Về phương pháp tikhonov giải một lớp phương trình tích phân fredholm loại 1

15 2 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI 1 20 2.1 Phương trình Fredholm loại 1 - Bài toán đặt không chỉnh 20 2.2 Phương pháp điều chỉnh Tikh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

————oOo————

ĐỖ THỊ THUÝ VÂN

VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Kính

.

.

.

.

Cán bộ nhận xét 1:

.

.

.

.

Cán bộ nhận xét 2:

.

.

.

.

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày

tháng năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã sửa chữa.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày tháng năm 2014

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

I TÊN ĐỀ TÀI:

VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI 1

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh và phương pháp điều chỉnh Tikhonov.

• Áp dụng phương pháp Tikhonov giải một lớp phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1

• Áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải bài toán cụ thể.

III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2014

IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2014

V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Nguyễn Văn Kính

PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH

TRƯỞNG KHOA: .

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng kính trọng sâu sắc đếnThầy hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học cơbản, trường Đại học Công nghiệp thực phẩm TP Hồ Chí Minh Thầy

đã luôn quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiệngiúp tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tất cả các Thầy Cô bộmôn Toán ứng dụng - Khoa Khoa học ứng dụng, phòng Đào tạo Sau Đạihọc, trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh đã tham gia giảngdạy và tạo điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.Tôi xin chân thành cảm ơn tới tập thể các bạn khóa 2012 lớp cao họcToán ứng dụng, những người thân trong gia đình đã đồng hành, chia sẻ,động viên những lúc tôi gặp khó khăn và luôn giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và làm luận văn

Đỗ Thị Thuý Vân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi thực hiện Các đoạn trích dẫn

và số liệu sử dụng đều được dẫn nguồn và có độ chính xác cao nhất trogphạm vi hiểu biết của tôi

Đỗ Thị Thuý Vân

Mục lục

1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1

1.1 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 1

1.1.1 Điều kiện liên tục của ánh xạ tuyến tính : 1

1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục : 1

1.1.3 Toán tử liên hợp 3

1.1.4 Toán tử tự liên hợp và toán tử chiếu 4

1.1.5 Phổ của toán tử tự liên hợp 5

1.2 Toán tử compact 7

1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 8

1.4 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh 14

1.5 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 15

2 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI 1 20 2.1 Phương trình Fredholm loại 1 - Bài toán đặt không chỉnh 20 2.2 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải một lớp phương trình tích phân Fredholm loại 1 23

2.2.1 Thuật toán điều chỉnh trên máy tính 32

2.2.2 Rời rạc hóa bài toán để tìm nghiệm xấp xỉ 35

2.3 Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm 36

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 44

Bảng kí hiệu

C[a,b] Không gian các hàm liên tục trên [a,b]

L2[a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b]sup Cận trên đúng

inf Cận dưới đúng

lim Giới hạn trên

lim Giới hạn dưới

E⊥ Không gian trực giao của E

⊕ Tổng trực tiếp

L(X,Y) Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào YL(X) Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, sinh thái dẫn đến việc giảicác bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ liệu ban đầu,nghĩa là một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rấtlớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vôđịnh Người ta nói những bài toán đó là đặt không chỉnh (ill-posed) Dotính không ổn này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của

nó gặp khó khăn Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các phương pháp giải ổnđịnh cho các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu đầuvào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng củabài toán ban đầu Những người có công đặt nền móng cho lí thuyết bàitoán đặt không chỉnh là A.N Tikhonov, M.M Lavrent’ev, J.J Lions,V.K.Ivanov,

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu phương pháp điều chỉnhTikhonov giải một bài toán đặt không chỉnh mà nó có ứng dụng rộng rãitrong các bài toán phát sinh từ kĩ thuật Đó là phương trình tích phânFredholm loại 1

