70 câu trắc nghiệm vi phân của hàm số có đáp án chi tiết

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng... Chọn khẳng định đúng.[r]

Trang 1

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Tích f x'( ).0  được gọi là vi phân của hàm số x yf x( ) tại điểm x (ứng với số gia x0  ) được kí hiệu là df x( )0 f x'( )0  x

 Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f x x'( ) được gọi là vi phân hàm số yf x( ), kí hiệu là: ( ) '( )

df x f x x

Đặc biệt: dx x x   nên ta viết ' x df x( )f x dx'( )

B – BÀI TẬP

Câu 1 Cho hàm số yf x   x12 Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x 

?

A. dy2x1 d x B. dyx1 d2 x

.

C. dy2x1

.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có dyf x x d 2x1 d x

.

Câu 2 Tìm vi phân của các hàm số y x 32x2

A dy(3x2 4 )x dx B dy(3x2x dx)

C dy(3x22 )x dx D dy(3x2 4 )x dx

Chọn D.

2

(3 4 )

Câu 3 Tìm vi phân của các hàm số y 3x2

A

3

x



1

x





C

1

x



3

x





Chọn D.

3

x





Câu 4 Cho hàm số y x 3 9x212x 5 Vi phân của hàm số là:

A.dy3x218x12 d x

B. dy  3x2 18x12 d x

.

dy 3x 18x12 dx

dy 3x 18x12 dx

.

Chọn A.

Ta có dyx3 9x212x 5 d x3x218x12 d x

Câu 5 Tìm vi phân của các hàm số y(3x1)10

A dy10(3x1)9dx B dy30(3x1)10dx

Trang 2

C dy9(3x1)10dx D dy30(3x1)9dx

Chọn D.

9 30(3 1)

Câu 6 Tìm vi phân của các hàm số ysin 2xsin3x

A dycos 2x3sin2xcosx dx

B dy2cos 2x3sin2xcosx dx

C dy2 cos 2xsin2xcosx dx

D dycos 2xsin2xcosx dx

Chọn B.

2cos 2 3sin2 cos 

Câu 7 Tìm vi phân của các hàm số ytan 2x

A dy (1 tan 2 )2 x dx B dy (1 tan 2 )2 x dx

C dy2(1 tan 2 ) 2 x dx D dy2(1 tan 2 ) 2 x dx

Chọn D.

2

2(1 tan 2 )

Câu 8 Tìm vi phân của các hàm số y3 x1

1 ( 1)

x



3 ( 1)

x





2 ( 1)

x



1

3 ( 1)

x





Chọn D.

2 3

1

3 ( 1)

x



Câu 9 Xét hàm số yf x   1 cos 2 2 x

Chọn câu đúng:

sin 4

2 1 cos 2

x





sin 4

1 cos 2

x





cos 2

1 cos 2

x



sin 2

2 1 cos 2

x





Chọn B.

Ta có : dyf x x d

 2 

2

1 cos 2

d

2 1 cos 2

x x x







4cos 2 sin 2

d

2 1 cos 2

x x





sin 4

d

1 cos 2

x x x





Câu 10 Cho hàm sốy x 3 5x Vi phân của hàm số là:6

dy 3x  5 dx

dy 3x  5 dx

.

C. dy3x2 5 d x

.

Chọn A.

Ta có dyx3 5x6 d x3x2 5 d x

Trang 3

Câu 11 Cho hàm số 3

1 3

y x

 Vi phân của hàm số là:

A.

1

4

1

dy dx x



1

dy dx x



Chọn C.

2 2

x



Câu 12 Cho hàm số

2 1

x y x





 Vi phân của hàm số là:

d d

1

x y

x





3d d

1

x y

x





3d d

1

x y

x







d d

1

x y

x





Chọn C.

x







1

y x

 



A.

2 2

( 1)

x

 



( 1)

x





( 1)

x





2 2

( 1)

x

 



Chọn D.

Ta có

2 1

1

x





2 2

d 1

x x



2 2

d 1

x x

 





Câu 14 Cho hàm số ysinx 3cosx Vi phân của hàm số là:

A dy  cosx3sinx xd

B. dy  cosx 3sinx xd

.

