Chuyên đề Vật lý: Phương pháp năng lượng trong bài toán tĩnh học

So với phương pháp động lực học thông thường thì phương pháp này đơn giản hơn trong các bài tập xác định vị trí cân bằng và các bài toán dao động của vật hoặc hệ vật.. Đặc biệt là các [r]

Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải các bài tập tĩnh học, tôi nhận thấy việc tiếp cận các bài toán này bằng phương pháp năng lượng khá hữu ích, đơn giản

và chặt chẽ hơn nhiều

Tuy nhiên, có hai vấn đề khó khăn khi tiếp cận bằng phương pháp này, đó là: thứ nhất học sinh cần tiếp cận trước các kiến thức về công và năng lượng, thứ hai là cần phải bổ trợ cho học sinh những kiến thức toán như đạo hàm, cực trị hàm số

Mặc dù vậy, những kiến thức đó là bắt buộc phải có đối với một học sinh giỏi

Do vậy khi trình bày chuyên đề này, tác giả xem như học sinh đã có đủ các kiến thức cần thiết để có thể tiếp cận bài toán

Với những ưu điểm của phương pháp và hiệu quả thực tế trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi xin giới trình bày lại chuyên đề “ Giải bài toán tĩnh học và dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng”

II Phạm vi đề tài

- Giải bài toán tĩnh học bằng cách sử dụng hàm thế năng và công ảo

- Giải bài toán dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng

III Đối tượng áp dụng

- Học sinh giỏi THPT

Tác giả

NỘI DUNG PHẦN I SỬ DỤNG HÀM THẾ NĂNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TĨNH

HỌC VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I- CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Lực thế

a- Lực thế là lực mà công của nó không phụ thuộc vào dạng của đường đi khi điểm đặt của nó dịch chuyển từ điểm đầu đến điểm cuối

Công của lực thế thực hiện trên một đường cong kín bằng không

b- Ví dụ : Lực hấp dấn, lực đàn hồi, lực Coulomb, lực quán tính li tâm… Trường lực xuyên tâm là trường lực thế

2- Thế năng

a - Giả sử P0 là một điểm cố định, chọn tuỳ ý, có toạ độ x0, y0, z0 trong một trường lực thế, và P là một điểm bất kì có toạ độ x, y, z trong trường đó Công lực thế thực hiện để dịch chuyển một chất điểm từ P đến P0 là :

x0, y0, z0 là các hằng số, và công A là hàm của x, y và z :

A( P → P0 ) = U ( x, y, z ) (1-2) Hàm U được gọi là hàm thế năng của chất điểm trong trường lực thế Thế năng của chất điểm tại P0 bằng 0

Nếu ta thay đổi quy ước và chọn một điểm cố định khác P’0 làm điểm có thế năng bằng 0 ( điểm gốc thế năng ), ta có :

U’ = A( P → P’0 ) = A( P → P0 ) + A( P0 → P’0 ) (1-3)

Vì P0 và P’0 là những điểm cố định, nên A( P0 → P’0 ) = const, và U’ = U + const

Như vậy thế năng được xác định sai khác một hằng số tuỳ theo điểm gốc mà

ta chọn, tại đó thế năng được quy ước bằng không Cách chọn điểm gốc tuỳ theo

sự thuận tiện của việc giải những bài toán cụ thể Đối với trường lực xuyên tâm,

người ta chọn điểm gốc thế năng là một điểm ở vô cực ( nếu là lực đẩy ) hoặc ở ngay tâm lực ( nếu là lực hút)

Đối với trọng trường đều ở lân cận mặt đất, người ta hay chọn gốc thế năng trên mặt đất, khi đó hàm thế năng được xác định một cách đơn trị

Chọn gốc thế năng tại mặt đất U(0) = 0 thì : U = mgz (1-6)

Trong đó : r là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay

Khi giải các bài toán ta nên chọn U( r = 0 ) = 0, Khi đó C = 0

Là điện thế do hệ điện tích gây ra tại điểm đặt qi

4- Chuyển động dao động của vật trong trường lực thế

Xét vật chuyển động trong trường lực thế Cơ năng toàn phần của vật :

Vì động năng là đại lượng dương do

vậy khi chuyển động năng lượng toàn phần

phải luôn lớn hơn thế năng Chuyển động chỉ

xảy ra khi E > U(x)

Nếu thế năng có đồ thị như hình vẽ thì

chuyển động chỉ có thể xảy ra ở miền AB

hoặc ở bên phải của điểm C ( vì ở các

Những điểm mà ở đó E = U(x) ( điểm A, B, C ) xác định biên của chuyển động gọi là điểm dừng ( hay điểm chết ) vì ở các điểm đó vận tốc bằng không Chuyển động chỉ xảy ra trong miền không gian giới hạn giữa hai điểm dừng được gọi là dao