Nội dung luận văn gồm hai chương, phần ứng dụng, phần kết luận vàcuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Chương I giới thiệu một số kiến thức cơ bản về toán tử tuyến tính,toán tử compact về bài toán đặt không chỉnh; đồng thời cũng trìnhbày khái niệm về toán tử điều chỉnh và phương pháp điều chỉnh Tikhonovtrong trường hợp tổng quát

Chương II chỉ ra rằng bài toán tìm nghiệm của phương trình Fredholmloại 1 là bài toán đặt không chỉnh; trình bày về nghiệm điều chỉnh củaphương trình tích phân tuyến tính loại 1 và tốc độ hội tụ của nghiệmđiều chỉnh

Phần ứng dụng đưa ra một số kết quả bằng số minh họa

Do thời gian và trình độ có hạn nên khó tránh khỏi những thiếu sót,rất mong nhận được sự thông cảm, đóng góp ý kiến của quý thầy cô vàbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Chương 1

KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

1.1.1 Điều kiện liên tục của ánh xạ tuyến tính :

Định lý 1.1.1 Cho T là một ánh xạ tuyến tính từ không gian địnhchuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó các mệnh đề sau là tươngđương

a/ T là liên tục đều;

b/ T là liên tục;

c/ T liên tục tại điểm 0 ∈ X;

d/ T bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho kT xk ≤ k kxk , ∀x ∈ X.Chứng minh a/ ⇒ b/ ⇒ c/ là hiển nhiên

c/ => d/ Nếu trái lại, T không bị chặn thì mọi n ∈ N tồn tại xn ∈ Xsao cho kT xnk > n kxnk Bởi vì T xn 6= 0 nên kxnk > 0

k kx − yk ≤ k.kε = ε nghĩa là T liên tục đều.2

1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục :

Cho X là không gian định chuẩn trên trường số là R hoặc C, kí hiệu là

K Kí hiệu L(X) = L(X, X) là không gian định chuẩn các toán tử tuyến

tính liên tục từ X vào X, với chuẩn

kT k = sup

06=x∈X

kT xkkxk , T ∈ L(X)Định nghĩa 1.1.1 Số λ ∈ K được gọi là số chính qui đối với T ∈ L(X)

i/ Số λ được gọi là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính T ∈ L(X)

nếu tồn tại x ∈ X, x 6= 0 sao cho T (x) − λI(x) = 0 Trong trường hợp

này T − λI không khả nghịch, do đó nếu λ là giá trị riêng của T thì

λ ∈ σ (T )

ii/ σ (T ) ∪ ρ (T ) = K; σ (T ) ∩ ρ (T ) = ∅

Định lý 1.1.2 Nếu X là không gian Banach thì với mọi T ∈ L(X) phổ

của T là tập con compact của K, hàm λ −→ (T − λI)−1 là giải tích trên

Do λ tùy ý, |λ| > kT k nên σ (T ) bị chặn Để chứng minh σ (T ) compact

ta còn phải chỉ ra nó đóng hay ρ (T ) mở Lấy tùy ý λ0 ∈ ρ(T ) dễ thấy

do đó T − λI khả nghịch và U ⊂ ρ(T ) Vậy ρ (T ) mở, σ (T ) compact và

λ −→ (T − λI)−1 là hàm giải tích trên ρ (T ) 2

Định nghĩa 1.1.2 Bán kính phổ của T ∈ L(X) là số

|σ (T )| = sup {|λ| : λ ∈ σ (T )} Định lý 1.1.3 Nếu X là không gian Banach và T ∈ L(X) thì bán kínhphổ

|σ (λ)| ≤ lim

n→∞kTnk1n.Chứng minh Với mỗi số tự nhiên n, ta cố định số tự nhiên k và viết

n→∞kTnkn1 Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi

λ tùy ý nên |σ (λ)| ≤ lim

n→∞kTnk1n 2

Định nghĩa 1.1.3 [5] Cho X, Y là hai không gian Hilbert và

T : X −→ Y

là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó T∗ : Y −→ X được xác định bởi