C. dycosx3sinx xd

D. dy cosx3sinx xd

.

Chọn C.

Ta có dysinx 3cosxdxcosx3sinx xd

Câu 15 Cho hàm số ysin2x Vi phân của hàm số là:

A. dy– sin 2 dx x B. dysin 2 dx x C. dysin dx x D. dy2cos dx x

Chọn B.

Ta có dyd sin 2 x  sin2 xdxcos 2sin dx x xsin 2 dx x

Câu 16 Vi phân của hàm số

tan x

y

x



là:

Trang 4

A. 2

2

x



sin(2 )

x



2 sin(2 )





2 sin(2 )





Chọn D.

Ta có

2

x x





 

dx x



2

2 sin 2

4 cos

dx



Câu 17 Hàm số yxsinxcosx có vi phân là:

A. dyxcos – sinx x xd B. dyxcosx xd

C. dycos – sinx x xd

D. dyxsinx xd

Chọn B.

Ta có dyxsinxcosxdxsinx x cosx sinx xd xcosx xd

.

Câu 18 Hàm số y 2 1

x x



 Có vi phân là:

A.

2

1

( 1)

x





2 ( 1)

x





C.

2 2

1

( 1)

x





1 ( 1)

x





Chọn A.

Ta có

dx

Câu 19 Cho hàm số yf x   x12

Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

A dy2x1 d x

C dyx1 d x

Chọn A

yf x     x  y x x

Câu 20 Vi phân của hàm số f x  3x2 x

tại điểm x  , ứng với 2  x 0,1 là:

Chọn C

Ta có: f x  6x 1 f 2 11

d 2f f 2  x 11.0,1 1,1

Trang 5

Câu 21 Vi phân của ycot 2017 x

là:

A dy2017 sin 2017 d  x x

2017

sin 2017

x



2017

cos 2017

x



2017

sin 2017

x



Chọn D

cot 201

17

y

x





Câu 22 Cho hàm số y =

1

x

 

A

2 2

( 1)

x

 



2 1

( 1)

x







2 1

( 1)

x





2 2

( 1)

x

 





Chọn D

2



3

1 2

x y

x





 Vi phân của hàm số tại x  là:3

A

1

7

y x

B dy7d x C

1

7

y x

D dy7d x

Chọn A

3 7

1 2

x



Do đó

1

7

y x

Câu 24 Vi phân của ytan 5x là :

5

cos 5

x



5

sin 5

x



C

2

5

cos 5

x



5

cos 5

x



Chọn C

2

5 tan 5

cos 5

x



5

cos 5

x



Câu 25 Hàm số

2 ( 1)

x



Biểu thức 0,01 '(0,01)f là số nào?

Trang 6

Chọn D

2



Do đó 0,01 '(0, 01)f 90

Câu 26 Cho hàm số ysin(sin )x Vi phân của hàm số là:

A dycos(sin ).sin dx x x B dysin(cos )dx x

C dycos(sin ).cos dx x x D dy cos(sin )dx x

Chọn C

Ta có: y' (sin ) '.cos(sin ) cos cos(sin ) x x  x x nên dycos cos(sin )dx x x

2 khi 0 ( )

2 khi 0

f x





 Kết quả nào dưới đây đúng?

x





0

x



x



Chọn B

Ta có:  0 lim0 2 lim (0 1) 1

x





;

 0 lim0 2 2

x

x f

x





và hàm số không có vi phân tại x  0

Câu 28 Cho hàm số ycos 22 x Vi phân của hàm số là:

A dy4cos 2 sin 2 dx x x B dy2 cos 2 sin 2 dx x x

C dy2 cos 2 sin 2 dx x x D dy 2sin 4 dx x

Chọn D

Ta có : dyd cos 2 2 x 2 cos 2 (cos 2 ) 'dx x x4cos 2 sin 2 dx x x2sin 4 dx x

2 khi 0 ( )

khi 0

f x





 Khẳng định nào dưới đây là sai?

