Bất đẳng thức cauchy schwarz (Cosi) – Tổng hợp bài toán đặc sắc có đáp án

[r]

Bất đẳng thức cauchy Schwarz (Cosi)

Bài 1: Chứng minh rằng (a2 b2)(b2 c2)(c2 a2)8a2b2c2 a ,,b c

-Bài 2: Chứng minh rằng ( a  b)8 64ab(ab)2 a, b 0

-Bài 3: Chứng minh rằng (1ab)(abab)9ab a, b 0

-Bài 4: Chứng minh rằng 3a3 6b3 9ab2 a, b 0

-Bài 5: Chứng minh rằng (ab)(1ab)4ab a, b 0

-Bài 6: Chứng minh rằng a b ab

4 1 1

-Bài 7: Chứng minh rằng abc ab  bc ca a,b,c0

-Bài 8: Chứng minh rằng a2b2 b2c2 c2a2 abc(abc) a ,,b c

-Bài 9: Chứng minh rằng (a1)(b1)(ac)(bc)16abc a,b,c0

























c b a a c c b b a c

b

2

a,b,c0

-Bài 11: Chứng minh rằng a abc

c c

b b

a

3

4 4 4







0 ,

a b c

9 1 2

1 2

1











































ab

c c ca

b b bc

a a

0 ,

a b c

-Bài 13: Chứng minh rằng a3 b3 c3 a2bb2cc2a a,b,c0

Hướng dẫn: a3 a3b3 3a2b Tương tự rồi cộng từng vế

-Bài 14: Chứng minh rằng a3b3 b3c3 c3a3 abcab2 bc2 ca2 a,b,c0

c ac

b bc

a a

c c

b b

3

3 3

3 3

3











0 ,

a b c

-Bài 16: Chứng minh rằng

3 3 3 2

5 2

5 2

5

c b a a

c c

b b

a











0 ,

a b c

-Bài 17: Chứng minh rằng a b a b c

c a c

b c b

a









4 2

4 2

4

0 ,

a b c

-Bài 18: Chứng minh rằng

2 2 2 2

5 2

5 2

5

c b a ab

c ca

b bc

a











0 ,

a b c

2 2 2 4

4

a c

c c b

b b a











-

Bài 20: Chứng minh rằng a b a b b c c a

c a c

b c b

2

6 2

6 2

6











0 ,

a b c

-HƯỚNG DẪN

Bài 1: Chứng minh rằng (a2 b2)(b2 c2)(c2 a2)8a2b2c2 a ,,b c

Hướng dẫn: a b 2 a b 2ab; b c 2 b c 2bc; c a 2 c a 2ca

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2



















-Bài 2: Chứng minh rằng ( a  b)8 64ab(ab)2 a, b 0

Hướng dẫn: ( a b)8 ( a b)2 4 (a b) 2 ab4 2 (a b)(2 ab) 4 64ab(ab)2





















-Bài 3: Chứng minh rằng (1ab)(abab)9ab a, b 0

Hướng dẫn: (1ab)(abab)33 a.b3 a.b.ab 9ab

-Bài 4: Chứng minh rằng 3a3 6b3 9ab2 a, b 0

Hướng dẫn: 3a36b3 3a3 3b3 3b3 33 3a33b33c3 9ab2

-Bài 5: Chứng minh rằng (ab)(1ab)4ab a, b 0

Hướng dẫn: Cô si cho từng ngoặc rồi nhân từng vế

-Bài 6: Chứng minh rằng a b ab

4 1 1

Hướng dẫn: Cô si cho VT và mẫu thức ở VP

-Bài 7: Chứng minh rằng abc ab  bc ca a,b,c0

Hướng dẫn: ab2 ab;bc2 bc;ca2 ca rồi cộng từng vế

-Bài 8: Chứng minh rằng a2b2 b2c2 c2a2 abc(abc) a ,,b c

Hướng dẫn: a2b2 b2c2 2ab2c;b2c2 c2a2 2abc2;c2a2 a2b2 2a2bc Cộng từng vế

-Bài 9: Chứng minh rằng (a1)(b1)(ac)(bc)16abc a,b,c0

Hướng dẫn: Cô si cho từng ngoặc rồi nhân từng vế

























c b a a c c b b a c

b

2

a,b,c0

Hướng dẫn: a b b 2a

1 2





; b c c 2b

1 2





; c a a 2c

1 2





rồi cộng từng vế

-Bài 11: Chứng minh rằng a abc

c c

b b

a

3

4 4 4







0 ,

a b c

Hướng dẫn: Áp dụng Cô si với vế trái

9 1 2

1 2

1











































ab

c c ca

b b bc

a a

0 ,

a b c

Hướng dẫn: 2

9 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2





































































ca

b bc

a c bc

a ab

c b ca

b ab

c a ab

c c ca

b b bc

a a VT

-Bài 13: Chứng minh rằng a3 b3 c3 a2bb2cc2a a,b,c0

Hướng dẫn: a3 a3b3 3a2b Tương tự rồi cộng từng vế

-Bài 14: Chứng minh rằng a3b3 b3c3 c3a3 abcab2 bc2 ca2 a,b,c0

Hướng dẫn: Chia hai vế cho a3b3c3 0, có: a3 b3 b3 a2b b2c c2a

1 1 1 1 1 1











, tương tự bài 13

c ac

b bc

a a

c c

b b

3

3 3

3 3

3











0 ,

a b c

Hướng dẫn: bc

a c

b b

a b

3

3 3

3 3

3

3







Tương tự rồi cộng từng vế

-Bài 16: Chứng minh rằng

3 3 3 2

5 2

5 2

5

c b a a

c c

b b

a











0 ,

a b c

Hướng dẫn:

3 2

2

5

2a

a b b

a





, Tương tự rồi cộng từng vế Sử dụng thêm kết quả bài 13

c a c

b c b

a









4 2

4 2

4

0 ,

a b c

Hướng dẫn: b c b b c a

a

4 2

4









Tương tự rồi cộng từng vế

-Bài 18: Chứng minh rằng

2 2 2 2

5 2

5 2

5

c b a ab

c ca

b bc

a











0 ,

a b c

Hướng dẫn:

2 2

2

5

3a

ba c bc

a







Tương tự rồi cộng từng vế Sử dụng thêm a2 b2 c2 abbcca

2 2 2 4

4

a c

c c b

b b a











Hướng dẫn:

3 2

4

4 ) (a b a a b

a

a







 Tương tự rồi cộng từng vế Sử dụng thêm a3b3c3ab2bc2ca2

-

Bài 20: Chứng minh rằng a b a b b c c a

c a c

b c b

2

6 2

6 2

6











0 ,

a b c

Hướng dẫn:

3 2

2

6

2a

c b c b

a





Tương tự rồi cộng từng vế Sử dụng thêm a3b3c3ab2bc2ca2