Năng lượng toàn phần

động ( miền AB ) Thời gian vật chuyển động từ x1 đến x2 và ngược lại gọi là một chu kì dao động Theo công thức (1-14) ta sẽ có :

2

1

( ) ( )

2 2

( )

x E

x E

d x T

=

−

Trong đó x1(E), x2(E) chính là nghiệm của phương trình U(x) = E khi ta cho E

5- Hàm thế năng trong bài toán nghiên cứu các dao động nhỏ

Ta xét dao động của hệ có một bậc tự do q Vị trí cân bằng của hệ là vị trí

mà ở đó thế năng U(q) có giá trị cực tiểu Sự lệch khỏi vị trí cân bằng dẫn đến sự

Lấy đạo hàm theo t : m x’ x” + k x x’ = 0

Nghiệm phương trình là x = A sin ( t +  ) Vật dao động điều hoà

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG CÁCH TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM THẾ NĂNG

1 - Xác định hàm thế năng U = U(x) của vật (hoặc hệ vật)

- Tìm cực trị của hàm thế năng Nếu vật ở trạng thái cân bằng bền thì thế năng U cực tiểu Vật ở trạng thái cân bằng không bền thì thế năng U cực đại Còn ở trạng thái cân bằng phiếm định thì U = const Như vậy:

2- Đối với các bài toán nghiên cứu dao động tử điều hoà :

- Xác định vị trí cân bằng bền x0 của dao động tử

- Xét khi có sự lệch nhỏ khỏi vị trí cân bằng, khai triển hàm thế năng quanh

- Biến đổi phương trình Đưa phương trình về dạng

x " + 2x = 0

- Viết nghiệm của phương trình và kết luận vật dao động điều hoà

So với phương pháp động lực học thông thường thì phương pháp này đơn giản hơn trong các bài tập xác định vị trí cân bằng và các bài toán dao động của vật hoặc hệ vật Đặc biệt là các bài toán xác định mức vững vàng của cân bằng thì phương pháp này tỏ ra chiếm ưu thế

1 Giải các bài toán tĩnh học

Bài toán 1: Một khung sắt hình tam giác ABC vuông góc, với góc nhọn B =

300 được đặt thẳng đứng, cạnh huyền nằm ngang Hai hòn bi nối với nhau bằng thanh cứng, trọng lượng không đáng kể, có thể trượt không ma sát trên hai cạnh góc vuông

Bi I trên cạnh AB có trọng lượng P1, bi J trên cạnh AC trọng lượng P2

1 Khi hệ thống đã cân bằng, tính góc  =  AIJ

2 Cân bằng là bền hay không bền

Từ (1) và (2) ta được :

2 2

1 3 2

Vì U()min nên cân bằng là bền

* Khi P2 = 3P1 , thay vào (3) :

tg  = 3 3    790

Vì U()min  cân bằng là bền

Bài toán 2 : Thanh nặng đồng chất AB dài 2a tựa trên đường cong có dạng

nửa đường tròn bán kính R Bỏ qua mọi ma sát

1 Hãy xác định vị trí cân bằng của thanh

2 Cân bằng là bền hay không bền

Thay cos2 = 2cos2 - 1 ta được: 4Rcos2 - acos – 2R = 0



R

R a

a

8

32cos

2 2

0

++

** Cuối cùng ta hãy tìm điều kiện để thoả mãn phương trình (2)

+ Từ điều kiện cos0  1 ta được:

(8R – a)2 > a2 + 32R2  a < 2R (4) + Muốn cho thanh tựa lên rìa thì a > Rcos0

Bài toán3 : Hai đầu của một thanh nặng đồng chất có chiều dài l trượt không

ma sát theo Parabol y = ax2 ( hình vẽ ) Hãy xác định vị trí cân bằng của thanh Cân bằng là bền hay không bền

A (x 1 , y 1

l

•

G

Bài toán 4 : Một tấm vuông đồng chất có thể quay trong mặt phẳng thẳng

đứng quanh trục đi qua gốc 0 Trọng lượng của tấm bằng P, độ dài các cạnh bằng a Sợi dây dài l một đầu buộc vào góc A Đầu kia vắt qua ròng rọc nhỏ B đặt cách điểm

O theo đường thẳng đứng một khoảng a và đeo tải trọng Q =

2

2 P Hãy xác định các vị trí cân bằng và nghiên cứu tính ổn định của chúng

l a

2 sin 2 2

2

7  hay 3 = -

4

3 cos(

2

sin 2

2 2

P

< 0  Đường cong biểu diễn U = f() quay mặt

lõm xuống dưới  cân bằng không bền

2



d

U d

> 0  đường cong biểu diễn U = f()

quay mặt lõm lên trên  cân bằng bền

Bài toán 5 : Một quả cầu nhỏ, khối lượng m, có thể trượt không ma sát trên

vòng tròn cứng bán kính R Chất điểm này được gắn cố định vào đầu mút của một

lò xo đàn hồi không khối lượng, chiều dài tự nhiên l0 < 2R, độ cứng k, còn đầu mút kia của lò xo được gắn với điểm A của vòng tròn Toàn bộ được xếp thẳng đứng (hình vẽ) Hãy xác định các vị trí cân bằng tự do của hệ và nghiên cứu tính ổn định của chúng

