HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ppt _ TOÁN CAO CẤP

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng Nhận xét: Một hệ phương trình tuyến tính được xác định nếu biết ma trận mở rộng của nó.. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tínhĐN: Nghiệm của hệ phương t

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916

I Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

III Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2 Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

5 Các phép biến đổi sơ cấp

4 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

6 Hai loại hệ pt tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang)

1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát















ĐN: Hệ phương trình tuyến tính của n ẩn số là hệ

x ,x ,…,x

Trong đó:

là hệ số của ẩn trong phương trình thứ i;

ij

i

b là hệ số tự do của phương trình thứ i.

Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình, 4 ẩn số:











ĐN: Xét hệ phương trình tuyến tính:

tương ứng là ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ phương trình đã cho















Ta gọi các bảng số được ký hiệu và xác định như sau

m n

A =



11 12 1n 1

21 22 2n 2

m1 m2 mn m m×(n+1)

A =

và

Ví dụ 1: 2x + 3y - 4z = -2

3x - y + 2z = 3











Ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ này là:

2 3 -4

A = -1 2

3 -1

0

2

2 3 -4 -2

A = -1 2 0 5

3 -1 2 3

và Xét hệ phương trình

Ví dụ 2:

-2x + y + 3z = -1











Hệ phương trình này là:

-2 1 3 -1

A = 2 -1 2 3

Viết hệ phương trình có ma trận mở rộng là:

2 Ma trận hệ số và ma trận mở rộng Nhận xét:

Một hệ phương trình tuyến tính được xác định nếu biết ma trận

mở rộng của nó

Điều tương tự là không đúng đối với ma trận hệ số, nghĩa là nếu biết ma trận hệ số thôi thì hệ phương trình vẫn chưa được xác định

3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

ĐN: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số

là bộ gồm n số thực có thứ tự sao cho khi gán thì nó thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ

1 2 n

x ,x ,…,x

1 2 n

α ,α ,…,α

1 1 2 2 n n

x = α ,x = α ,…,x = α

Ký hiệu:

 x = α ,x = α ,…,x = α1 1 2 2 n n

 α ,α ,…,α1 2 n 















Có 3 cách viết nghiệm của hệ:

Cách 1:

Cách 2:

Cách 3:

4 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương ĐN: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau

được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau và đều vô nghiệm có tương đương với nhau không?

Có tương đương, vì tập nghiệm bằng nhau (là tập rỗng)

Trả lời:

ĐN:

Một phép biến đổi biến một hệ phương trình thành một hệ khác tương đương với nó được gọi là phép biến đổi tương đương

5 Các phép biến đổi sơ cấp

ĐN: Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình

tuyến tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

Đổi chỗ hai phương trình của hệ;

Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương

Định lý:

Phép 1:

Phép 2: Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số ≠ 0

Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách “cộng vào 2

vế của nó bội hai vế tương ứng của một phương trình khác”

Phép 3:

Ví dụ: Với hệ phương trình:

x + y - 3z = 5

-2x + 3y + 2z = -1

3x - y + z = 2











   2pt(1)+pt(2)











5y - 4z = 9

Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác của n ẩn số x1,

x2, ,xn là hệ phương trình có dạng:

trong đó aii ≠ 0 với i = 1, 2, , n

HỆ TAM GIÁC

ĐN:

Cách giải: Thế từ phương trình dưới lên trên, ta tìm được nghiệm NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm duy nhất.

Đặc điểm của hệ tam giác:

• Số phương trình bằng số ẩn;

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có 1 ẩn (Rút ra từ 2 đặc điểm trên)













a x + a x + + a x = b

a x + + a x = b

nn n n

Giải hệ phương trình:

6 Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

HỆ TAM GIÁC

VD:

Từ phương trình cuối cùng tính được z = 3

Thế z = 3 vào phương trình thứ 2 ta được y = 1

Thế y = 1 và z = 3 vào phương trình thứ nhất ta được x = - 2 Vậy nghiệm của hệ là: (-2, 1, 3)











3y + 2z = 9

2z = 6

6 Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản













Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang của n ẩn số x1,

x2, ,xn là hệ có dạng:

trong đó aii  0, i = 1,2,…,m.

