H,I,K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB,AC và BC với đường tròn (O).[r]
Trang 1UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2018 -2019 MÔN : TOÁN
LỚP : 9 Thời gian : 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng A= a3 – 7a + 12 luôn chia hết cho 6 với mọi số aZ
b) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương
Câu 2: ( 5 điểm )
a) Giải phương trình
2
3x 6x + 7 5x210x14 = 4 – 2x – x 2
b) Giải hệ phương trình:
x2− y2 =1 − xy
x2+y2=3 xy +11
¿ {
¿
¿
Câu 3: ( 5 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2018 + 2019 x
b) Cho x,y,z là các số thực dương và x+y+z = 1 Chứng minh rằng:
√x+yz+√y +zx+√z +xy ≥1+√xy+√yz+√zx
Câu 4: ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp tam giác đó Gọi
H,I,K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB,AC và BC với đường tròn (O) Trên cạnh
AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM + CN = BC
a) Chứng minh
KHI BAC ABC b) Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân
c) Xác định vị trí điểm M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất
Trang 2
-Hết -UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2018 -2019 MÔN : TOÁN
LỚP : 9 Thời gian : 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (5 điểm)
a) Ta có: A= a3 – 7a + 12 = a3 – a – 6a + 12 (0,5đ)
Vì a(a – 1)(a + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 (0,5đ)
b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3 n N (0,25đ)
Ta có: n n 1 n2 n3 1 n n 3 n1 n2 (0,5đ)
= n2 3n n 2 3n 2 1
(0,5đ) Đặt n2 3n t (0,5đ)
Thì n2 3n n 2 3n 2 1
= t (t +2)+1 (0,25đ) = t2
+2t +1=(t +1)2 (0,25đ) = n2 3n 12
(0,25đ)
Vậy n n 1 n2 n31 luôn là một số chính phương (0,25đ)
Câu 2: ( 5 điểm )
a) Giải phương trình
2
3x 6x + 7 5x210x14 = 4 – 2x – x 2
Ta có: 3x26x + 6 1 5x210x = 5 – (x5 9 2 +2x+1) (0,5đ)
2
3(x 1) 4 + 5(x 1)2 = 5 – (x+1)9 2 (0,25đ)
VT = 3(x 1)24 + 5(x 1)2 59 (0,25đ)
Đẳng thức xảy ra khi x = –1
Trang 3Vậy: x = –1 là nghiệm của phương trình (0,25đ)
b)
x2− y2=1 − xy
x2+y2=3 xy +11
¿ {
¿
¿
⇔
11(x2
+xy − y2)=11
x2−3 xy+ y2 =11
¿ {
¿
¿
(0,25đ)
⇔
x2
+xy − y2 =1
11(x2+xy − y2)=x2−3 xy + y2
¿ {
¿
¿
(0,5đ)
⇔
x2+xy − y2=1
( x +2 y )(5 x − 3 y )=0
¿ {
¿
¿
(0,5đ)
⇔
¿x2+xy − y2=1
x+2 y =0
(I)
¿ ¿
¿
(0,5đ)
Giải hệ PT (I)
x+2y = 0 ⇔x= -2y ⇔ 3y2=1+2y2 ⇔y2=1
ta được hai nghiệm là: (2;-1) và (-2;1) (0,5đ)
Giải hệ PT (II)
5x-3y = 0 ⇔x =
3
5y ⇔
1
25y
(vô lý)
Hệ PT vô nghiệm (0,5đ)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (2;-1) và (-2;1) (0,25đ)
Câu 3: ( 5 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2018 + 2019 x
A 0 A2 1 2 x 2018 2019 x 1 (0,5đ)
1
A
Đẳng thức xảy ra (x 2018)(2019 x) 0 (0,5đ)
b) Vì x+y+z = 1 và áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
x yz x x y z yz x xy xz yz x y x z x yz
(0,5đ)
Trang 4⇒√x +yz ≥ x +√yz (0,5đ)
Tương tự ta có: √y +zx ≥ y +√zx (0,5đ) √z+ xy ≥ z +√xy (0,5đ) Cộng từng vế BĐT ta có:
x yz y zx z xy x y z yz zx xy (0,5đ) Suy ra:√x+yz+√y +zx+√z +xy ≥1+√xy+√yz+√zx (0,5đ)
O A
I H
K
M
N
a) Ta có: KHI
1
2KOI
( hệ quả của góc nội tiếp) (0,25đ) KOI KCI 1800 ( Tứ giác OICK nội tiếp đường tròn) (0,25đ)
Mà Δ ABC có BAC ABC ACB 1800 (0,25đ)
Do đó KOI BAC ABC (vì KCT ACB) (0,25đ) Vậy
KHI BAC ABC
(0,25đ) b) Ta có: BC = BM + CN (gt) (0,25đ)
Suy ra BC = BH + HM + CI – IN (0,25đ)
= BK + HM + CI - IN (0,25đ)
= BC +HM – IN ( vì CI = CK) (0,25đ)
Suy ra HM = IN (0,25đ)
Xét Δ HOM và Δ ION có: OH = OI , HM = IN , O ^ H M=O ^I N =900 (0,25đ)
Do đó Δ HOM= Δ ION ( c-g-c) (0,25đ)
Nên OM = ON Suy ra Δ MON cân tại O (0,25đ)
c) Ta có : Δ MONcân tại O , Δ HOI cân tại O, M ^ O N=H ^ O I (0,25đ)
Do đó Δ OMN đồng dạng Δ OHI (g- g) (0,25đ) Suy ra MNHI = OM
OH mà OM ≥ OH (OH⊥ HM¿ (0,25đ)
Trang 5Do đó MNHI ≥ 1 ⇔MN ≥ HI (0,25đ) Dấu " = ” xảy ra ⇔ H ≡ M , N ≡ I (0,25đ) Vậy độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng HI H ≡ M , N ≡ I (0,25đ)
HẾT
-Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó.