(TN ban KHTN, laàn 2, 2007) Cho hình giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh khi quay hình quanh truïc.. hoaønh.[r]
Trang 1BÀI TẬP Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
(3x - 5x+1)dx
ị
; b)
1
2 1
2
(2x+1)(x - x+3)dx
ị
; c)
4
1
1
x
ị
; d)
2 3
2x x 1dx
x
ị
; e)
2 2
0
1
dx x
+
ị
; f)
1
dx
x+ x+
ị
; g)
3
2
dx
x - x+
ị
2
1 ( x+ x+ x dx) ị
; i)
2
3 1
1
x
-ị
; j)
1
e +e- dx
ị
4
4 0
(3 )
x
x e dx -ị
Đáp số :
a) –
1
341
20
3 ; d) –
20
g) –
2
4 2 3 2 8 2 133
3 + 2 + 5 - 60 ; i)
3
3(3 4)
10 - ; j)
2e e
ỉ ư÷
ç - ÷
çè ø; k) 28 – 4e
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
3
1
2
x- dx
ị
3
2
0
1 2x x dx- + ị
; c)
2
1 2
1
x
-ị
;
Trang 2d)
2
2
2
2
-ị
; e)
3 4
0
1 sin2xdx
p
+ ị
Đáp số :
5
1
4;
d)
19
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
2
2
3
cos xdx
p
p
ị
4 4
0
sin xdx
p
ị
2 0
1 cos cos
x dx x
p -ị
;
d)
3
6
sin cos
dx
p
p
ị
3
4
cos2 cos sin
xdx
p
p
ị
; f) 0
sin2 cos3x xdx
p ị
;
g)
2
2
sin7 sin2x xdx
p
p
-ị
h)
2
4
cos 2 sin
x tg x dx x
p
p
-ị
; i)
6
3
1 sinx dx
p
p
ị
Đáp số :
a)
3
12 8
p
1 3
4 32
p
- +
2
2 ; d)
4 3
4 3
3 + 2; f) –
4
5; g)
4
7 3
3 12
p
-; i)
1ln3 ln(2 3)
Bài 3 Chứng minh rằng
Trang 3a)
2
2 0
dx x
p
+
ị
; b)
3 4
2
4
dx x
p
p
-ị
; c)
11
7
54 2 x 7 11 x dx 108
; d)
2 2 1
xdx x
+
ị
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân f(x) có thể phân tích thành tích của một hàm số hợp g[j (x)] và đạo hàm của hàm số ở bên trongj ’(x) tức là f(x) = g[j (x)].j ’(x) Khi đó, để tính:
( ) [ ( )] '( )
f x dx= g xj j x dx
ta thực hiện phép đổi biến số t = j (x) và ta có
( ) [ ( )] '( )
f x dx= g xj j x dx
=
( )
g t dt
b
a
ị
(*) Trong đó, avà b được xác định bởi a= j (a) và b = j (b)
Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng:
Khi đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta cũng phải đổi luôn cận lấy tích phân từ a, b sang a, b và ta tính toán với những cận mới ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất định
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1)
2
4
1
(2x- 1) dx
ị
1 2
0 ( 1)
ị
; 3)
1
0 (1 )
ị
;
Trang 44)
2
x dx
x
-ò
3
1( 1)
xdx x
ò
3 2 1
2
+
ò
; 7)
2
0
8
x - x dx
