Lời giải một số câu đại số, số học đề thi chuyên toán Hà Nội 2017

Cho các số nguyên dương a, b, c.[r]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO CHUYÊN TOÁN HÀ NỘI 2017 Bài 2:

2a Cho p là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh: 2017 p2 chia hết cho 24

Giải:

Vì p 3 suy ra p là số lẻ nên p1p1 chia hết cho 8

Mặt khác p 3 nên p3k hoặc 1 p3k  với k là số nguyên dương 2

+) p3k 1 p1p 1 3 3k  k2 3.

+) p3k 2 p1p 1 3k1 3  k3 3.

Do đó  2 

1 3

8;3  1 p 1 24

2017p 2016 ( p 1) chia hết cho 24

2b Tìm các cặp số x, y nguyên dương sao cho 3 3

x y  xy (*)

Giải:

Ta viết lại (*) thành 1 1  2 2 

9

x y xy

x y

( )

1 1

4

x y

x y

x y



(*) có thể viết lại  3

xy  xy xy xy Suy ra  3

xy  x y

Vậy x + y có thể nhận các giá trị 3, 6, 9

Tuy nhiên x + y = 9 chỉ xảy ra khi x = y (Vô lý)

+) TH1: x + y = 3, suy ra x = 1, y = 2 hoặc x = 2, y = 1 Cả hai đều không thỏa mãn (*)

+) TH2: x + y = 6 , ta thấy chỉ có 2 cặp (2, 4), (4, 2) thỏa mãn

Vậy phương trình chó 2 nghiệm nguyên dương (2, 4) và (4, 2)

2c Cho các số nguyên dương a, b, c Chứng minh rằng 2

2

a b  ab c không phải là số nguyên tố

Giải:

TH1: Nếu 2

ab c không là số chính phương suy ra 2

2

a b  ab c không phải là số nguyên dương nên không phải là số nguyên tố

ab c k ab kc kc

Đặt k c m ab mn

k c n

 



  

Khi đó a b 2 ab c 2   a b 2k     a b m n

+) Giả sử (a, m) = d, khi đó ad a ,1 md m a m 1( ,1 1) 1 a b1 m n1

Ta có n a1 n a t1  b t m 1    a b m n da1m t1 dm1a t1 dtm1a1

Vậy a b 2 ab c 2 là hợp số

(Theo lời giải của thầy Cao Dũng)

Câu 3: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2

3

x y z  Chứng minh rằng 3

yz xz xy 

Lời giải

Từ giả thiết

3

x y z

   

6 2 yz 6 y z  3 x

6 2 xz 3 y , 6 2 xy 3 z

Khi đó ta có

x y z

Bunhiacopxki

   