Chuyên đề Toán: Vận dụng giới hạn dãy số trong giải phương trình hàm

Đề tài “Vận dụng giới hạn dãy số trong giải phương trình hàm” được chọn để giới thiệu với các thầy cô giáo và các em học sinh những kinh nghiệm của chúng tôi khi giảng dạy chủ đề[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

VẬN DỤNG GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

NGƯỜI THỰC HIỆN: VÕ TIẾN DU

TỔ: TOÁN

MỤC LỤC

Trang

Mục lục……… 1

Các kí hiệu và cụm chữ cái viết tắt của chuyên đề……… 2

Phần I Mở đầu……… 3

1.1 Lí do chọn đề tài……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 3

1.4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu………

3

1.5 Phạm vi nghiên cứu……… 4

1.6 Phương pháp nghiên cứu……… 4

1.7 Cấu trúc của chuyên đề………

4

Phần II Nội dung……… 5

2.1 Các kiến thức cơ sở……… 5

2.1.1 Dãy số……… … 5

2.1.2 Hàm số liên tục……… 6

2.1.3 Ánh xạ……… 7

2.1.4 Tính trù mật……… 8

2.2 Vận dụng giới hạn dãy số trong giải phương trình hàm……… 9

Phần III Kết luận……… 20

Tài liệu tham khảo……… 21

CÁC KÍ HIỆU VÀ CỤM CHỮ CÁI VIẾT TẮT CỦA CHUYÊN ĐỀ

IMO International Mathematical

Olympiad

Kì thi Olimpic toán quốc

tế VMO VietNam Mathematical

Olympiad

Olimpic toán học

trẻ IMO International Mathematical

Olympiad

Tuyển tập các bài toán Olympic toán quốc tế

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực hay và khó của toán sơ cấp.Trong các kì thi Olympic Toán học Quốc gia, Khu vực và Quốc tế thường xuyên xuất hiện các bài toán phương trình hàm Các bài toán này thường là khó

và để giải quyết nó chúng ta phải sử dụng kết hợp rất nhiều kiến thức toán học Trong việc dạy học về phương trình hàm thì trước tiên ta phải dạy học sinh nắm vững các tính chất cơ bản về hàm số, một số phương trình hàm cơ bản, các phương pháp giải và có sự vận dụng thích hợp Tuy nhiên khó khăn lớn nhất của giáo viên khi dạy phần này là làm sao để học sinh hứng thú học và có khả năng vận dụng các phương pháp vào giải các bài toán về phương trình hàm, do đó vấn đề đặt ra

là cần trang bị cho các em những kiến thức gì? Cần bắt đầu từ những bài toán nào? Cần những dấu hiệu của các bài toán như thế nào thì dùng phương pháp tương ứng? Với mong muốn học sinh có thể tiếp cận được các cuộc thi khu vực

và Toán quốc tế, tôi xin mạn phép trình bày sâu về một mảng nhỏ là vận dụng giới hạn dãy số trong giải phương trình hàm

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài “Vận dụng giới hạn dãy số trong giải phương trình hàm” được chọn

để giới thiệu với các thầy cô giáo và các em học sinh những kinh nghiệm của chúng tôi khi giảng dạy chủ đề phương trình hàm trong chương trình THPT chuyên, và đồng thời thông qua đề tài này chúng tôi muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của các phương pháp này trong các bài toán giải phương trình hàm xuất hiện trong các kì thi Quốc tế, khu vực và Olympic quốc gia của một số nước những năm gần đây Các bài toán phương trình hàm trong các kì thi học sinh giỏi olympic thường là những bài tập khó, các bài tập chúng tôi đưa ra đều là các đề thi Olympic Quốc gia, Quốc tế và khu vực Thông qua đó, tôi mong muốn đề tài này góp một phần nhỏ để việc dạy phần phương trình hàm một cách hiệu quả nhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đáp ứng yêu cầu về việc học tập và nghiên cứu cho học sinh trong năm học 2020 – 2021, góp phần nâng cao số lượng và chất lượng HSG môn toán tại các kỳ thi: HSG vòng tỉnh, HSG đồng bằng duyên hải bắc bộ, HSG QG lớp 12

