bài tập ôn tập môn toán trong thời gian học sinh nghỉ

Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).. Các phương pháp tìm nguyên hàm [r]

Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I, Nguyên hàm A- Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số xác định trên Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên

nếu:

— Nếu là một nguyên hàm của trên thì họ nguyên hàm của hàm số trên là:

2 Tính chất: Nếu là 2 hàm số liên tục trên và thì ta luôn có:

3 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của

những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)

2 Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Dạng toán 1 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Dạng toán 2 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Định lý: Cho và là hàm số có đạo hàm liên tục thì

m n

n

PP n

1( ln )

 I   f(cos ) sinx  xdx  PP  t cosx dt  sinxdx

 I   f(sin ) cosx  xdx  PP  t sinx dt cosxdx

 I   f(sinx cos ) (sinx  x cos )x dx  PP  t  sinx cos x

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa khai triển

2 Tích các hàm mũ khai triển theo công thức mũ

3 Chứa căn chuyển về lũy thừa

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin khai triển theo công thức tích thành tổng

Phương Pháp

Dạng toán 3 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Dạng toán 4 TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm với và là các đa thức không căn

00 khi

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và phần còn lại Nghĩa là nếu có

có thì chọn đa thức và còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn

lượng giác,…

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

Phương Pháp

Phương pháp giải:

— Nếu bậc của tử số bậc của mẫu số Chia đa thức

— Nếu bậc của tử số bậc của mẫu số Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số

NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 16 Cho hàm số ( )f x 2x sinx 2 cosx Một nguyên hàm ( )F x của ( ) f x thỏa (0) F  là: 1

A x2cosx2 sinx 2 B x2 cosx2 sinx  2

C 2cosx 2 sinx D x2 cosx2 sinx 2

Câu 17 Một nguyên hàm của hàm số f x( ) tan2x là:

A

3

tan3

Câu 18 Một nguyên hàm của hàm số f x( ) cos4x sin4x là:

Câu 21 Nguyên hàm của hàm số: y cos sin2x x là:

x C

4

(sin 1)4

A F x   cos – sinx x C   B F x  cosx sinx C  

C F x  cot – tanx x C   D F x   cot – tanx x C  

Câu 30 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) e4x 2

A   1 2x 1

x2

f x d  e  C

x2

A e x cos 2x B e x cos 2x C e x 2 cos 2x D 1

cos 22

( )

ln 2 ln 2

x x

A 2

21

x x

x x

3 2

3

x

C x

C

2( )

Câu 3 Một nguyên hàm của hàm số f x cos x esinx là

A F x e sin x B F x e cos x C F x esin x D F x sin x esinx

e dx

A F x( )ln2x C B 1

( ) ln2

F x  x  C

( ) ln2

2

x y

x

( )2

x

F x  e  C

Câu 15 Tính ln 2

2 x dx x

 Kết quả sai là:

Câu 22 Nguyên hàm của hàm số: 2dx 2

( ) sin 3 cos 3

 B xsinxdx  xcosx sinx C

C  xcosxdx xsinx cosx C D cos 2 1

① Cho hàm số liên tục trên và Hàm số được gọi là nguyên hàm của trên thì được gọi là tích phân của từ đến và được kí hiệu là Khi đó:

với gọi là cận dưới, là cận trên

② Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho , nghĩa là:

③ Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của trục và hai đường thẳng là:

f x dx và     

4 1

Câu 5 Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  

0;10 thoả: 010f x dx  7, 26f x dx  3 Khi đó, giá trị của P 02f x dx  610f x dx là  

Câu 6 Nếu f 1 12, f x'  liên tục và    

4 1

b b

Câu 13 Cho    

2 0

Câu 20 Để hàm số f x asin x b thỏa mãn f 1 2 và   

1 0

Dạng toán 2 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Câu 1.Biến đổi

1x xd

 ,với cách đặt t 31 thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào x

A.

1 3 0

3 t dt B.

1 2 0

3t dt C.

1 3 0

3d3

Dạng toán 3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý: Nếu u  ( )u x và v  ( )v x là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  

b a

a và dv còn lại Nếu không có ln ; log thì chọn u  đa thức

và dv còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn u  lượng giác,…

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

Câu 1 Biết rằng tích phân      

1 0

2x 1e dx x a be Khi đó tích ab bằng

0

1cos 2 (as 2 cos 2 )

4

 , với a b, , cZ Mệnh đề nào sau đây là đúng:

A.2a b c   1 B.a2b c 0 C.a b  c 0 D.a b c  1 Câu 5 Cho m là một số dương và

I xe dx Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt  t sinx dt cosxdx Đổi cận 

  

 

0  0 201

12

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải trên sai từ bước 1 B Bài giải trên sai từ bước 2

C Bài giải trên hoàn toàn đúng D Bài giải trên sai ở bước 3