ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ 2 TOÁN 7 - Đáp án

Trong tam giác ABC các đường cao AE của góc A và BF của góc B cắt nhau tại H.. Hai đường phân giác trong của góc B  và góc C trong tam giác ABC cắt nhau tại I... EBA EAB 30   Tam gi

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ 2 LỚP 7

A

Câu 8 Với bộ 3 đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ 3 nào không thể là 3 cạnh của tam giác:

Câu 9 Trong tam giác ABC các đường cao AE của góc A và BF của góc B cắt nhau tại H Khi đó điểm H:

A là trọng tâm của tam giác ABC B cách đều 3 cạnh của tam giác ABC

C cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC D là trực tâm của tam giác ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC cân tại đỉnh có góc A 120 o Hai đường phân giác trong của góc B  và góc C trong tam giác ABC cắt nhau tại I Số đo của góc BIC là:

A 140o B 160o C 150o D Một kết quả khác +) Với hai đa thức: P x  x32x2 x 1 và Q x x3x2 x 2 hãy trả lời câu hỏi 11, 12, 13:

A 7 B 9 C 8 D 6

Câu 18 Cho ABC vuông tại B có AB = 8 cm; AC = 17cm Số đo cạnh BC là:

Câu 19 Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC Khi đó O là giao điểm của:

C Ba đường trung tuyến D Ba đường phân giác

Câu 20 Cho tam giác ABC cân tại B, trực tâm H Thêm điều kiện gì để H là trọng tâm của tam giác này?

Bài 2 Để đánh giá lượng nước (tính theo m3) tiêu thụ mỗi gia đình trong một tháng của 30 hộ trong một xóm, người ta lập bảng như sau:

Hãy cho biết:

a) Dấu hiệu mà người ta cần quan tâm là gì?

b) Lập bảng tần số các giá trị của dấu hiệu Tìm mốt của dấu hiệu?

c) Qua bảng ‘tần số’, em hãy rút ra nhận xét về lượng nước tiêu thụ của mỗi gia đình?

a) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, B, C

b) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, C

c) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, B

Hướng dẫn:

a) Thu gọn đơn thức A, đơn thức B

b) Tìm phần hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức trên

c) Hai đơn thức trên có là hai đơn thức đồng dạng không? Vì sao?

c) Hai đơn thức trên có đồng dạng vì có cùng phần biến là x y 4 5

Dạng 3 Đa thức

Bài 13 Cho đa thức P(x)  7x3 3x4  x2  5x2  6x3  2x4  2019 x  3

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến b) Viết các hệ số của P(x) Nêu rõ hệ số có bậc cao nhất và hệ số tự do của P(x) c) Chứng tỏ rằng đa thức P(x) không có nghiệm

Hướng dẫn:

a) ( )P x x4 4x22019

b) Các hệ số của P(x) là 1; 4; 2019 Hệ số có bậc cao nhất là 1, hệ số tự do là 2019 c) Ta có x44x20 x x44x22019 0 x

Vì P(x) > 0 x nên đa thức P(x) không có nghiệm

Bài 14 Cho các đa thức A 4x 25xy 2x 5y 3y   2; B 3x22xy 5y y  2;

Bài 16 Cho các đa thức:A(x) x 33x24x; B(x) 2x33x24x 1

Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa thức B(x)

Hướng dẫn:

Ta có: ( )A 0 033 0 24 0 0  nên x = 0 là nghiệm của đa thức A(x)

Mặt khác, ( )B 0  2 0 33 0 24 0 1 0   nên x = 0 không phải là nghiệm của đa thức B(x)

Bài 17 Tìm nghiệm của các đa thức sau:

Vậy a 1

8



Bài 19 Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện (x f x2)(x4) ( )f x

Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm

Hướng dẫn:

Cho x = 0 ta được: 0 ( 2)f   4 (0)f  f(0) = 0

Cho x = 4 ta được: 4 (2)f 0 (4)f f(2) = 0

Ta thấy f(0) = f(2) = 0

Vậy f(x) có ít nhất hai nghiệm

Bài 20 Tính giá trị của biểu thức:

a) A x 22xy y 2 tại x 1;y 2

Vậy x 9 là nghiệm của đa thức P(x)