hT x, yi = hx, T∗yi , ∀x ∈ X, y ∈ Y

là toán tử tuyến tính liên tục

T∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T

1.1.4 Toán tử tự liên hợp và toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.4 [5] Giả sử X là không gian Hilbert Một toán tửtuyến tính liên tục T : X −→ X được gọi là tự liên hợp nếu T∗ = T tức

là nếu

hT x, yi = hx, T yi , ∀x, y ∈ X

Định lý 1.1.5 [5] Giả sử X là không gian Hilbert và T là toán tử tuyếntính liên tục trong X Toán tử T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu hT x, xi ∈ Rvới mọi x ∈ X

Định lý 1.1.6 [5] Giả sử X là không gian Hilbert Một toán tử tuyếntính liên tục T : X −→ X được gọi là toán tử dương nếu

hT x, xi ≥ 0, ∀x ∈ X

Nhận xét Mỗi toán tử dương là tự liên hợp

Định nghĩa 1.1.5 [5] Cho X là không gian Hilbert, M là không giancon đóng của X Khi đó, với x ∈ X , tồn tại duy nhất u ∈ M, v ∈ M⊥sao cho

x = u + v

Định nghĩa 1.1.6 [3] Một họ {Eλ}λ∈R là các phép chiếu trực giao xácđịnh trên không gian Hilbert thực X được gọi là họ phổ trong X nếu nóthỏa mãn các điều kiện sau

Mệnh đề 1.1.2 [2] Giả sử T ∈ L(X) là toán tử tự liên hợp trong khônggian Hilbert X Với mỗi λ ∈ R , xét Eλ là phép chiếu trực giao lên khônggian con đóng N (T+λ) Khi đó, {Eλ}λ∈R là họ phổ xác định trên X.Định nghĩa 1.1.7 [2] Họ {Eλ}λ∈R xác định trong mệnh đề 1.1.2 đượcgọi là phổ sinh bởi toán tử tự liên hợp (hay họ phổ của toán tử T).Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta mối liên hệ giữa họ phổ của toán tử

tự liên hợp T và tập phổ σ (T ) của nó

Mệnh đề 1.1.3 [3] Giả sử T là toán tử tự liên hợp trong không gianHilbert X với họ phổ {Eλ}λ∈R Khi đó

i) λ0 ∈ σ (T ) khi và chỉ khi Eλ0 6= Eλ0+ε, với mỗi ε > 0

ii) λ0 là một giá trị riêng của T khi và chỉ khi Eλ0 6= Eλ0+0 = lim

ε→0Eλ0+ε

; không gian con riêng tương ứng được cho bởi (Eλ0+0− Eλ0) (X) Định nghĩa 1.1.8 [3] Giả sử f : R −→ R là hàm số liên tục trên [a,b],{Eλ}λ∈R là họ phổ xác định trên không gian Hilbert X Gọi σn là phépphân hoạch đoạn [a; b], với các điểm chia λi, i = 1, , n , sao cho

a = λ0 < λ1 < < λn = b,thỏa mãn lim

Nhận xét : Dễ thấy rằng điều kiện i) trong Định nghĩa 1.1.6 là tươngđương với

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X và Y là các không gian định chuẩn Toán

tử tuyến tính T : X → Y được gọi là toán tử compact nếu ảnh f(B) củahình cầu đơn vị đóng trong X là compact tương đối trong Y

Nhận xét Nếu T là toán tử compact thì

Ví dụ về toán tử compact C[a,b] là không gian Banach cáchàm liên tục trên [a, b] với chuẩn sup Cho (x, t) 7−→ K (x, t) là hàmliên tục trên [a, b] x [a, b] Với mọi ξ ∈ C [a, b] , kí hiệu Ω (ξ) là hàm

x 7−→RabK(x, t)ξ(t)dt, x ∈ [a, b] Dễ dàng kiểm tra

[K(x, t) − K(x0, t)]ξ(t)dt

Vì K liên tục đều trên [a, b] x [a, b] nên mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 saocho nếu |x − x0| < δ thì |K(x, t) − K(x0, t)| ≤ ε với mọi t ∈ [a, b] Từ

đó với mọi η ∈ Ω (B),

|η (x) − η (x0)| < ε kξk (b − a) ≤ ε(b − a),nghĩa là Ω (B) liên tục với mọi x0 ∈ [a, b] Mặt khác nếu đặt sup |K(x, t)| =

k thì |η(t)| ≤ k(b − a) với mọi η ∈ Ω (B) , x ∈ [a, b] , do đó theo định líAscoli tập Ω (B) là compact tương đối

Định lý 1.2.3 [2] Cho X là không gian Hilbert, T : X −→ X là toán tửtuyến tính liên tục Nếu T là compact và tự liên hợp và λ ∈ σ (T ) , λ 6= 0thì λ là giá trị riêng của T

Định lý 1.2.4 [2] Cho X là không gian Hilbert, T : X −→ X là toán

tử compact và tự liên hợp Giả sử a > 0 và {yα : α ∈ A} là tập các vectơriêng trực chuẩn tương ứng với các giá trị riêng λα với λα > a Khi đó

A là tập hữu hạn

Định nghĩa 1.2.2 [2] Cho X là không gian Hilbert, T : X −→ X làtoán tử tuyến tính liên tục Nếu λ là giá trị riêng của T thì không giancon đóng N (T − λI) được gọi là không gian riêng liên kết với λ

Nhận xét Từ Định lý 1.2.4 nếu T là toán tử tự liên hợp compactthì các không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0 đều hữuhạn chiều

Nếu x ∈ N (T − λI) thì ta có

T T x = T λx = λT x,nên suy ra T x ∈ N (T − λI) Vậy không gian riêng là bất biến dưới T.Định lý 1.2.5 [2] Cho X là không gian Hilbert, T : X −→ X là toán

tử compact tự liên hợp và λ1, λ2, là một dãy các giá trị riêng khác 0của T Khi đó với mỗi x ∈ X, ta có

Cho phương trình

T x = y, (1.3.1)

với T là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert X vào không gianHilbert Y và y ∈ Y cho trước.

Nếu tồn tại toán tử ngược T−1 thì nghiệm của phương trình (1.3.1)

là x = T−1y Nếu T không khả nghịch, ta xét

T := T

N (T )⊥ : N (T )⊥ −→ R(T )

Khi đó T là song ánh tuyến tính liên tục từ N (T )⊥ lên R(T) Do đó tồntại toán tử ngược

T−1 : R(T ) → N (T )⊥

Từ nhận xét trên ta có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.3.1 [3] Toán tử ngược Moore – Penrose T+ của T ∈L(X, Y ) được định nghĩa là mở rộng tuyến tính duy nhất của T−1 trên

D T+
:= R(T ) ⊕ R(T )⊥ ⊂ Y,với N (T+) = R(T )⊥ , trong đó T := T

N (T )⊥ : N (T )⊥ −→ R(T )

Nhận xét Định nghĩa trên là hợp lí, vì N T
= {0} và R T
=R(T ) nên T−1 tồn tại Mặt khác, vì N (T+) = R(T )⊥ nên với mọi y ∈

D (T+) thì y có biểu diễn duy nhất dạng

y = y1 + y2, y1 ∈ R (T ) , y2 ∈ R(T )⊥,

do đó,

T+y = T−1y1.Định nghĩa 1.3.2 [3] Cho T là toán tử tuyến tính liên tục từ khônggian Hilbert X vào không gian Hilbert Y

(i) x ∈ X được gọi là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình(1.3.1) nếu

kT x − yk = inf {kT z − yk : z ∈ X} (ii) x ∈ X được gọi là nghiệm xấp xỉ tốt nhất của phương trình (1.3.1)nếu x là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.3.1) và

kxk = inf{kzk}

với z là nghiệm bình phương tối tiểu của (1.3.1)

Định lý 1.3.1 [3] Giả sử P là phép chiếu trực giao từ X lên N(T) và Q

là phép chiếu trực giao từ Y lên R (T ) Khi đó, ta có R (T+) = N T⊥
và

Suy ra

R T+
= N (T )⊥.(i) Với mọi y ∈ D (T+) , từ (1.3.2) ta có

T+T x = T−1T P x + T−1T (I − P ) x = (I − P ) x, ∀x ∈ X

Vậy T+T = I − P

(iii) Với mọi x ∈ X, từ (ii) ta có

(i) Tx = Qy với Q là phép chiếu trực giao của Y lên R (T )

y ∈ D T†
= R (T ) ⊕ R(T )⊥.Thật vậy, vì R (T ) ⊕ R(T )⊥ là không gian con trù mật trong Y, nên nếu

Qy ∈ R (T ) thì

y = Qy + (I − Q) y ∈ R (T ) ⊕ R (T )⊥ = R (T ) ⊕ R(T )⊥

Ngược lại, nếu y ∈ R (T ) ⊕ R(T )⊥ thì rõ ràng Qy ∈ R (T )

Định lý 1.3.3 [2] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y và y ∈ D (T+) Khi đó, x+ := T+y

là nghiệm bình phương tối tiểu duy nhất của phương trình (1.3.1) trong

N (T )⊥

Chứng minh Giả sử x, z là hai nghiệm bình phương tối tiểu củaphương trình (1.3.1) trong N (T )⊥ Khi đó (x − z) ∈ N (T )⊥ Vì x, z là

hai nghiệm bình phương tối tiểu nên Tx = Qy và Tz = Qy, do đó T(x z) = 0 hay (x − z) ∈ N (T ) Suy ra z ∈ N (T ) ∩ N (T )⊥ Vậy x = z.Mặt khác, nếu y ∈ D (T+) thì T+y là nghiệm xấp xỉ tốt nhất củaphương trình (1.3.1) trong N (T )⊥ Thật vậy, giả sử T+y /∈ N (T )⊥,khi đó tồn tại vectơ z ∈ N (T ) với kzk = 1 sao cho hT+y, zi 6= 0 Vì

-z ∈ N (T ) và y ∈ D (T+) , nên ta có

T T+y − +y, z z
= T T+y − +y, z T z = T T+y = Qy.Suy ra T+y − hT+y, zi z là một nghiệm bình phương tối tiểu của (1.3.1)

bé nhất 2

Định lý 1.3.4 [2] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, T+ : D (T+) −→ X là mộttoán tử tuyến tính đóng

Chứng minh T+ tuyến tính Vì D (T+) trù mật trong Y, nên lấy

y1, y2 ∈ D (T+) và α, β ∈ K, ta có

T T+(αy1 + βy2) = Q (αy1 + βy2) = αQy1 + βQy2

= αT T+y1 + βT T+y2 = T (αT+y1 + βT+y2) ,suy ra

T T+(αy1 + βy2) − αT+y1 − βT+y2
= 0,

do đó

T+(αy1 + βy2) − αT+y1 − βT+y2 ∈ N (T ) Mặt khác

T+(αy1 + βy2) − αT+y1 − βT+y2 ∈ R T+
⊂ N (T )⊥,

nên

T+(αy1 + βy2) − αT+y1 − βT+y2 = 0,hay

T+(αy1 + βy2) = αT+y1 + βT+y2

đó, x = T+y Vậy T+ đóng 2

Mệnh đề 1.3.1 [3] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục từ khônggian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, T+ : D (T+) −→ Xliên tục nếu và chỉ nếu R(T) đóng trong Y

Chứng minh Giả sử R(T) đóng Khi đó Y = D (T+) Theo định lí

đồ thị đóng thì T+ bị chặn Ngược lại, giả sử T+ bị chặn Khi đó T+ códuy nhất một mở rộng liên tục, kí hiệu T+ trên Y Ta có T T+ = Q Do

