Bài toán chứng minh đẳng thức Vectơ

Đặc biệt, trong bài viết này một học sinh lớp 10B2 trường THPT Lê Lợi đã đề xuất một cách giải rất độc đáo.. Nhận xét 1:[r]

VỀ MỘT BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ

ThS Đặng Quang Thanh

GV Trường THPT Lê Lợi

Dưới đây là một bài toán hay có nhiều lời giải Đặc biệt, trong bài viết này một học sinh lớp 10B2 trường THPT Lê Lợi đã đề xuất một cách giải rất độc đáo!

Nhận xét 1:

Rất nhiều học sinh hay nghĩ tới việc “chèn điểm” Vấn

đề đặt ra là chèn điểm như thế nào cho hiệu quả ?

Một đẳng thức dễ thấy đối với ABC (một đường

gấp khúc khép kín) là

0

ABBCCA

Do vậy ta có cách giải dưới đây

Cách giải 1:

Ta có AM BNCPABBM  BCCN  CAAP

ABBCCA  BM CNAP

BMCNAP (do ABBCCA0) (1)

Đến đây ta cần đưa ba vectơ BM CN AP, , về thành ba vectơ khép kín, có hai hướng giải quyết như sau

Hướng 1: (Dành cho học sinh mới học hết bài tổng và hiệu của vectơ)

Giả thiết của bài toán có trung điểm của các cạnh nên

có thể nghĩ tới các đường trung bình

Vì BMNP CNPM APMN, , là các hình bình hành nên

BM PN CNMP APNM

Vậy BMCNAPNMMPPN0 (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Hướng 2: (Dành cho học sinh đã học bài tích của một số với một vectơ)

Vì M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB, , nên 1 , 1 , 1

BM  BC CN  CA AP AB

0 (3) 2

BM CNAP ABBCCA 

Từ (1) và (3) ta có điều phải chứng minh

M

N P

A

Bài toán: Cho tam giác Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Chứng

Nhận xét 2:

Trong Hướng 1 của Cách giải 1, xuất hiện các

hình bình hành BMNP CNPM APMN, , nên có thể

nghĩ đến quy tắc hình bình hành

Cách giải 2:

Vì BMNP CNPM APMN, , là các hình bình hành nên

AM ANAP BNBPBM CPCMCN

Do đó, AM BNCPBM CM  ANCN  APBP

Lại vì M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB, , nên

BMCM  ANCN APBP

Vì thế AMBNCP0

Nhận xét 3:

Các vectơ AM BN CP, , tạo bởi ba đường trung tuyến

của tam giác ABC nên có thể nghĩ đến sử dụng tính

chất liên quan đến trọng tâm tam giác:

Điểm G là trọng tâm của ABC khi và chỉ khi

0

GA GB GC  

Cách giải 3: (Một học sinh lớp 10 B2 quên ghi tên đề xuất)

Gọi G là trọng tâm của ABC Ta có AMBNCPGMGA  GNGB  GP GC 

 

(4)

GM GN GP GA GB GC

GM GN GP

Vì BMNP CNPM APMN, , là các hình bình hành nên AM đi qua trung điểm của PN, BN đi qua

trung điểm của PM, CP đi qua trung điểm của MN Do đó, G cũng là trọng tâm của MNP  Dẫn đến GMGNGP0 (5)

Từ (4) và (5) ta có điều phải chứng minh

Lời bình: Đây là cách giải rất bất ngờ, ít người nghĩ tới Rất đáng khen học sinh có ý tưởng này.

Cách giải 4: (Dành cho học sinh đã học bài tích của một số với một vectơ)

Gọi G là trọng tâm của ABC Ta có

AM   GA BN   GB CP  GC

0

2

AM BNCP  GA GB GC  

G

M

N P

A

G

M

N P

A

Nhận xét 4:

Giả thiết của bài toán có các trung điểm nên có thể nghĩ đến sử dụng tính chất sau :

Cho điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB Khi đó, với mọi điểm O ta đều có

2

OA OB  OI

Cách giải 5: (Dành cho học sinh đã học bài tích của một số với một vectơ)

Áp dụng tính chất trên ta có

AM  ABAC BN  BCBA CP CA CB

Do đó,

0

AM BNCP ABBA  BCCB  CAAC 

Nhận xét 5:

Vì yêu cầu chứng minh tổng của các vectơ bằng 0 nên ngay từ đầu ta có thể nghĩ đến việc chuyển các vectơ AM BN CP, , thành các vectơ khép kín bằng cách dựng các vectơ bằng các vectơ ấy

Cách giải 6:

Dựng hình bình hành BMQN Khi đó MNQC là

hình bình hành và do đó APCQ cũng là hình

bình hành Vì vậy, ta có BNMQ CP, QA

Vậy thì AMBNCPAMMQ QA 0

Kết luận: Các bạn thấy đấy, từ một bài toán tưởng chừng khó khăn nhưng nếu chịu khó suy nghĩ

ta có thể tìm được rất nhiều lời giải Hy vọng sớm nhận được nhiều trao đổi từ các bạn !

I

O

M

N P

A

M

N P

A

Q