A f  0 1

C d (0) df  x D Hàm số không có vi phân tại x  0

Chọn D

Ta có:  0 lim0 2 lim (0 1) 1

x



và  0 lim0 1

x

x f

x





và d (0) df  x

Câu 30 Cho hàm số yf x( ) 1 cos 2 2 x Chọn kết quả đúng:

sin 4

2 1 cos 2

x





sin 4

1 cos 2

x





cos 2

1 cos 2

x



sin 2

1 cos 2

x





Trang 7

Chọn B

(1 cos 2 ) ' 2.2cos 2 sin 2 sin 4

Câu 31 Cho hàm số ytan x Vi phân của hàm số là:

1

2 cos



1

cos



C

1

2 cos



1

2 cos



Chọn D

Câu 32 Vi phân của hàm số

x y x





 là :

8

x





4

x





4

x





7

x





Chọn A

x

2 2

1 1

x y

x





 Vi phân của hàm số là:

A  22

4

1

x







B  22

4

1

x







4

1

x





d d

1

x y

x







Chọn A

Ta có :

2

Câu 34 Cho hàm số ( )f x  cos 2x Khi đó

A d   sin 2 d

2 cos 2

x



cos 2

x



C d   sin 2 d

2 cos 2

x





cos 2

x





Chọn D

Ta có : d ( ) d cos 2  (cos 2 ) ' d sin 2 d

2 cos 2 cos 2



Trang 8

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '', tức là: f '' ( ') ' f

 Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với 1 n,n2) là f(n1) Nếu f(n1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f( )n , tức là:

( )n ( (n 1)) '

Để tính đạo hàm cấp n:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

B – BÀI TẬP

Câu 1 Hàm số 2

x y x



 có đạo hàm cấp hai là:

1 2

y x

 



4 2

y

x

 



4 2

y x

 



Chọn D.

2

x y

   



2

x y



Câu 2 Hàm số yx2 13

có đạo hàm cấp ba là:

A. y  12x2 1

C. y  24 5 x2 3

Chọn C.

Ta có y x 63x43x2 ; 1 y 6x512x36x

y  x  x  ; y 120x372x24 5 x23

Câu 3 Hàm số y 2x5 có đạo hàm cấp hai bằng:

A.

1

y

 

1

y

x

 



C.

1

y

 

1

y

x

 



Chọn C.



2

y



Trang 9

1

y

x

 





có đạo hàm cấp 5 bằng:

A.

(5)

6

120 ( 1)

y

x



(5)

6

120 ( 1)

y x



C.

(5)

6

1 ( 1)

y

x



(5)

6

1 ( 1)

y

x



Chọn A.

Ta có

1 1

y x

x

 

2

1 1

1

y

x





2

1

y

x





 

3

4

6 1

y

x





 

4

5

24 1

y

x



(5)

6

120 ( 1)

y

x

1

y x

 



 có đạo hàm cấp 5 bằng :

A

 

5

6

120 1

y

x





 

5

120 1

y x





C

 

5

1 1

y

x





 

5

1 1

y

x





Chọn A.

Ta có:

 

1 1

1

y

x





;  3

2 1

y x

 



6 1

y

x

 



;

 

4

5

24 1

y x





;

 

5

6

120 1

y

x





Câu 6 Hàm số y x x 2 có đạo hàm cấp 1 2 bằng :

3

y



 

2 2

1

x y

x



 



3

y



 

2 2

1

x y

x



 



Chọn C.

Ta có:

2 2

1



 

3 2

1

x

x y



Câu 7 Hàm số y2x55

có đạo hàm cấp 3 bằng :

A y 80 2 x53

C y 480 2 x52

Chọn B.

Ta có: y 5 2 x542 10 2 x54

;y 80 2 x53

; y 480 2 x52

Câu 8 Hàm số ytanx có đạo hàm cấp 2 bằng :

Trang 10

A 3

2sin

cos

x y

x

 

1 cos

y

x

 

1 cos

y

x

 

2sin cos

x y

x

 

Chọn D.