− < 1 thì a + b < 1 và chỉ còn tồn tại hai vị trí cân

bằng ứng với 1 = 0 và 2 = arccos

a b

Bài toán 6 : Thanh OA quay quanh một trục thẳng đứng OZ với vận tốc góc

 AOZ=  không đổi Một hòn bi nhỏ, khối lượng m, có thể trượt không ma sát trên thanh OA và được nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng k và có chiều dài

tự nhiên l0

1 Tìm vị trí cân bằng của viên bi và điều kiện để có cân bằng

2 Cân bằng là bền hay không bền?

mg kl l

Vì mgcos < kl0 nên điều kiện để có cân bằng cho ta :

m2sin2 - k < 0   < 1

sin

k m

2

2

d U

dl = k - m

2sin2 > 0  Cân bằng là bền

Bài toán 7 : Một hạt cườm được xâu vào một vòng kim loại bán kính R, vòng

này quay xung quanh một đường kính thẳng đứng với vận tốc góc không đổi  Chứng tỏ rằng với vận tốc đủ lớn, ta có thể quan sát thấy sự tồn tại của một vị trí cân bằng tương đối của hạt cườm ứng với một góc c khác không với đường thẳng đứng

ở đây ta bỏ qua vai trò của ma sát

Bài giải:

Gọi  : góc hợp bởi bán kính nối vật và phương thẳng đứng

Xét trong hệ quy chiếu phi quán tính gắn với vòng và quay với vận tốc góc  quay trục thẳng đứng

Thế năng của hạt cườm: U = - mgRcos -

→ Vật ở trạng thái cân bằng không bền

+ Với  > 0 thì cos < 1 : vật có ba vị trí cân bằng

1 = 0 ; 2 =  và 3 = arccos

2 0

d U

d  = mgR

0 0

2 Các bài toán dao động

Bài toán 1: Hãy xác định chu kì T0 của các dao động nhỏ của một chất điểm

M, khối lượng m, bị buộc phải di chuyển không ma sát trên một đường thẳng nằm ngang, dưới tác dụng của một lò xo (k, l0) mà đầu mút còn lại được cố định tại điểm

A ở độ cao a > l0 ( hình vẽ )

Bài giải:

Trước hết ta có nhận xét là phản lực Rcủa giá đỡ và trọng lượng m g có một công suất bằng không Ta thấy rằng cơ năng CM= CK+ CP được bảo toàn khi xét tới thế năng của lò xo :

Vì x << a Khai triển theo tỉ số x/a và giữ lại đến số hạng cấp hai ta được :

Khai triển và giữ lại số hạng gần đúng bậc

hai của tỉ số x/a ta được :

Vật dao động điều hoà với chu kì :

Bài toán 2: Trên đỉnh một bán cầu bán kính R có đặt một quả tạ con chiều

dài l (hình vẽ) Tìm chu kì dao động nhỏ của hệ này

Bài giải:

Xét một sự dịch chuyển nhỏ của quả tạ Gọi  góc nghiêng của quả tạ so với vị trí ban đầu và B là điểm tiếp xúc mới của quả tạ với mặt cầu Hơn nữa, vì góc  là nhỏ, có thể coi quả cầu chuyển động theo một cung lân cận bán kính :

gR l gR l

2

l T

gR

 



IV CÔNG ẢO VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TĨNH HỌC

Muốn cho một hệ chất điểm có các lực liên kết hoàn hảo nằm cân bằng thì điều kiện cần và đủ là tổng các công ảo của các ngoại lực đặt vào hệ phải bằng 0

3 Áp dụng giải bài toán tĩnh học

Bài toán 1: Một thanh đồng chất khối lượng m, chiều dài L đứng cân bằng nhờ tác

dụng của lực 𝐹⃗ như hình vẽ Bỏ qua mọi ma sát Xác định góc hợp bởi thanh và phương thẳng đứng khi nằm cân bằng

Hướng dẫn:

Thanh chịu tác dụng của 4 lực: 𝐹⃗; 𝑁⃗⃗⃗1; 𝑁⃗⃗⃗2 và 𝑃⃗⃗

Nhận xét: Với các dịch chuyển ảo ta thấy

+ Đầu A chỉ dịch chuyển theo phương thẳng đứng, 𝑁⃗⃗⃗1 không sinh công

+ Đầu B chỉ dịch chuyển theo phương ngang, 𝑁⃗⃗⃗2 không sinh công