Bài 23 Chứng tỏ rằng các đa thức sau không có nghiệm:

a) 10x23 b) x 1  2 x 2 2 5

Hướng dẫn:

a) Ta có:10x2 0 x, 10x2 3 0,x

Vậy đa thức 10x23 không có nghiệm

b) Học sinh chứng minh tương tự câu a

Bài 24 Cho hai đa thức f x( )x 1 x 3   và ( )g x x3ax2bx 3 Xác định hệ

số a; b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x)

Hướng dẫn:

a) ΔABE = ΔHBE (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Theo câu a suy ra AE = HE; BA = BH

 BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH

c) Chứng minh ΔAEK = ΔHEC (g.c.g)  EK = EC

d) Xét tam giác AEK vuông tại A có: AE < EK (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc), mà EK = EC (cmt) Vậy AE < EC (đpcm)

Bài 27 Cho ΔABC vuông tại C có A 60 o Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E

Kẻ BD vuông góc với tia AE (D  AE)

EB

AC

a) Vì tam giác ABC vuông tại C và A 60 o B 30 o

Vì AE là tia phân giác của góc BAC nên CAE EAB 30  o

Từ đó ta chứng minh ΔABC = ΔBDA (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BC = AD (đpcm)

EBA EAB 30   Tam giác EAB cân tại E

Trong tam giác cân EAB có EK AB nên EK là đường cao suy ra EK là đường trung tuyến của ΔEAB

Vậy BK = AK (đpcm)

c) Xét tam giác EAB có: EK AB, AC BE, BD EA suy ra EK, AC, BD là 3 đường cao của tam giác EAB nên chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm (đpcm)

Bài 28 Cho ΔEMN cân tại E  o

E 90 , các đường cao MA, NB cắt nhau tại I Tia EI cắt MN tại H

a) Chứng minh ΔAMN = ΔBNM

b) Chứng minh EH là đường trung tuyến của ΔEMN

c) Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AN = 3cm, AE = 2cm

d) Chứng minh I cách đều ba cạnh của ΔABH

N M

E

c) Ta có: EM = EN = AN + AE = 5cm

AM EM EA 5 2 21

AM 21

d) Chứng minh BA//MN (hs tự chứng minh)

ΔBMN vuông tại B, H là trung điểm của MNBH = MH = NH

ΔHBN cân tại H  HBN HNB

Mặt khác, BA//MN ABN BNH (hai góc so le trong)

 ABN NBH BI là phân giác của góc ABH

Chứng minh tương tự có AI là phân giác của góc BAH

Suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABH

Vậy I cách đều ba cạnh của ΔABH (đpcm)

Bài 29 Tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA

a) Chứng minh rằng: Tia AD là tia phân giác của HAC

b) Vẽ DK AC (K  AC ) Chứng minh rằng: AK = AH

c) Chứng minh rằng: AB + AC < BC + AH

Hướng dẫn:

a) Ta có BD = BA ΔBAD cân tại B BAD BDA 

HDA HAD 90 

BAD DAC 90  , mà BAD BDA suy ra HAD DAC 

Vậy AD là tia phân giác của HAC

b) Chứng minh ΔADH = ΔADK (cạnh huyền – góc nhọn) AH = AK (đpcm)

c) Xét ΔKDC vuông tại K có: KC < DC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Ta có: AB + AC = AB + AK + KC

BC + AH = BD + DC + AH

Vì AB = BD (gt), AK = AH (cmb), KC <DC (cmt)

Suy ra AB + AC < BC + AH (đpcm)

Bài 30 Cho ΔABC nhọn, đường cao AH Vẽ các điểm D, E sao cho các đường thẳng

AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HD, HE

Mà ADEAED(vì ΔADE cân tại A) MHAAHN

Vậy HA là tia phân giác của MHN (đpcm)

c) Xét ΔADE cân tại A có DAE 180 o2ADE(1)

NM

Mặt khác  o  o 

MHB 90 MHA 90 MDA(2)

Từ (1) và (2) suy ra DAE 2MHB 

Bài 31 Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm; đường phân giác BI

Kẻ IH BC (HBC) Gọi K là giao điểm của AB và IH

a) Tính BC

b) Chứng minh ΔABI = ΔHBI

c) Chứng minh BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH

d) Chứng minh IA < IC

e) Chứng minh I là trực tâm của ΔKBC

Hướng dẫn:

a) BC = 10cm

b) ΔABI = ΔHBI (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Từ câu b suy ra AB = HB  ΔABH cân tại B

mà BI là phân giác của góc ABH  BI là phân giác của ΔABH

Suy ra BI cũng là đường trung trực của ΔABH

Vậy BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH(đpcm)

d) Ta có IA = IH Mà trong tam giác IHC có: IC > IH

A

Vậy I là trực tâm của tam giác KBC (đpcm)

Bài 32 Cho ΔABC vuông tại B, ACB CAB Điểm K là trung điểm của AB Đường trung trực của AB cắt AC tại M

a) Chứng minh ΔABM cân

a) Vì M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB (tính chất)

 ΔABM cân tại M

b) Vì ΔABM cân tại M nên MBAMAB

Xét ΔABC vuông tại B ta có: BCA CAB 90  o

Lại có CBM MBA 90  o

Suy ra MBC MCB(đpcm)

c) Xét tam giác IAB có AH BI, IK AB, IK  AH = M

 M là trực tâm của tam giác IAB  BM IA

d) Chứng minh được ΔIBA cân tại I  IK là đường phân giác của ΔIBA

Chứng minh ΔIHE cân tại I có IK là phân giác của góc HIE  IK HE

B

mà ACB 60 onên ΔMBC là tam giác đều  MC = MB = BC =MA = AB 6

Tam giác MBC đều có BH MC  BH là đường trung tuyến của ΔMBC

2  2 Vậy AH = HM + MA =3 + 6 = 9cm

Bài 33 Cho ABC vuông tại B có A 60 o Vẽ đường phân giác AD (D  BC) Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N Gọi I là giao điểm của AD và BM Chứng minh:

a) BAD = MAD

b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM

c) ANC là tam giác đều

d) BI ND

Hướng dẫn:

a) BAD = MAD (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Từ câu a  AB = AM  ΔABM cân tại A

Mà AD là phân giác của BAM  AD là đường trung trực của ΔABM

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM (đpcm)

c) Chứng minh D là trực tâm của tam giác ANC AD NC

Mà AD là phân giác của Asuy ra ΔANC cân tại A,

A

Lại có A 60 o ΔANC là tam giác đều (đpcm)

d) Tam giác ABM đều  AB = 2BI

Lại có B là trung điểm của AN  AB = BN = 2BI

Xét tam giác BND vuông tại B có: BN < ND (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)  2BI < ND  BI < ND (đpcm)

Bài 34 Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC (H  BC) Gọi M là trung điểm của BH Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA

a) Chứng minh rằng: AMH = NMB và NB  BC

b) Chứng minh rằng: AH = NB, từ đó suy ra NB < AB

c) Chứng minh rằng: BAM MAH

d) Gọi I là trung điểm của NC Chứng minh rằng: Ba điểm A, H, I thẳng hàng

M

B

A

d) Vì H là trung điểm của BC, M là trung điểm của BH  CH 2CM

3

Lại có CM là trung tuyến của ΔANC  H là trọng tậm của ΔANC

 AH là đường trung tuyến của ΔANC (1)

Mà I là trung điểm của NC  AI là đường trung tuyến của ΔANC (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng (đpcm)

Bài 35 Cho tam giác ABC có AB<AC Từ trung điểm D của BC vẽ đường vuông góc với tia phân giác của góc A tại H Đường thẳng này cắt các tia AB tại E và AC tại F

