ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN: TOÁN LỚP 7

Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Đường thẳng AM cắt CI tại N. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC.. TRƯỜNG THCS THỐNG NHẤT.[r]

TRƯỜNG THCS THÔNG NHẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN: TOÁN LỚP 7

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Họ và tên: ……… Lớp: 7/……… SBD: ………

Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:

a) (161 )200 và (12)1000

b) (-32)27 và (-18)39

X + 2

Bài 2: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = với x là nguyên

|x|

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0

b) x2=y

z

4 và x2 + y2 + z2 = 116

Bài 4: (1,5 điểm):

Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)

a/ Xác định bậc của A

b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z

Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t N❑

Chứng minh rằng: M= x

x+ y +z+

y

x + y +t+

z

y +z+t+

t

x +z +t có giá trị không phải

là số tự nhiên

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại

N Chứng minh rằng:

a) BH = AI

b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi

c) Đường thẳng DN vuông góc với AC

d) IM là phân giác của góc HIC

TRƯỜNG THCS THỐNG NHẤT

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 7

Bài 1: (1,5 điểm):

a) Cách 1: (161 )200 = (12)4 200=(12)800 > (12)1000

Cách 2: (161 )200 > (321 )200 = (12)5 200=(12)1000 (0,75đ) b) 3227 = 25¿27

¿ = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0,5đ) ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39 (0,25đ)

Bài 2: (1,5 điểm): Xét các trường hợp:

- Xét x −2 thì C 1 0,25đ

- Xét x = -1 thì C = 1 0,25đ

- Xét x 1 Khi đó A = x +2

x = 1 +

2

x Ta thấy C lớn nhất ⇔ 2

x lớn nhất, 0,5đ

Chú ý rằng x là số nguyên dương nên 2

x lớn nhất ⇔ x nhỏ nhất , tức là x = 1, khi đó C = 3 ( 0,25đ)

So sánh các trường hợp trên ta suy ra : GTLN của C bằng 3 khi và chỉ khi x = 1 ( 0,25đ)

Bài 3: (1,5 điểm):

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0

⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0

⇒ 3x - 5= 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 (0,25đ)

⇒ x = z = 53 ;y = -1;y = 1 (0,25đ) b) x2=y

z

4 và x2 + y2 + z2 = 116

Từ giả thiết ⇒ x2

y2

z2

x2+y2+z2

116

29 =4 (0,5đi)

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) (0,5đ)

Bài 4: (1,5 điểm):

a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 (0,5đ)

⇒ A có bậc 4 (0,25đ)

b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) (0,25đ)

⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z (0,5đ)

Bài 5: (1 điểm):

Ta có: x

x + y +z+t<

x x+ y+z<

x

x + y (0,25đ)

x + y +z +t y < y

x+ y+t<

y

x + y

z

x + y +z +t<

z

y +z+t<

z

z +t (0,25)

x + y +z +t t < t

x+z +t<

t

z +t

⇒ x + y +z +t

x + y +z +t<M <¿ (

x

x + y+

y

x + y)+(

z

z +t+

t

z +t) (0,25đ)

hay: 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên (0,25đ)

Bài 6: (3 điểm):

a AIC = BHA  BH = AI (0,75đ)

b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75đ)

c BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA (0,5đ)

mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900 (0,5đ)

 HMI vuông cân  HIM = 450 (0,25đ)

mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là phân giác HIC (0,25đ)

H

I

M B

D

N