đó, với y ∈ R (T ), ta có

y = Qy = T T+ ∈ R (T ) Suy ra R (T ) ⊆ R (T )

Vây R(T) đóng 2

Đối với toán tử tuyến tính compact tự liên hợp, hệ riêng (λn, vn) gồmgiá trị riêng λn khác 0 và vectơ riêng tương ứng vn trực giao hoàn toànđóng vai trò rất quan trọng

Cho T là toán tử tuyến tính compact tự liên hợp.Với một hệ riêng,toán tử T sẽ được viết dưới dạng

tự liên hợp

Định nghĩa 1.3.3 [3] Cho X, Y là các không gian Hilbert và T : X −→

Y là toán tử tuyến tính compact, một hệ kì dị (σn, vn, un) được xác địnhnhư sau :

Nếu T∗ : Y −→ X là toán tử liên hợp của T thì σ2

n n∈N là các trịriêng khác 0 của toán tử tự liên hợp T∗T ( cũng như của T T∗ ), sắp xếptheo thứ tự giảm dần, σn > 0, {vn}n∈N là họ các vectơ riêng trực chuẩncủa T∗T (với {vn} spans R (T∗) = R (T∗T ) ) và {un}n∈N được xác định

un := T vn

kT vnk.{un}n∈N là một họ các vectơ riêng trực chuẩn của T T∗ ( với {un} spans

R (T ) = R (T T∗) ), và thỏa các công thức sau :

∞

P

n=1

σnhy, vni un, y ∈ Y,trong đó (iii) và (iv) được gọi là mở rộng giá trị kì dị

Nhận xét T có miền giá trị hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu có hữuhạn các giá trị kì dị Nếu có vô hạn các giá trị kì dị thì chúng phải hội

xỉ tốt nhất và được gọi là tiêu chuẩn Picard

1.4 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

T x = y, (1.4.1)

trong đó T là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Bàitoán tìm nghiệm của phương trình (1.4.1) được gọi là đặt chỉnh (well –posed) theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây :(i) Với mỗi y ∈ Y , tồn tại nghiệm x ∈ X ;

(ii) Nghiệm x được xác định một cách duy nhất ;

(iii) Sự phụ thuộc của x theo y là liên tục

Điều kiện (i) cho ta ánh xạ T là toàn ánh (hay Y = T(X)) Điều kiện(ii) chỉ ra T đơn ánh Do đó nếu điều kiện (i) và (ii) thỏa thì ánh xạkhả nghịch; điều kiện (iii) là cách phát biểu khác để chỉ ra rằng ánh xạngược cũng liên tục Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toánđặt ra đều thỏa mãn ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng khôngphải vậy Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bàitoán thực tế luôn xảy ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn sốdẫn đến kết quả sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìmnghiệm của phương trình (1.4.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh(ill – posed)

Trong phạm vi luận văn, ta xét phương trình (1.4.1) thỏa điều kiện (i)

và (ii) Từ đó nảy sinh ngay lập tức hai ý tưởng điều chỉnh để thỏa mãnđiều kiện (iii) : biến đổi không gian hay biến đổi toán tử Và phươngpháp điều chỉnh Tikhonov dựa trên ý tưởng đầu

1.5 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử loại 1

T x = y, (1.5.1)trong đó T là toán tử compact từ không gian Hilbert X vào không gianHilbert Y, y ∈ Y cho trước

Trong trường hợp tổng quát, điều chỉnh có nghĩa là xấp xỉ một bàitoán đặt không chỉnh bởi một họ các bài toán đặt chỉnh gần với nó.Định nghĩa 1.5.1 [3] Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục

từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y, α0 ∈ (0; +∞] Vớimỗi α ∈ (0; α0) , xét

Rα : Y −→ X,

là toán tử liên tục (không nhất thiết tuyến tính) Họ {Rα} được gọi làmột chiến lược điều chỉnh hội tụ, hay họ các toán tử điều chỉnh, đối với

toán tử T+ nếu với mỗi y ∈ D (T+) , tồn tại một quy tắc chọn tham số

α = α δ, yδ
sao cho

lim

δ→0 Rα(δ,yδ )yδ− T+y : yδ ∈ Y, yδ− y ≤ δ = 0, (1.5.2)trong đó

α : (0; +∞) × Y → (0; α0) ,thoả mãn

lim

δ→0α δ, yδ
: yδ ∈ Y, yδ − y ≤ δ = 0 (1.5.3)Với mỗi y ∈ D (T+) , cặp (Rα, α) được gọi là một phương pháp điềuchỉnh của bài toán Tx = y nếu (1.5.2) và (1.5.3) là đúng Phần tử xδα =

Rαyδ được gọi là nghiệm điều chỉnh của bài toán trên

Định nghĩa 1.5.2 [3] Giả sử α là qui tắc chọn tham số của phươngpháp điều chỉnh được định nghĩa ở trên Nếu α chỉ phụ thuộc vào δ màkhông phụ thuộc vào yδ , thì ta nói α là qui tắc chọn trước tham số (tiênnghiệm) và kí hiệu α = α (δ) Các trường hợp còn lại, ta nói α là quitắc chọn sau tham số (hậu nghiệm)

Định lý 1.5.1 [3] Giả sử Rα là toán tử liên tục (có thể không tuyếntính), với mỗi α > 0 Khi đó, họ Rα là chiến lược điều chỉnh đối với T+nếu

Rαy → T+y, α → 0, y ∈ D T+
Hơn nữa, với mỗi y ∈ D (T+) , tồn tại một qui tắc chọn trước tham số

α = α (δ) sao cho (Rα, α) là một phương pháp điều chỉnh sự hội tụ củaphương trình Tx = y

Trong các phương pháp điều chỉnh thì phương pháp điều chỉnh Tikhonovđược biết đến nhiều nhất vì có khả năng áp dụng rộng rãi Sau đây ta

sẽ trình bày phương pháp này trong trường hợp tuyến tính

Giả sử T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, Tikhonovđưa ra phiếm hàm điều chỉnh

Jα(x) = kT x − yk2 + αkxk2, x ∈ X (1.5.4)Phần tử xα được gọi là cực tiểu của phiếm hàm trên nếu

Định lý 1.5.2 [6] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó cực tiểu phiếm hàm (1.5.4)

là tồn tại duy nhất Hơn nữa, nó là nghiệm của phương trình

T∗T xα+ αxα = T∗y, y ∈ Y (1.5.5)Chứng minh Lấy {xn} là một dãy trong X sao cho

lim

n→∞Jα(xn) → inf

x∈XJα(x) Khi đó, với mọi m, n ∈ N ta có

Jα(xn) + Jα(xm) = 2Jα

 1

2(xn + xm)

+ 1

Bây giờ ta chứng minh xα thỏa phương trình (1.5.4) Với mỗi giá trị

x ∈ X, ta có

Jα(x) − Jα(xα) = 2Re hT xα− y, T (x − xα)i + 2αRe hxα, x − xαi

+kT (x − xα)k2 + αkx − xαk2

= 2Re hT∗(T xα − y) + αxα, x − xαi + kT (x − xα)k2+αkx − xαk2 ≥ 0

chọn x = xα+ tz, với mỗi t > 0 và z ∈ X, ta thu được

2tRe hT∗(T xα− y) + αxα, zi + t2kT zk2 + αt2kzk2 ≥ 0

Vì t > 0 nên chia bất đẳng thức trên cho t và lấy giới hạn khi t → 0,

ta thu được

Re hT∗(T xα− y) + αxα, zi ≥ 0, ∀z ∈ X

kxk = inf{kzk}

với z nghiệm bình phương tối tiểu (1. 3 .1)