HỆ HÌNH THANG

ĐN:

Đặc điểm của hệ hình thang:

• Số phương trình nhỏ hơn số ẩn (m < n);

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn

a x + + a x + + a x = b

Các ẩn x1, x2, ,xm được gọi là các ẩn chính;

Các ẩn xm+1, ,xn được gọi là các ẩn tự do

Bước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực tùy ý xm+1 = αm+1 xn = αn

Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ tam giác này sẽ được NGHIỆM TỔNG QUÁT của hệ đã cho ( nghiệm

ứng với 1 bộ giá trị cụ thể của các ẩn tự do được gọi là một NGHIỆM RIÊNG )

Trong hệ hình thang trên:

Gán Biểu diễn qua ẩn tự do















(α , α , , α , α , ,α )m+1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Gán z = α; t = β tùy ý thuộc R ta đưa hệ về dạng tam giác:

Bước 2: Giải hệ tam giác này ta được nghiệm:

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:

NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vô số nghiệm.

Một nghiệm riêng của hệ phương trình đã cho là: ( 1, 1, 0, 0)

Bước 1: Ta có x, y là các ẩn chính; z, t là các ẩn tự do







x + 2y - 3z + t = 3

y + 2z - 3t = 1







x + 2y = 3α-β+3 - β+3 + 3

y = -2α-β+3 + 3β+3 + 1







x = 7 - 7 +1 α-β+3 β+3

y = -2 + 3 +1 α-β+3 β+3

 x = 7 - 7 +1,y=-2α+3β+1,z=α,t=β;α,βy = -2 + 3 +1,y=-2α+3β+1,z=α,t=β;α,βz = ,y=-2α+3β+1,z=α,t=β;α,βt =α-β+3 β+3 α-β+3 β+3 α-β+3 β+3; α-β+3 β+3 R,y=-2α+3β+1,z=α,t=β;α,β 

Xét hệ phương trình:

Lấy pt(1) nhân với rồi cộng vào pt(i), i = 2,…,n

Trong quá trình khử trên mà xuất hiện pt:

Nếu b = 0 thì loại pt khỏi hệ; Nếu b ≠ 0 thì hệ pt vô nghiệm















i1 11

a -a

0.x + 0.x + + 0.x = b

Sau bước 1 ta được hệ pt:

Quá trình cứ tiếp tục…, ta có 1 trong 3 khả năng sau sẽ xảy ra:

 Hệ nhận được vô nghiệm (ứng với b ≠ 0 ở trên);

 Hệ nhận được có dạng tam giác;

 Hệ nhận được có dạng hình thang

Một hệ phương trình tuyến tính hoặc vô nghiệm, hoặc có 1 nghiệm, hoặc vô số nghiệm

NX:











0 1

Chú ý:

Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ sẽ được thay bằng thực hiện các phép biến đổi sơ cấp tương ứng trên ma trận mở rộng của nó Cụ thể:

Đổi chỗ 2 phương trình của

hệ; Đổi chỗ 2 dòng tương ứng của ma trận;

Nhân 2 vế phương trình với số

α ≠ 0;

Nhân dòng tương ứng với

số α;

Cộng vào phương trình (i) bội

k lần phương trình (j); Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j);

Biến đổi ma trận mở rộng ta được:

=> nghiệm của hệ là: (1, 2, 3)

Ta được hệ pt











1 3 -2 1

A = 2 -1 3 9

0 - 7 7 7

0 10 -5 5

1 3 -2 1

0 -1 1 1

0 2 -1 1

1 3 -2 1

0 -1 1 1











x + 3y - 2z = 1

- y + z = 1

z = 3

2 1 -1 -3

0 2 3 5

3 1 3 10

2 1 -1 -3

0 2 3 5

2 1 -1 -3

0 -1 9 29

đổi chỗ d1 và d2

A = 2 1 -1 -3

3 1 3 10

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2y + 3z = 5

2x + y - z = -3 3x + y + 3z = 10











Giải:

Biến đổi trận mở rộng ta được:

  

0 0 21 63

Ta được hệ có dạng tam giác Giải hệ tam giác được nghiệm là: ( 1, -2, 3)

  

2 1 -1 -3

0 2 3 5

  

0 -1 9 29











2x + y - z = -3 2y + 3z = 5

21z = 63

KN1: CÓ NGHIỆM DUY NHẤT;

KN2: CÓ VÔ SỐ NGHIỆM;















a x + a x + + a x = 0

a x + a x + + a x = 0

a x + a x + + a x = 0

Hệ luôn có ít nhất 1 nghiệm là (0, 0,…, 0) - nghiệm tầm thường

hay chỉ có nghiệm tầm thường (x1 = 0, x2 = 0,…, xn = 0)

hay có nghiệm khác nghiệm tầm thường

NX: Các phép biến đổi sơ cấp biến 1 hệ thuần nhất thành 1 hệ

thuần nhất nên khi giải hệ thuần nhất chỉ cần biến đổi ma trận hệ số

Hệ thuần nhất chỉ có 2 khả năng: