Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng. Tìm tọa độ tiếp điểm của và. Tính giá trị của ... b) Một chiếc tàu của tập [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn thi: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi gồm 01 trang)
2 1
1
x
y
x
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
4
ln( 1)
5
x
2
x Câu 2 (1,0 điểm) Chứng minh hàm số đạt cực đại tại điểm
Câu 3 (1,0 điểm)
z (2i z3) 1 3i z i 4 a) Tìm môđun của số phức biết
1 log 4 9
1
4
log 3x 1 3
b) Giải bất phương trình
3 2 2
0
4
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
( ) : x 2y z 2 0 A(3; 2; 3). ( ) ( )S ( )
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt
phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng Tìm tọa độ tiếp
điểm của và
Câu 6 (1,0 điểm)
5
sin
13
2
cos
4
a) Cho với Tính giá trị của b) Một chiếc tàu của tập đoàn dầu khí quốc gia Việt Nam khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa
tỉnh Bình Thuận có xác suất khoan trúng túi dầu là p Tìm p biết rằng trong hai lần khoan độc lập,
xác suất để chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần là 0,36
' ' '
ABC A B C ( 'A BC)600 A A A B' ' A C' ABC A B C ' ' ' AA'B C' 'Câu 7 (1,0 điểm) Cho lăng
trụ tam giác có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; góc giữa hai mặt phẳng và (ABC) bằng ; Tính theo a thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng và
(2; 1),
A B(2; 5) :x 2y 2 0 Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (I) có
hai đường kính AB và MN với Gọi E và F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM và AN với tiếp tuyến của (I) tại B Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MEF sao cho H nằm trên đường
thẳng và có hoành độ là một số nguyên
3 3 3
3 x 1 x 3 x 1 4 x 6x
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình trên tập hợp số thực Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 16 2 175 2 9
P
-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA
1
2 D Tập xác định
2
4 2
'
x y
x
0,25
" 2
y
'( 2) 0
6
"( 2) 0
25
y
y
Suy ra
0,25 2
3a
(2i z) 1 3i z i (2 i z z) 1 3 1i
i
i
| | | |
z z
0,25
3b
1 log 4 9
3 log 3 1 3 log (3 1)
2
3 2
1 log (3 1) log
4
b) Ta có
0,25
3
3
9
log ;
8
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
0,25
t x x t2 x24 tdtxdxĐặt Suy ra Do đó 0,25
( 4) ( 4 )
Suy ra
0,25 3
5 3
2
4 63 64 253
Ghi chú: Nếu học sinh không giải mà chỉ ghi đáp số thì không cho điểm bài này.
0,25
5 | 3 2.( 2) ( 3) 2 |
1 4 1
( ) d A( ,( )) R R2 6Gọi R là bán kính của (S) tiếp xúc với (S)
(x 3) (y2) (z3) 24Do đó (S) có phương trình
0,25 ( ) ( ) * Gọi H là tiếp điểm của (S) và , d là đường thẳng qua A và vuông góc với
( )
H d n (1; 2; 1) ( ) Khi đó , d nhận vectơ pháp tuyến của làm vectơ chỉ phương
0,25
Trang 3và có phương trình tham số là:
3
2 2 3
Tham số t ứng với tọa độ điểm H là nghiệm của phương trình
(3t) 2( 2 2 ) ( 3 t t) 2 0 t 2 (1; 2; 1)
H Do đó
0,25
cos 1 sin 1
13 169
a) Ta có 12
cos
13
2
cos 0Suy ra (vì nên )
0,25
12 2 5 2 17 2
6b A i i 1, 2 P A( )i p P A, ( ) 1i p
b) Gọi là xác suất lần thứ i khoan trúng túi dầu (), Gọi A là biến cố trong hai lần khoan độc lập, chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
1 2
A A A P A( ) 0,36 1 P A( ) 1 P A P A( ) ( ) 1 (11 2 p)2 A A1, 2Khi đó và (vì là hai
biến cố độc lập)
0,25
(1 )
5
p
0 p 1)Do đó hoặc (loại vì 1
0, 2 5
p
Vậy
0,25
7 A ABC'. A H' (ABC) A MH ' 600 ( 'A BC)Ta có là hình chóp tam giác đều Gọi H là
trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC Khi đó và là góc giữa hai mặt phẳng và
(ABC).
0,25
a
'
A HMTam giác có (vì ),
Suy ra
' ' '
Vậy
0,25
'
AA ( BCC B' ') B C BC' ', (BCC B' ')B C BC' ', AA'
( ', ' ') ( ',( ' ')) ( ', )
MKAA KAA Dựng (1)
BCAM Ta có (vì tam giác ABC đều)
'
BCA H A H' (ABC) (vì )
( ' )
BC AA M MK(AA M' )Suy ra Suy ra BC và MK vuông góc với nhau tại M (vì ) (2)
'
AA Từ (1) và (2) suy ra MK là đoạn vuông góc chung của và BC
0,25
B
C H
M
A K
Trang 4( ', )
3
6
a a
MK
3 7 ( ', ' ') ( ', )
14
a
Do đó Vậy
0,25
8
(2; 3)
2
AB
Đường tròn (I) có tâm là trung điểm của AB và có bán kính
0,25
AF ME FAE NAM 900Ta có (vì ) nên AF là đường cao của tam giác MEF.
Suy ra H, A, F thẳng hàng.
1 2
HM NM HM 2AI Ta có AI//HM (vì cùng vuông góc với EF) nên Suy ra
0,25
'
I I'(2;1) II' 2 AI HM II' HMII'I H' IM R 2
Gọi là điểm đối xứng của I qua A Khi đó , và //HM Suy
ra là hình bình hành Do đó
0,25 (2 2; )
H t t :x 2y 2 0 2t 2 Mặt khác (vì H nằm trên đường thẳng ) và
Ta có
2
5t 2t 3 0
1
t
3 5
t hoặc (loại) (4;1)
0,25
9 x 0Điều kiện:
0
0
x xVới , chia hai vế của (*) cho ta được:
x
0
1
t
x
Đặt , , phương trình (1) trở thành
3 2 3(t1) 3 1t t 4t 6
3 1t 3 2 3 1t 2 2 3 1 (t t 2)3 2(t 2)2 2(t 2)
0,25
f u( )u32u22uXét hàm số trên
3 0, ' 2 0
a f u'( ) 3 u24u 2 0, u Ta có (vì )
f u( )Suy ra hàm số đồng biến trên
0,25
B I
I’
N
E
F A
Trang 5
(1) f 3 1t f t( 2) 3 1t t 2 2
2 0
t
0
t
7 37 2
2
7 3 0
t
(thỏa )
3
8 (7 37)
x
b c a Ta có Do đó
Dấu “=” xảy ra
Suy ra
0,25
2 9 ( ) 25
1
a
a
(0;)Xét hàm số trên
2
2 2 2
( 1) 9 25( 9) 9
'( ) 1 25
a
a
f a
Ta có
0,25
2 2 '( ) 0 ( 1) 9 25( 9) 0
f a a a a
(a 1) a 9 5 5(a 1) 25(a 9) 0
2
2
( 16)
9 5
a
a
2
2
( 4)
9 5
a
a
4
a
2 2
( 4)
9 5
a
a
(vì )
0,25
Bảng biến thiên
a 0 4 '( )
f a 0 +
f(a)
75
29
(0;min ( )) f a f(4) 29
Suy ra
.29
4 4
1
4, 2,
2
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi
0,25