ò
; 8)
1
0 1
x - x dx
ò
1
0 1
x - x dx
ò
; 10)
3
0
1
x +x dx
ò
; 11)
1
x +
3 2
0
1 1
x dx x
+ +
ò
;
13)
7
3
3
0
1
3 1
x
+
+
ò
; 14)
2 3
x +
ò
; 15)
1
2 1
3
2
dx
x x
-ò
;
16)
2 3
2
dx
x x +
ò
; 17)
tg 4
0
xdx
p
ò
4
6
cotgxdx
p
p
ò
;
19)
2
0
sin
1 3cos
x
p
+
ò
; 20)
3 3
0 sin xcosxdx
p
ò
; 21)
4
0
cos2
1 2sin2
xdx x
p
+
ò
;
22)
3
2
4
1 sin2
cos
x dx
x
p
p
+
ò
; 23)
2 3
0
cos xdx
p
ò
2 5
4
sin xdx
p
p
ò
;
25)
2
2
0
sin2
1 cos
x
dx x
p
+
ò
26)
0
4cos
1 sin
x dx x
p
+
ò
; 27)
0
4sin
x dx
co x
p
+
ò
;
28)
4
dx
p
+
ò
; 29)
4
0
sin4 sin cos
xdx
p
+
ò
; 30)
2
4 0
sin2
1 sin
x dx x
p
+
ò
;
31)
4
2
0 (sin 2cos )
dx
p
+
ò
; 32)
4 4 3 cos
dx x
p
p
ò
2 4 3 sin
dx x
p
p ò
;
Trang 534)
2
2
sin
4
.sin2
x
p
p
ị
; 35)
0
sin cos sin
xdx
p
+
ị
; 36)
2
2 0
sin
1 cos
xdx x
p
+
ị
; 37)
4
1
x
e dx
x
ị
ln2 2
x x
e dx
e +
ị
1
0 1
x x
e dx e
-+
ị
;
40) 1 4
e
dx
e - e
-ị
1
1
1 ln
e
x dx x
+ ị
; 42)
5 ln
e e
dx
ị
; 43) 1
sin(ln )
e
x dx
x
ị
2
1
1 ln
e
x dx x
+ ị
ln (ln ) 1
e
xdx
xéêë x + ùúû
ị
; 46)
2 3
1
ln 2 ln
e
x
+
ị
; 47)
1 2
0 1
dx x
+
ị
2 3 2
dx
x +
ị
; 49)
3
2
dx
x - x+
ị
; 50)
1
dx
ị
; 51)
1
xdx
x +x +
ị
;
52)
1
2
0
1 x dx
-ị
; 53)
2
0 4
x - x dx
ị
; 54)
2
2
x
-ị
;
55)
0
a
x a - x dx
ị
; 56)
2 2 4 1
1 1
x
-+
ị
1 5
4 1
1 1
x dx x
+ + +
ị
;
58)
1 5
1
1 1
x
dx
+
+
ị
; 59)
2 2
0
x - xdx
ị
0
1 2sin
1 sin2
x dx x
p -+
ị
;
Đáp số :
1)
121
26281
491520; 3)
1
168; 4) 4 + 8ln
7
15; 5)
3
50; 6)
1
2
15;
Trang 69)
4
45; 10)
848
105; 11)
1
3; 12)
106
15; 13)
46
15; 14)
141
20 ; 15) 3
p
1 5 ln
4 3; 17)
1
2ln2; 18)
1
2ln2; 19)
2
3ln2; 20)
9
64; 21)
1ln3
4 ; 22) 3+ ln2 – 1; 23);
2
3; 24)
43 2
120 ;
2arctan3 6
p
-;
29) ln2; 30) 4
p
1
6; 32)
6 3 4 3
; 33)
10 3
27 ; 34) e – e; 35) 4
p
p
; 37) 2e(e – 1); 38)
2 2
2 ln 1
e e+ ; 40) 1 + 2arctge – 41)
2
15
4 ; 43)1 – cos1; 44)
2 ln(1 2)
2
45)
1
2ln2; 46)
9 3 3 2
8 - 4 ; 47) 4
p
; 48) 6
p
; 49) 4
p
8 36
æ ö÷
ç - ÷p
çè ø ; 51)
3 8
p
; 52) 4
p
;
53) p; 54)
1
8 4
p
2 16
a
; 56)
6 2 19 2ln
17 4
æ + ÷ö
57) 4 2
p
; 58) 4
p
1
2ln2;
Trang 7* Vài đề thi
1) (A, 2005)
2
0
sin2 sin
1 3cos
x
p
+
=
+
ị
Đ.S:
34
27;
2) (B, 2005)
2
0
sin2 cos
1 cos
x
p
=
+
ị
Đ.S: 2ln2 1- ;
