+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-ét của phương trình (1)). II.[r]
Trang 1Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho
trước
I Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp
1 Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P):
2
y ax
(a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax2 mx n ax2 mx n 0(1)
+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay 0
2 Các dạng toán thường gặp
+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ
khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt
+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-ét của phương trình (1))
II Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng
Bài 1: Cho parabol (P):
2
2
y x và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
2 x 3 x m 1 2 x 3 x m 1 0
Có b2 4 ac 9 4.2 m 1 9 8 m 8 17 8 m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1)
có hai nghiệm âm phân biệt
Trang 2Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
17
0 17 8 0
8
Với
17
8
m
, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét
1 2
1 2
3 2 1 2
b
a
P x x
a
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
3 0
0 2
S
kết hợp với điều kiện
1
Vậy với
17 1
8
m
thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung
Bài 2: Cho parabol (P):
2
y x
và đường thẳng (d) có phương trình
2
y x m
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Trang 3
m
Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung
Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P):
2
y x
a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành
độ của điểm A và B bằng 3 2
Lời giải:
a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x x m x x m (1)
Có b2 4 ac 1 4 m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt
1
4
Với
1
4
m
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét
1 2
1 2
1
b
a c
a
Trang 4Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 m 0 m 0 kết hợp
với
0
Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương
Vậy với
1
0
4 m
thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung
b, Với
1 4
m
thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) thỏa mãn Vi-ét
1 2
1 2
1
b
a c
a
Khoảng cách giữa hai điểm bằng 3 2 x1 x2 3 2 x1 x22 36
2 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
36
35
1 3 36
3
Vậy với
35 3
m
thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng 3 2
Bài 4: Cho parabol (P):
2
1 2
và đường thẳng (d): y = mx - 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn
1 2 2 1 5 1 2 0
x x x x x x
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):
Trang 52 2
1
(1)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Có b '2 ac m 2 2 0 m
Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2 2
b
a
c
x x
a
Có
1 2 2 1 5 1 2 0
x x x x x x
3 3
1 2 1 2 1 2
3
2 2 5.2 0
16 10 0
5
8
m m
Vậy với
5 8
m
thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
độ thỏa mãn
1 2 2 1 5 1 2 0
x x x x x x
III Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng
Bài 1: Cho parabol (P):
2
y x và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 4
a, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1
b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 2 x2
Bài 2: Cho parabol (P):
2
y x và đường thẳng (d): y = mx – m Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung
Trang 6Bài 3: Cho parabol (P):
2
y x và đường thẳng (d): y = 4x – m – 1
a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung
b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn x1 x2 2
Bài 4: Cho parabol (P):
2
y x
và (d): y = x + m Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung
Bài 5: Cho parabol (P):
2
y x và đường thẳng (d): y = (2m + 3)x + 2m + 4 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi x1, x2 là hoành độ của A, B thỏa mãn
1 2 5
Bài 5: Cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 – 2m và parabol (P):
2
y x Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 thỏa mãn
a, 1 2
1 5
1
b, 2 2
1 2 1 3 2 2 2 3 1
c, x x1 22 2 m 3 x1 2
d,
2
1 2 2 0