Vẽ tia BM song song với EF (MAC)

a) Chứng minh ΔABM cân

b) Chứng minh: MF = BE = CF

c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AH tại I Chứng minh: IF AC

Hướng dẫn:

a) Ta có: AH EF mà BM // EF  AH BM

Lại có AH là đường phân giác của góc BAM

Vậy ΔABM cân tại A (đpcm)

b) Học sinh tự chứng minh

c) Chứng minh IC = IM ΔIMC cân tại I

Theo câu b, MF = FC  IF là đường trung tuyến của ΔIMC

A

Bài 36 Cho ΔABC cân tại C Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC Các đường thẳng AE, BD cắt nhau tại M Các đường thẳng CM, AB cắt nhau tại I a) Chứng minh AE = BD

b) Chứng minh DE // AB

c) Chứng minh IM AB Từ đó tính IM biết BC = 15cm, AB = 24cm

d) Chứng minh AB+2BC > CI + 2AE

Hướng dẫn:

a) Chứng minh ΔCAE = ΔCBD (c.g.c)  AE = BD

b) Chứng minh CDE CAB , mà hai góc ở vị trí so le trong  DE // AB

c) Ta chứng minh được M là trọng tâm của tam giác ABC  CI là đường trung tuyến của ΔABC

Mà ΔABC cân tại C  IM AB

E D

B A

C

b) Kẻ BM AD, CN AE Chứng minh BM = CN

c) Gọi I là giao điểm của MB và NC ΔIBC là tam giác gì? Chứng minh

d) Chứng minh AI là phân giác của BAC

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh được ΔADB = ΔAEC (c.g.c)  AB = AC (hai cạnh tương ứng)

 ΔABC cân tại A

b) Từ câu a ΔADB = ΔAEC  MAB NAC 

Ta chứng minh được ΔABM = ΔACN (cạnh huyền – góc nhọn)  BM = CN

c) Tam giác IBC là tam giác cân tại I (học sinh tự chứng minh) IBC ICB

d) Chứng minh được ΔABI = Δ ACI (c.c.c)

BAI CAI

   AI là là phân giác của BAC (đpcm)

Bài 38 Cho ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến Trên tia đối của tia

MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a) Chứng minh ΔMAB = ΔMDC

b) Gọi K là trung điểm của AC Chứng minh KB = KD

c) KD cắt BC tại I và KB cắt AD tại N Chứng minh ΔKNI cân

Hướng dẫn:

I

N M

C B

E D

A

a) ΔMAB = ΔMDC (c.g.c)

b) Ta có ABM DCM (vì ΔMAB = ΔMDC)

Suy ra AB // CD (có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Mà AB AC  CD AC hay tam giác ACD vuông tại C

Chứng minh được ΔABK = ΔCDK (c.g.c)  KB = KD (hai cạnh tương ứng)

c) Chứng minh N là trọng tâm của tam giác ABC KN 1KB

Mà KB = KD (cma) KN = KI ΔKNI cân tại K (đpcm)

Dạng 5 Một số bài tập nâng cao

A

Dấu “=” xảy ra khi z = 0, x = 1, y = 7

Vậy giá trị lớn nhất của A là 47 khi x = 1, y = 7, z = 0

Bài 41 Cho A = 1 3 5 2009 Chứng minh rằng ba số: 2A – 1; 2A; 2A + 1 đều không phải là số chính phương

(Vì k – 1 và k + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên k 1 k 1    chia hết cho 4

Vậy 2A + 1 không là số chính phương

Vậy 3 số 2A – 1; 2A; 2A +1 không là số chính phương

Bài 42 Cho đa thức f(x) x 8101x7101x6101x5  101x2101x 1 Tính f(100)

Bài 43 Tam thức bậc hai là đa thức có dạng ( )f x ax2 bx c , với a, b, c là hằng

số, a khác 0 Tìm tam thức bậc hai trên biết f(1) =4, f(-1) = 8 và a c  4

Bài 45 Cho đa thức    2  99 3 2 50

A x  8x  5x 14 3x 10x 6x 2 Sau khi thu gọn thì tổng các hệ số của A(x) là bao nhiêu?

Bài 46 Cho đa thức  27 7 2002

Vậy tồn tại số có dạng 111…111 và chia hết cho 31 (đpcm)

Bài 48 Cho ba số dương 0 a b c 1  Chứng minh rằng: