HUONG DAN ON TAP CHUONG IV DAI SO 11 NAM 12-13 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

[r]

Trang 1

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)

I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:

1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn:

a) lim(un + vn) = limun + limvn b) lim(un – vn) = limun – limvn

c) lim(un.vn) = limun.limvn d)

lim

v lim v (nếu limvn 0)

e) Nếu un 0, n và limun = a thì a 0 và lim un  a f) limkun = klimun

Đặc biệt: a)

1

n  b) k

1

n  với k nguyên dương

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un lim c c d) limqn = 0 nếu q 1

* Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u n ) là:

n

u

1 q

 với q 1

* Giới hạn vô cực:

a) Nếu limun = a và limvn =  thì

n n

u

b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0, n thì

n n

u lim

c) Nếu limun =  và limvn = a > 0 thì limun.vn = 

Đặc biệt: a) limnk =  với k nguyên dương b) limqn =  nếu q >1

2 Bài tập mẫu:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a)

4n 1

lim

2n 7



 b)

2 2

lim

2n 1

 

  c)

3

2n 5n 3 lim



Giải: a)



b)

2

 

c)

3

a)

5

(2 3n) (n 1)

lim

1 4n

n(2n 1)(3n 2) lim

(7 2n)

 c)

2 2

lim

Giải: a)

5

Trang 2

b)

c)

5

(2n 1)(3 n) (n 2) n(2 )n ( 1) n (1 ) (2 ).( 1) (1 ) 2.( 1) 1

a)

2

lim

   b)

2 3 3

lim

 c)

2

1 4n lim

1 2n





Giải: a)

2

1



b)

3 3

3

2



c)



2n 5

lim

n.3



b)

n n

lim



 c)

lim

  d)

lim

Giải: a)

n

 

b)

n n

n

1

3



  

c)

n

1

d)

n n

n

n 1

2

( 2)

1





a) lim( n2 2n n 2)  b) lim( n2n n2 2) c) lim( n3 3 n2  n)

Trang 3

Giải: a)

2

[ n 2n (n 2)][ n 2n (n 2)] lim( n 2n n 2) lim[ n 2n (n 2)] lim

n 2n (n 2)

=



b)

=

2





c)

3

=



=

2

3

Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của:

a) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: ( A B )( A B ) = A – B2

b) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: (A B)(A B) = A2 – B

c) b) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: ( A B)( A  B) = A– B d) 3 A B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 B A B3  2

Khi đó: (3 A B )(3 A2 B A B3  2) = A  B3 e) A3 B nhân với lượng liên hợp là: A2A B3 3 B2

Khi đó: (A3 B)(A2A B3 3 B2 ) = A3  B f) 3 A3 B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 3 AB3 B2

Khi đó: (3 A3 B)(3 A2 3 AB3 B2 ) = A  B

a)

1 lim

n 2  n 1 b)

2

lim

3n 2

 c)

2

lim

Giải: a)



=

n 2 n 1

b)

Trang 4

=

2 2

2

1

3.1 3



c)



=



=

2



a) lim(n3 2n23n 5) b) lim( 3n 42n3 1) c) lim( n 2n n 1)

Giải: a)

b)

4

n n

c)

2

a)

2

3

lim

 b)

3 2

lim

 c)

3

lim

 

Giải: a)

3

b)

3

2

3

c)

5

3

5

Bài 9: Tính tổng:

2 2 2  2  b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n – 1 +

Giải: a) Ta có: u1 =

1

2, q =

1

2 Vậy: S =

1

2



Trang 5

b) Ta có: S = 1 +



9 10 9 1 10



= 1 + 9 = 10

Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết:

a) 0,7777 b) 5, 212121 c) 0,32111

7 7 10

1 10





=

21

100

1 100



1

10



3 Bài tập tự luyện

a)

6n 1

lim

3n 2



 (2) b)

2 2

lim

 

3

2 ) c)

2

lim

  (0) d)

3

lim

2n 1

lim



  (0) f)

2 2

lim

2

3 ) g)

4 4

lim



1

2)

a)

4 2

n lim

(n 1)(2 n)(n  1) (1) b)

(3 5n) (n 2) lim

2 2

2n(3 n ) lim

(1 n)( 2n 5)



1

2 )

a)

4

2

lim

1

2 ) b) 2

n n 2 lim



  (0) c)

3

lim

n 12

2 5n

lim

3n.4



(0) b)

n

lim

7 3.5



2

3 ) c)

n n 1

lim



 (7)

d)

n n 1

n

lim

1 5



 (-5) e)

n 1 n 2

lim



 (0) f)

n n 1

lim

1

3 )

a) lim( n2 n n) (

1 2



) b) lim( n2 n n) () c) lim( n2 n 3 n)  (

1 2



)

d) lim( n n3  3  n 2) (2) e) lim( 4n2 3n 1 2n)  (

3 4



)

f) lim n 5( 2n 3   2n 1) ( 2) g) lim( n3 32n2  1 n) (

2

3)

1 lim

n 1  n 2 (1) b)

lim

n 1

 ( 2 1 ) c)

2

lim

1 2



)

Trang 6

d)

2

lim

  (1) e)

2

lim

16

3 )

a) lim(n32n2 n 1) () b) lim( n 25n 2) ( ) c) lim(n4 3n3 n 2)() Bài 8: Tính các giới hạn sau:

a)

lim n

n 1





  () b)

3 2

lim

 ( ) c)

2

lim 2n n

Bài 9: Tính tổng:

ĐS:

3

2 b) S = -1 +

n



ĐS:

10 11



c) S = 2 + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + + (0,3)n + ĐS:

7 3

Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết:

a) 7, 282828 ĐS:

721

99 b) 0,3333 ĐS:

1

3 c) 1,020202 ĐS:

101

99

II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:

1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn tại 1 điểm:

a) x xlim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)0 x x 0 x x 0

b) x xlim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)0 x x 0 x x 0

c) x xlim[f (x).g(x)] lim f (x) lim g(x)0 x x 0 x x 0

d)

0 0

0

x x

lim f (x)

f (x) lim





với x xlim g(x) 00

e) Nếu f(x) 0: x xlim f (x)0 xlim f (x)x 0

f) x xlim f (x)0 x xlim f (x)0

* Giới hạn một bên: x xlim f (x) L0

 x xlim f (x)0 x xlim f (x) L0

* Giới hạn hữu hạn tại vô cực: (cách giải tương tự như dãy số)

* Giới hạn vô cực: a) xlim f (x)

b) xlim [ f (x)]

    

* Đặc biệt: a)

k

xlim x

  

với k nguyên dương b)

k

xlim x

    

nếu k là số lẻ c)

k

xlim x

   

nếu k là số chẵn

Chú ý: a) x xlim x x0 0

b) x xlim c c0

, c là hằng số c) xlim c c

  

, c là hằng số d) x k

c

x

  

* Quy tắc tìm giới hạn:

0

x xlim f (x) L

0

x xlim g(x)

0

x xlim g(x)



Dấu của g(x) x x 0

f (x) lim g(x)



L > 0

0

2 Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho các hàm số: a) f(x) =

2

3 x



Tìm lim f (x)x 3



Trang 7

b) f(x) = 5x3 – 2x + 7 Tìm xlim f (x)2

  c) f(x) = 2

3x 1



  Tìm xlim f (x)3

 

Giải: a)

lim f (x) lim

3

b)

a) x 2 2

2x(x 3)

lim





 b)

2

1 x 2

lim 2x 3

 



c)

2

x 4

Giải: a) x 2 2

lim







 b)

2

1 x 2

2x 3

 





c)

2

x 4

Bài 3: Tính các giới hạn sau: (Dạng

0

0)

a)

2

x 1

lim

x 1



 

 b)

2

x 2

lim



 

 c)

2

x 1

lim



  d)

3

2

x 2

8 x lim





Giải: a)

2

b)

2

c)

2

d)

2

0

0)

a) x 12

lim

2x 1 x 1 x

 



b) x 1 3

lim

1 x 1 x





b)

x 2

1 x x





 

0

0)

a) x 0

lim

x



b) x 1

lim

x 1



 c) x 3 2

lim

 



Trang 8

d) x 2

x 2 2

lim

x 7 3



  e)

2 2

x 1

lim





4

c)

2

9

d)



=



=

2

6



6

5 lim

2







0

0): a)

3

x 0

lim

x



b)

3 2

x 2

lim



Giải: a)

*

2

= x 0 3 2 3

lim

3

x 0

lim



b)

*

2

8x 11 3



Trang 9

=

3

1

2



=

3

lim

2

=



Vậy:

3

2

x 2

lim





)

a)

2

2 x

lim

5 x

 

 b)

3

x

lim

  

  c)

2 3

x

7 3x x lim

 

 

Giải: a)

2

b)

3

c)

3



)

a)

2

x

lim

x 5

  

 b) x 2

2x 3 lim

  



  c) x 2

x x 1 lim

 



  d)

2

2 x

lim

 

Giải: a)

b)

2



 

Trang 10

c)

2



d)

2

2 1



Bài 9: Tính các giới hạn sau: (Dạng   )

a)

2

b)

2

c)

2

Giải: a)

2

=

2

b)

2

c)

2

=

2

12

 

=

x

2

12

x

2 2

 

 





a)

b)

c)

2

Giải: a)

b)

c)

2

a)

3

2

x

lim

 

 b)

5 4 x

lim

  



 c)

2 x

lim

(1 x)

 



Trang 11

Giải: a)

3

2

b)

5

4



c)

6

2

a)

2

x

3

5x 7

lim

3x 2



 

  

 



b) x 1

2x 1 lim

5 5x







 c)

2

x ( 3)

lim

x 3



 

 d)

1

x ( ) 2

5 7x lim

2x 1



 





Giải: a)

2

x

3

5x 7 lim

3x 2



 

  

 



 



(Vì

2 x 3



 

  

 

,

2 x 3

 

  

 

và

2

3

) b) x 1

2x 1

lim

5 5x











,x 1lim(5 5x) 0

và x 1  5x 5  5 5x 0  ) c)

2

x ( 3)

lim

x 3



 





(Vì

2

x ( 3)lim (x 2x 3) 9 6 3 18 0



,x ( 3)lim (x 3) 0

và x  3 x 3 0  ) d)

1

x ( )

2

5 7x

lim

2x 1



 



 



(Vì

1

x ( ) 2

7 17



 

,

1

x ( ) 2

lim (2x 1) 0



 

và

1

2

)

Bài 1: Cho hàm số f(x) =

2

5x 1

2

x 9

lim

5x 1



79 23

a)

2 2

x 2

lim

5 2x



 (-3) b) x 2 2

4x( x 7) lim

 

9 2



) c)

3 1

x 3

lim (7x 3 2x )

 

(

142 27



) Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a)

2

x 2

4 x

lim

x 2

 



 (4) b)

2 2

x 3

lim

 

1

3) c)

2 2

x 2

lim





  (4) d)

3 2

x 2

lim

 

 

13 2



Trang 12

a) x 1 2

lim





1 2



) b) x 1

lim

x 1 x 2 x 2





4 3



a) x 0

1 2x 1

lim

2x



(

1

2) b) x 2

lim



8

9) c) x 6

x 3 3 lim

x 6



 

1

6)

d) x 1 2

x 8 3

lim



 

1

24) e)

2 2

x 1

lim



  (2) f) x 0

lim

x



(

5

a)

3

2

x 2

lim



7

54) b)

3 2

x 2

lim

 

7

30)

a)

2

2 x

lim

2 3x x

 

  (-4) b)

5 x

lim

  

 (0) c)

4 x

lim

(2x 3)

 

7

16)

a)

2

2 x

lim

 

2

2 x

lim

  

2 3



) c) x

1 2 x x lim

x 2

 

a)

(

5

2) b) xlim (3x x2 x 1)

( ) Bài 10: Tính các giới hạn sau:

a)

() b)

     

() c)

2

() Bài 11: Tính các giới hạn sau:

a)

3

2 x

lim

4 x

  

 ( ) b)

2

x

4 x lim

x 2

 



 ( ) c)

2 2 x

(2x 1) (3x 5) lim

  

a) x 1

2x 7

lim

x 1







 ( ) b) x 4

2x 5 lim

x 4







 ( ) c)

1 x 2

3 8x lim

4x 2



 

  

 





() d)

2

x ( 3)

lim

2x 6



 

III HÀM SỐ LIÊN TỤC:

1 Lý thuyết: * Hàm số liên tục tại 1 điểm:

Cho y = f(x) xác định trên khoảng K và x0K

a) Nếu x xlim f (x) f (x )0 0

thì f(x) liên tục tại x0

b) Nếu x xlim f (x) f (x )0 0

thì f(x) không liên tục tại x0 hay f(x) gián đoạn tại điểm x0

* Định lý: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c sao cho

f(c) = 0

* Phương pháp: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm

a) Loại 1: Hàm số có dạng:











f (x), neáu x x f(x)

f (x), neáu x x

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: Tính    

x xlim f(x) lim f (x) Lx x

Bước 3: + Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0

+ Nếu f2(x0) L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0

Trang 13

b) Loại 2: Hàm số có dạng:











f (x), neáu x x f(x)

f (x), neáu x x

Bước 1: + Tính  

x xlim f(x) lim f (x) Lx x

+ Tính f(x0) = f1(x0)

Bước 2: + Nếu f1(x0) = L1 thì hàm số liên tục bên phải tại x0

+ Nếu f1(x0) = L2 thì hàm số liên tục bên trái tại x0

+ Nếu L1 = L2 = f1(x0) thì hàm số liên tục tại x0

* Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x 0

* Phương pháp: Chứng minh PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)

Bước 1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a; b]

Bước 2: Tính f(a); f(b) và chứng minh f(a).f(b) < 0

Bước 3: Kết luận PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)

Chú ý: Nếu bài toán không cho khoảng (a; b) thì ta phải dự đoán khoảng này

2 Bài tập mẫu

Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

3

x 8 neáu x 2





 tại x0 = 2 b)

x 5 3 f(x)

2







Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(2) = 12

+

2

Suy ra: f(2) = lim f(x)x 2

 = 12 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2

b) TXĐ: D = R Ta có: + f(4) =

3

2

= 

 

 



x 4

x 5 3 6 3

lim

4 2

x 2 Suy ra: f(4) = lim f(x)x 4

3

2 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 4

a)

2

2x 1 1 neáu x 0





2





Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) = 2

x 0

2

(x 1)( 2x 1 1)



Suy ra: f(0) lim f (x)x 0

 Vậy: Hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 0 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(-8) = -9

+

2

Suy ra: f(-8) =xlim f (x)8

  = -9 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = -8

Trang 14

a)

2

khi x 3

6 2x











x 5

khi x 5









Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(3) = -2

+

2

+ x 3lim f (x) x 3lim (1 x) 2

Suy ra: x 3lim f (x) x 3lim f (x) f (3) 2

Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 3

b) TXĐ: D = R Ta có: + f(5) = 3

 

+

2

x 5lim f (x) lim[(x 5) x 5 3] 3

Suy ra: x 5lim



 f(x) =x 5lim



 f(x) = f(5) = 3 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 5

Bài 4: a) Cho hàm số

2

khi x 1





 Xét tính liên tục của hàm số trên R

b) Cho hàm số

2

khi x 1





Giải: a) TXĐ: D = R

* Với x 1: f(x) =

2

x 1



 là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của

nó Vậy nó liên tục trên các khoảng ( ;1)và (1; )

* Với x = 1: + f(1) = 5

+

2

Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( ;1)và (1; ) nhưng gián đoạn tại x0 = 1

b) * Trên (1; ), ta có: f(x) =

2

x 1

 là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của nó Vậy nó liên tục trên các khoảng (1; )

* Trên ( ;1), ta có: f(x) = 5 – 8x là hàm số đa thức nên nó liên tục trên khoảng ( ;1)

* Xét tại x0 = 1: + f(1) = 5 – 8.1 = -3

+

2

Suy ra: x 1lim f(x) lim f(x) f(1) x 1

.Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên R

Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục:

Trang 15

a)







f(x)





Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) = 2a

Hàm số liên tục tại x0 = 0  f(0) = lim f(x)x 0

1 2



1 4



b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 12 + (a2 – 1).1 – 1 = a2 – 1

+ lim f(x) lim(x 2) 3x 1 x 1

Hàm số liên tục tại x0 = 1 f(1) = lim f(x)x 1

  a2 – 1 = 3 a = 2

Bài 6: Tìm m để hàm số liên tục:

a)

3

 







Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(-1) = m + 1 + m2

+

2

+

x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim (mx x m ) m 1 m

Hàm số liên tục tại x0 = -1 f(-1) =x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim f(x)

 m2 + m + 1 = 3 m = 1; m = -2 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 3m + 2

2

+ x 1lim f(x) lim(3mx 2) 3m 2 x 1

Hàm số liên tục tại x0 = 1 f(1) =x 1lim f(x) lim f(x) x 1

 3m + 2 =

1 2



5 6



Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: a) x4 + x3 – 3x2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (-1; 1)

b) x4 – 6x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3) c) x3 – 7x – 5 = 0 có ít nhất hai nghiệm d) 2x5 – 7x2 + 3 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3)

Giải: a) Đặt: f(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + 1 Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 1]

*

f(1) 1







 Suy ra: f(-1).f(1) = -3 < 0 Vậy: PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-1 ; 1)

b) Đặt: f(x) = x4 – 6x2 + 1 Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 0] và [0; 3]

*

f(0) 1







 Suy ra: f(-1).f(0) = -4 < 0  PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

*

f(0) 1









 Suy ra: f(0).f( 3) = -8 < 0  PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3)

Vậy: PT f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3)

c) Đặt: f(x) = x3 – 7x – 5 Ta có: f(x) liên tục [-1; 0] và [0; 3]

Trang 16

*

f( 1) 1







*

f(3) 1









 Suy ra: f(0).f(1) = -5 < 0  PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3)

Vậy: PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm

d) Đặt: f(x) = 2x5 – 7x2 + 3 Ta có: f(x) liên tục [-4; 0], [0; 1] và [1; 3]

*

f(0) 3







*

f(0) 3









 Suy ra: f(0).f(1) = -6 < 0  PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 1)

*

f(3) 426









 Suy ra: f(-1).f(0) = -852 < 0  PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (1; 3)

Vậy: PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3)

a)

3





 tại x0 = 3 b)





c)

x 8 3 neáu x 1

1 x f(x)

6









 tại x0 = 1 d)

2





a)

2

3

 



2

 



c)









x 3 2 neáu x 1

x 1 f(x)

4









Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R:

a)

2





 b)

3







Bài 4: Định a để hàm số sau liên tục:

a)





8 2x 2 neáu x 2





Bài 5: Định m để hàm số sau liên tục:

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	2,54 MB