1 cos

y

x

 

2cos sin 2sin

y



Câu 9 Cho hàm số ysinx Chọn câu sai.

A

sin

2

y  x 

C

3 sin

2

y  x  

 

4 sin 2

Chọn D.

Ta có:

cos sin

2

y  x  x

2

y   x x

2

y   x    x

 

2

y    x  x

2

1

y

x



 có đạo hàm cấp 2 bằng :

1 2

1

y

x

  



2 1

y

x

 



2 1

y

x



 



2 1

y

x

 



Chọn B.

Ta có:

1

x

1 2 1

y

x





2 (1 )

y

x

 

Câu 11 Hàm số   cos 2

3

yf x   x  

  Phương trình f 4  x 8 có nghiệm x 0;2



  

là:









C x  và 0 x 3









Chọn A.

Ta có:

2sin 2

3

y   x  

4cos 2

3

y   x  

8sin 2

3

y   x  

  4 16cos 2

3

y   x  

Khi đó :

 



1 cos 2

x 

2







 



2 6





 



 

  



0;

2

x



   

Câu 12 Cho hàm số ysin2x Chọn khẳng định đúng

A 4y y 0 B 4y y 0 C yytan 2x D y2  y 2 4

Chọn B.

Trang 11

Ta có: y 2cos2x; y 4sin2x  4y y 0

Câu 13 Cho hàm số y f x  1

x

Xét hai mệnh đề :

 I :y f  x 23

x

  

 II :y f  x 64

x

  

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ  I

đúng B Chỉ  II

đúng C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều sai

Chọn D.

Ta có: 2

1

y

x

 

2

y x

 

6

y x

 

Câu 14 Nếu   2sin3

cos

x

 

thì f x 

bằng

A

1

cos x



Chọn D.

Vì: tan  12

cos

x



  

4

2cos sin cos

x

cos

x x



Câu 15 Cho hàm số  

1

y f x

x

 Xét hai mệnh đề :

 I :yf x  2

2

4

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ  I

đúng B Chỉ  II

đúng C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều sai

Chọn A.

Ta có: yf x 

2 2 1

x





2 1

x x

 

2 1

1

y

x





;  3

4 1

y x

 



Câu 16 Cho hàm số f x   x13

Giá trị f  0

bằng

Chọn B.

Vì: f x  3x12

; f x 6x1  f  0  6

Câu 17 Cho hàm số f x sin3x x 2

Giá trị 2

f  

  bằng

Chọn B.

Vì: f x 3sin cos2x x2x ; f x 6sin cosx 2x 3sin3x2 1

2

f 

Câu 18 Cho hàm số f x 5x134x1

Tập nghiệm của phương trình f x  là0

Chọn C.

Trang 12

Vì: f x  15x124

; f x 30x1  f x  0 x 1

1 3

y x



 Khi đó :

8

4

Chọn C.

Vì:  2

1

3

y

x

 



;  3

2 3

y x

 



6 3

y

x

 

8

y

Câu 20 Cho hàm số yax b 5

với a , b là tham số Khi đó :

D y 10  1 10a

Chọn A.

Vì: y 5a ax b  4

; y 20a ax b2  3

; y 60a ax b3  2

;

 

; y 5 120a5 ;

  6 0

y   y 10 0 Do đó y 10  1  0

Câu 21 Cho hàm số ysin 22 x Tính

  4 6

y  

  bằng:

Chọn C.

Vì: y 2sin2 2cos2x x 2sin4x; y 8cos4x ; y 32sin4x;

  4 128cos4

  4

64 3 6

y  

Câu 22 Cho hàm số ysin 2x Tính y''

Chọn D.

Ta có y' 2cos 2 x y''4sin 2x

Câu 23 Cho hàm số ysin 2x Tính y'''( )3

 ,

(4)( ) 4

Chọn A.

Ta có y'''8cos 2 , x y(4) 16sin 2x

Suy ra

(4) 2

'''( ) 8cos 4; ( ) 16sin 16

Câu 24 Cho hàm số ysin 2x Tính y( )n

A

( ) 2 sin(2 )

3

n n

B

( ) 2 sin(2 )

2

n n

Trang 13

C

( ) 2 sin( )

2

n n

D

( ) 2 sin(2 )

2

n n

Chọn D.