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là học sinh các lớp chuyên Toán 10, 11, 12; đội tuyển thi chọn HSG lớp 12 vòng tỉnh, đội tuyển HSG tham dự kỳ thi chọn

HSG QG lớp 12 môn Toán học của các trường THPT Chuyên Ngoài ra còn có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên có nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về phương trình hàm

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu chuyên về phương trình hàm đặc biệt là các tài liệu liên quan đến số dãy số và các tạp chí trong và ngoài nước; tài liệu từ Internet

- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh các lớp chuyên toán)

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

7 Cấu trúc của chuyên đề

Chuyên đề ngoài các phần danh mục viết tắt, mục lục, tài liệu tham khảo thì chuyên đề bao gồm 3 phần chính như sau:

2.1.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số ( )u n được gọi là một dãy số tăng nếu ta có u n+1u n với mọi *

Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới,

tức là tồn tại các số m, M sao cho

Mọi dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên đều hội tụ Mọi dãy đơn điệu giảm và

bị chặn dưới đều hội tụ

Hệ quả Nếu dãy số ( )u n đơn điệu tăng và không bị chặn trên thì limu = + n Nếu dãy số ( )u n đơn điệu giảm và không bị chặn dưới thì limu = − n

2.1.1.5 Nguyên lý kẹp: Nếu ba dãy số ( )u n , ( )v n , (w )n thỏa mãn điều kiện

wn u n v n với  n>n 0 và limv n = lim wn =a thì limu n =a

2.1.1.6 Điểm bất động của hàm số: Cho hàm số f D: →D (D  ) Nếu tồn tại

2.1.1.8 Định lí LAGRANGE Nếu f x( ) liên tục trên đoạn  a b; và có đạo

hàm trên khoảng ( )a b; thì tồn tại hằng số c( )a b; sao cho

f x  c ( với c là hằng số) và phương trình f x( )=x có nghiệm duy nhất là

 D Khi đó dãy u n được xác định bởi 1

→ = thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0

Vậy f x( ) liên tục tại x0

0 lim ( ) lim ( ) ( )

Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f x( ) được gọi là gián đoạn tại điểm x0

Vậy f x( ) gián đoạn tại điểm x0 khi không tồn tại

2.1.2.2 Định lí Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b Khi đó:

i) f x( ) bị chặn trên đoạn [ ; ]a b ,nghĩa là tồn tại số M 0 sao cho:

thì f x( ) = ax x (với a=const tuỳ ý)

* Hệ quả: Nếu f x( ) liên tục trên (hoặc +) và thỏa mãn:

Hàm số f x( ) được gọi là giảm ngặt trên ( )a b; nếu với mọi x x1 , 2 ( )a b; mà

a) Nếu f x( ) liên tục và đơn ánh thì f x( ) đơn điệu thực sự

b) Nếu có công thức của f x( ) trên tập X  và X trù mật trong thì ta cũng có công thức của f x( ) trên

2.2 VẬN DỤNG GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Bước đầu ta hãy làm quen với một bài toán sau:

BT1 (Mở đầu) Tìm tất cả các hàm số f : → thỏa mãn các điều kiện:

BT2 (Chọn đổi tuyển QG Quảng trị 2019)

Tìm tất cả các hàm số f : → thỏa mãn các điều kiện:

( ) ( ) ( )2

5 5 25

f x f x xf x

 = − + (1) Thay y bởi −x, từ a) ta có:

f x =kx Từ đó, ta có cách tiếp cận thường thấy là chứng minh f( )2x =4f x( ) Để vận dụng được giới hạn của dãy số ta phải chứng minh được ( ) ( ) ( )

0

0 0

phương trình đầu bài ta cho x→ y+ thì ta sẽ có điều ta cần

Giải: Thay x bởix+y ta được

f x =kx  x hàm này thỏa mãn yêu cầu đề bài

BT5 (Chọn đội tuyển QG ĐH Vinh, 2012)

với mọi số thực không âm x.