3) (D, 2005) 2( sin )
0
cos cos
x
p
Đ.S: e 1 4
p
- +
;
4) (TN, 2005) 2( 2 )
0 sin cos
p
=ị +
Đ.S:
2
2 3
p -
5) (CĐKTĐN, 2005) I = e
e2
x
ln x ( ) ln ln x ( ( ) )
x
d
(
1 2ln2
2
+ ) 6) (CĐKTCN, 2005)
2
0
sin ln 1 cosx x dx
p
+ ị
(- +1 2ln2)
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Định lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì :
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b a
u x v x dx=u x v x - v x u x dx
Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể viết gọn là
b
udv=uv - vdu
Tích phân dạng
( )
b
x n a
P x ea +bdx
ị
, trong đó Pn(x) là đa thức bậc n theo
Trang 8biến x
Phương pháp :
Đặt
ta có '( )
( )
n
ì =
Chú ý: Ta phải tính tích phân từng phần theo n lần.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau
1)
1
0
x
xe dx
ị
1 2
0 (x +2 )x e dx x
ị
; 3)
ln 2
0
x x
xe dx
-ị
; 4)
2
3
ln
1
ln .
e
x
x e dx
x
ị
; 5)
1
2
0 (e-x+x dx) ị
Đáp số:
1(2 1 ) 4
-4)
1
1 17 4 6
-
Tích phân dạng I1 =
2
P x a + bx dx I = P x a + bx dx
Phương pháp :
* Để tính I1 ta đặt :
ta có
'( ) ( )
n
ì = ï
ì =
* Để tính I2 ta đặt :
Trang 9ta có
'( ) ( )
n
ì = ï
ì =
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
sin
p
ị
3
0 s
xco xdx
p
ị
2 2
0 (x 1) sco xdx
p
-ị
;
4)
6
0
(2 x)sin3xdx
p
-ị
; 5)
2
0 cos
p
ị
2
0
sin cos
p
ị
;
7)
2
3
s
x co x dx
p
p
ị
3 2 3 0
sin xdx
p
ỉ ư÷
ç ÷
ç ÷
çè ø ị
2 4
0 sin
p
ị
Đáp số:
3 1
p
2 3 4
p
-; 4)
5
3
48p - 8p; 6)
1
2; 7)
2
p
p -
-; 8) 3 p – 6-; 9)
2
3 12 2
p
-
Tích phân dạng I =
và
( )[ln( )] , ( )
b
n a
x
Phương pháp :
Đặt
ta có
1 1
ln ) (ln )
,
n
x
-ìï
Ta tính tích phân từng phần n lần.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
Trang 101) 1
ln
e
xdx
ị
ln
e
x dx x
ị
5
2
2 ln(x x- 1)dx
ị
; 4)
2
1
(ln )
e
x dx
ị
2
1 ln
e
ị
2
1
ln
e
x dx x
ỉ ư÷
çè ø
ị
; 7)
3
1
ln
e
x dx
x
ị
( 1)ln
e
ị
; 9)
2 2 1
ln(1 x)dx
x
+ ị
;
10)
3
2
6
ln(sin )
cos
x dx
x
p
p
ị
; 11)
2
2
0 ln( 1+x - x dx) ị
; 12)
3
1 ln
e
ị
;
Đáp số:
27
2 ; 4) e – 2; 5)
4
e
5
e ;
7)
2
2
3
4
e
e
4
e
2
3 ; 10) 3
3
3ln
ỉ ư p÷
ç
÷-ç ÷
ç ÷
çè ø ; 11) 2ln( 5 – 2) + 5 –1; 12) 161(3e +4 1);
* Khối D, 2004) Tính tích phân I =
3 2
2 ln(x - x dx) ị
Đáp số : I = 3ln3 – 2.
