - β,x=7α,x=α,x=β,α,β,x=7α,x=α,x=β,α,βz = ,x=7α,x=α,x=β,α,βt =α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β ,x=7α,x=α,x=β,α,β α-β,x=7α,x=α,x=β,α,β β,x=7α,x=α,x=β,α,β,x=7α,x=α,x=β,α,β

13 13 13 13 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất liên kết là:

Một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất là:

G1 = 17,x=7α,x=α,x=β,α,β-7,x=7α,x=α,x=β,α,β13,x=7α,x=α,x=β,α,β0 ; G = -11,x=7α,x=α,x=β,α,β-10,x=7α,x=α,x=β,α,β0,x=7α,x=α,x=β,α,β132