Ta có

2 ' 2sin(2 ), '' 2 sin(2 2 )

,

3 ''' 2 sin(2 3 )

2

Bằng quy nạp ta chứng minh

( ) 2 sin(2 )

2

n n

Với

1

1 ' 2 sin(2 )

2

đúng Giả sử

( ) 2 sin(2 )

2

k k

, suy ra ( 1)  ( )' 2 1cos(2 ) 2 1sin 2 ( 1)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 25 Tính đạo hàm cấp n của hàm số

2 1 2

x y x





A

1 ( )

1

(1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x







1 ( )

1

( 1) ! ( 2)

n n

n

n y

x











C

1 ( )

1

( 1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x









1 ( )

1

( 1) 3 ! ( 2)

n n

n

n y

x











Chọn D.

Ta có

' 2

3 ( 2)

x

4

3.2.3

'''

( 2)

y

x



 Ta chứng minh

1 ( )

1

( 1) 3 ! ( 2)

n n

n

n y

x











 Với

0

( 1) 3 3



 Giả sử

1 ( )

1

( 1) 3 ! ( 2)

k k

k

k y

x











 

( 1) 3 ! ( 2) ' ( 1) 3.( 1)!

'

k k



Câu 26 Tính đạo hàm cấp n của hàm số

1

ax b

A

( )

1

(2) !

n n n

n

a n y



( )

1

( 1) ! ( 1)

n n n

n

a n y







C

( )

1

( 1) !

n n

n

n y





( )

1

( 1) !

n n n

n

a n y







Chọn D.

Trang 14

Ta có

Ta chứng minh:

( )

1

( 1) !

n n n

n

a n y







 Với

( 1) 1!



 Giả sử

( )

1

( 1) !

k k k

k

a k y







 

( 1) ! ( ) ' ( 1) ( 1)!

'

k k



Câu 27 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

2 1

x y





A

( )

(2) 7 ! (1) 5 !

n

y

( )

( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

C

( ) ( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

( )

( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

Chọn D.

Ta có: 2x 1 7(x 2) 5( x 3); x2 5x 6 (x 2)(x 3)

Suy ra

y

Mà

,

Nên

( )

( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

Câu 28 Tính đạo hàm cấp n của hàm số ycos 2x

A ( )  1 cos 2

2

n n

y    x n 

( ) 2 cos 2

2

n n

y   x 

C

( ) 2 1cos 2

2

n n

( ) 2 cos 2

2

n n

y   x n  

Chọn D.

Ta có

2

y   x  y   x 

3

''' 2 cos 2 3

2

y   x  

Bằng quy nạp ta chứng minh được

( ) 2 cos 2

2

n n

y   x n  

Câu 29 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 2x1

A

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

x







1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1) (2 1)

n n

n

n y

x







Trang 15

C

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1) (2 1)

n n

n

n y

x









Chọn D.

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1) (2 1)

n n

n

n y

x









Câu 30 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

x y





A

( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

C

( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

:

n

y



( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

Chọn D.

Ta có:

y

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

Câu 31 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 5 6

x y



 

A

( )

( 1) 3 ! ( 1) 2 !

n

y

( ) ( 1) 3 ! ( 1) 2 !

n

y

C

( )

( 1) 3 ! ( 1) 2 !

n

y

( )

( 1) 3 ! ( 1) 2 !

n

y

Chọn D.

Ta có:x3(x2) 2( x3); x25x 6 (x2)(x3)

Suy ra

y

Mà

,

Nên ta có:

( )

( 1) 3 ! ( 1) 2 !

n

y

Câu 32 Tính đạo hàm cấp n của hàm số ycos 2x

A

( ) 2 1cos 2

2

n n

( ) 2 1cos 2

2

n n

C

( ) 2 cos 2

2

n n

y   x 

( ) 2 cos 2

2

n n

y   x n  

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	882,94 KB