Giải: Do f liên tục trên 0, +) nên nó cũng liên tục trên  0,1 Từ đó suy ra tồn tại các số a b ,  0,1 sao cho

n n

a

f  + −  =M  n

Trong đẳng thức này cho n → +, ta được f ( )1 =M. Chứng minh tương tự

ta cũng có f( )1 =m. Do đó M =m Điều này chứng tỏ f là hàm hằng trên  0,1

Giải sử f x( )c,  x  0,1 Khi đó, ta có thể viết lại phương trình ban đầu dưới dạng

Cho n → + ta thu được f x( ) c. Hàm này thỏa mãn yêu cầu bài toán

BT6.(Tạp chí epsilon, 2015) Tìm tất cả các hàm số liên tục f : → thỏa mãn điều kiện

f x+ f y+z + f y+ f z+x f z+ f x+ y =

(4) với mọi bộ số thực x y z, ,

Giải: Dễ thấy f x ( ) 0là một nghiệm của phương trình trên nên ta chỉ cần xét hàm f không đồng thời bằng 0

1 ( ) 0, ,

f f x −x = − f x  x

Do f không đồng nhất bằng 0 nên tồn tại x0 sao cho f x( )0 0

Xét dãy ( )a n được xác định bởi

f x = −  x Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là f x =( ) 0 và ( ) .

Hãy tìm số thực  lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập F, ta đều

có: f x( )  x,  x +.

Nhận xét: Nhìn dạng này ta dễ dàng nhận ra phải tìm một hàm phù hợp với bài

toán rồi sau đó đánh giá giá trị của số thực bằng dãy số

x

f x   x (6) Xét dãy số (n) như sau:

2

2 1 1

x g x x g x x

trong đó a b, là các hằng số số thực Bây giờ, thay y = −1 vào phương trình

( ) ( )2 ( 1) , .

f x = f x − f x+ + +a b  x (10) Dựa vào phương trình (10), ta sẽ chứng minh quy nạp theon rằng

1 1 , ,

2n

f x =ax+c   −x +

Cho n → +, ta được f x( )=ax c+   , x 0.

( )= +   ( )= +  

Vì hàm số liên tục tại mọi điểm nên ( ) ( )

Phần III KẾT LUẬN

Trong chuyên đề “ Vận dụng giới hạn dãy số trong giải phương trình hàm” tác giả đã hệ thống bài tập đặc sắc nhất liên quan đến nội dung của chuyên đề, thông qua đó tạo được một sự hứng thú và tạo ra một phương pháp đường mòn trong giải quyết về bài toán giải phương trình hàm Mặt khác, các bài toán được tác giả giới thiệu trong chuyên đề được sắp xếp tăng dần mức độ tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc có thể hiểu rõ vấn đề Mặc dù rất cố gắng nhưng cũng không thể tránh khỏi những sơ suất có thể gặp phải khi trình bày lời giải các bài toán này Rất mong những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 2001

[2] Phan Đức Chính, Lê Đình Thịnh, Phạm Tuấn Dương,Tuyển chọn các

bài toán sơ cấp, Tập 1, Đại số, NXB Đại học và THCN, 1977

[3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Các chuyên đề bồi dươngx học sinh giỏi

toán, Trường PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh, 2011

[4] Trần Nam Dũng (chủ biên), Tạp chí epsilon, 2015

[5] Titu Andreescu, Iurie Boreico, Functional Equatinos, Electronic Edition,

2007

[6] C.G.Small ,Functional equations and how to slove them, Springer, 2007 [7] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

[8] Tuyển tập gặp gỡ toán học việt nam 2020

[9] Các nguồn tài liệu từ internet