Tích phân dạng
ea +b mx n dx hay+ ea +b mx n dx+
Trang 11Đặt
ta có 1cos( )
1
x
m
a +b
(Hoặc đặt ngược lại)
Ta lấy tích phân từng phần hai lần rồi giải phương trình
BÀI TẬP Tính các tích phân sau:
1)
2
0
cos
x
p
ị
2 2
0 cos3
x
p
ị
; 3)
0 sin
x
p ị
; 4)
1
0
sin
x
ị
; 5) 1
sin(ln )
e
x dx
ị
; 6) 1
s(ln )
e
ị
;
7)
cos
0
(e x x)sinxdx
p
+
ị
; 8)
2
2
0 (x sin2 )x dx
p
+ ị
; 9)
3 2
4 sin
xdx x
p
p
ị
Đáp số:
1)
2
e
p
13
ep+
8
ep
-; 4)
2
2
( 1)
4(1 )
e
p
1 cos1 sin1
2
; 6) 2
e
(sin1 + cos1 –1) 7) p + e +
1
3
4p + p4 ; 9)
3 1 3ln
p- p +
MỘTSỐ ĐỀ THI
Trang 12I CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP.
Tính các tích phân sau:
TN, 1994 (2 điểm)
ĐS: 1)
8
3
8 2 9
e
TN, 1996 (2 điểm)
ĐS: 1)
248 35
2
3 ln 2
2 2 2 3
TN, 1997, đợt 1 (2 điểm)
ĐS: 1) 18ln3 8ln2 5 ; 2)
16 8 2 15
TN, 1997, đợt 2
3 2 8
ln
TN, 1998, Đề chính thức (2 điểm)
1
2
Trang 13TN, 1998, đợt 1 (2 điểm)
1 e e
TN, 1998, đợt 2 (2 điểm)
39
12 2
4 ln
TN, 1999, đợt 1 (2 điểm)
TN, 1999, đợt 2 (2 điểm)
1) Tính tích phân (ĐS:
2
15)
TN, 2000
1) Cho hàm số Hãy tính đạo hàm và giải phương trình
; 2) Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên
3 bì thư đã chọn Mỗi bì thư chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy
TN, 2000 2001 (1 điểm)
3 3
32 )
TN, 2001 2002 (2 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
F(x) = 2cos2x + 4sinx
Trang 14trên đoạn 0;2
2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau?
TN, 2002 2003 (2 điểm)
1) Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số
Biết rằng
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
(TN 2003 – 2004) Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số và các đường
TN không phân ban, 2006)
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
và đường thẳng
2 Tính tích phân
Đáp số 1) 2)
Trang 15(TN không phân ban, 2007) ĐS
(TN ban KHTN, lần 1, 2007) ĐS
(TN ban KHXH, lần 1, 2007) ĐS
(TN không phân ban, 2007) ĐS
(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Cho hình giới hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình quanh trục
(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
II CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
1 (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Đáp số
2 (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Đáp số
Tính các tích phân sau:
1 2 2
ln
)
Trang 164 (Dự bị 2, 2002) (Đáp số 2 1)
3 4
4e 7).
6 (Dự bị 5, 2002)
Đáp số:
12
91)
1 5
4ln3 )
8 (Khối A, Dự bị 1, 2003) (Đáp số:
1 2
8 4ln
)
9 (Khối A, Dự bị 2, 2003) (Đáp số:
2
15)
1 2
2ln )
11 (Khối B, Dự bị 1, 2003) (Đáp số:
20
3 )
12 (Khối B, Dự bị 2, 2003) Cho hàm số Tìm a và b sao cho và
Trang 17Đáp số:
8 2
a ,
b
14 (Dự bị 1, Khối D, 2003) ĐS
116
135)
11
4 2
3 ln
)
18 (Khối D, 2004) (Đáp số: 3ln3 2)
20 (Dự bị 2, 2004)
ĐS
Trang 1825 (B, 2005) Đ.S:
29 (Dự bị 3, 2005)
ĐS
36 (Dự bị 2, A, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng ĐS
Trang 1938 (Dự bị 2, D, 2006) ĐS
42 (A, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
ĐS
43 (Khối B, 2007)
ĐS