ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi : Toán 7

Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A.. Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA.[r]

TRƯỜNG THCS ĐẠI TỰ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi : Toán 7

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1( 2đ): Tìm các số x, y, z biết.

a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7 x 5x 3 c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48

Bài 2:(2 đ)

a) Thực hiện phép tính:

2 3 4 9 5 7 25 49 A

125.7 5 14

2 3 8 3



 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Câu 3:(1,5đ)

a/ Tìm số dư khi chia 22011 cho 127 b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6

Câu 4( 2,5 đ)

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 1 x 2   x 2013 x 2014

b, Cho các số a,b,c nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng ba số

A ab bc ca B a b c C abc       nguyên tố cùng nhau.

c, Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn

3

x y 

Câu 5:(2đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ về phía ngoài tam

giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A Từ E và F kẻ đường vuông góc

EK và FN với đường thẳng HA.

a/ Chứng minh rằng: EK = FN.

b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện của tam giác ABC để EF = 2AI.

-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN: TOÁN 7

========================================

1

(2đ)

a 0,5 (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0.5

b

0,5đ

9 7 x 5x 3

Điều kiện: x 

3 5

=>







Vậy x = 1 hoặc x = 3

0.5

c

0,5đ

x - 3 x = 0 Điều kiện x  0

=> x x  3

= 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

d

0,5đ 12x = 15y = 20z => 5 4 3

=>

48 4

x y z x y z 

2

(2đ)

a

1đ

b

1đ

a)

 

10

10 3

12 4

2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7

2 3 2 3 5 7 5 2 7 125.7 5 14

2 3 8 3

2 3 3 1 5 7 1 7

2 3 3 1 5 7 1 2

5 7 6

2 3 2

2 3 4 5 7 9









b)

3n2 2n2 3n 2n

   = 3n2 3n 2n2 2n

=3 (3n 2 1) 2 (2n 2 1)

=3 10 2 5 3 10 2n n n n1 10

= 10( 3n -2n-1) Vậy 3n2 2n2 3n 2n

    10 với mọi n là số nguyên dương

0,5

0,5

0,5

0,5

3

(1.5

đ)

a,

0,75đ

Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402  1 (mod31)

=> 22011  2 (mod31) Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2 0,75

b

0,75đ

Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)

Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì

4a + a + b chia hết cho 6

0,25 0,25 0,25

4

25

a A(x12014 x)   x1006 1007 x 2013 2012 1  

=2013.2014:2=2027091

0,5

1 Vì a,b,c nguyên tố cùng nhau, suy ra (a,b,c)=1 a

1 đ Đặt (A,B,C)=d  

1

d  , ta cần chứng minh d=1.

Do A d  aAd a b abc ca d2   2

Mà abc d  a b ca d2  2  a b c d2   (1)

Ta lại có a a b c d2     a3a b c d2   (2)

Từ (1) và (2) suy ra a d3  a d Chứng minh tương tự ta được b c d;   a b c d; ;   a b c, ,   d d 1 Vậy (A,B,C)=1.

B 1đ

6x 4xy6y 9 9 0   2 3 2x  y  3 3 2 y  9 0

2x 3 2  y 3 9

Do 2x  3 1 và 2x-3 là ước của 9 nên.

Nên 2x-3  1,1,3,9 Vậy (x,y)= (2,6); (3,3); (6;2).

1,0

5

(2đ)

a

1.0

Chứng minh KAE = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFA = HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN

0,5 0.5

b

1đ

Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI =

EF 2

Mà AI =

EF

2 (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE và IAF = IFA

=> EAF = 900 => BAC = 900 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A

0,5

0,5

Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa

K I

H

E

C B

A