Mô phỏng giao thông trong đường hầm bằng phương trình lighthill whitham richards

Mô hình LWR thu hút sự chú ý của các nhà khoa học và các kỹ sư nhất bởi vì nó đơn giản và mô phỏng được các tính chất của các hoạt động giao thông.. Tuy nhiên,vẫn còn một số hiện tượng g

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHAN THỊ NGỌC HÂN

Mô phỏng giao thông trong

đường hầm bằng phương trình Lighthill-Whitham-Richards

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHAN THỊ NGỌC HÂN

Mô phỏng giao thông trong

đường hầm bằng phương trình Lighthill-Whitham-Richards

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 36

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN QUỐC LÂN

Tp Hồ Chí Minh - 2014

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG HCM

 Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Quốc Lân

………

………

………

………

………

 Cán bộ chấm nhận xét 1: ………

………

………

………

………

 Cán bộ chấm nhận xét 2: ………

………

………

………

………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 23 tháng 08 năm 2014 Thành phần hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1………

2………

3………

4………

5………

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: PHAN THỊ NGỌC HÂN MSHV: 11240495

Ngày, tháng, năm sinh: 22/01/1986 Nơi sinh: Vĩnh Long

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 604605

I TÊN ĐỀ TÀI:

MÔ PHỎNG GIAO THÔNG TRONG ĐƯỜNG HẦM BẰNG PHƯƠNG TRÌNH

LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Làm rõ các nội dung sau đây :

Nội dung thứ nhất: Các khái niệm cơ bản

Nội dung thứ hai: Tính chất TVD cho sự ổn định của lược đồ số

Nội dung thứ ba: Xây dựng một số lược đồ TVD

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2014

IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Nguyễn Quốc Lân

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1 : TS Nguyễn Bá Thi

VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2 : PGS.TS Tô Anh Dũng

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Lời cảm ơn

Trong khoảng thời gian 4 năm học tại trường Đại học Cần Thơ, Thầy Côtrong bộ môn Toán đã tạo cho em một niềm yêu thích Phương trình đạo hàmriêng Và 3 năm sau đó, các Thầy Cô trong bộ môn Toán ở Trường Đại HọcBách khoa TP.HCM một lần nữa đã tận tâm giúp đỡ em nâng cao hiểu biết

về Giải tích Trong suốt 7 năm học đó, bạn bè chung lớp là những người giúp

đỡ em vượt qua những khó khăn trong cuộc sống, vừa là những người cộng sựcùng tiến trong chuyên môn Quan trọng hơn cả là sự động viên từ gia đình,những người đã tạo cho em niềm tin trong việc học tập từ nhỏ Em rất biết ơn

về những điều này

Em xin cám ơn thầy Nguyễn Quốc Lân, là người hướng dẫn trực tiếp emhoàn thành luận văn này Cám ơn Thầy đã cho em cơ hội được tiếp xúc với đềtài này, và cũng là cơ hội để cho em nâng cao thêm hiểu biết về Phương trìnhđạo hàm riêng Những ý kiến đóng góp của Thầy đã giúp em kịp thời chỉnh sửanhững sai sót trong luận văn Em gửi lời cám ơn đến các bạn Khánh, Huyền,Thủy và chị Yến Anh là những người bạn luôn bên cạnh động viên em trongsuốt thời gian qua

Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Phan Thị Ngọc Hân

Lời giới thiệu

Hình 1: Hình minh họa giao thông

I Đặt vấn đề

Ngày nay, kinh tế phát triển thúc đẩy giao thông ngày càng tăng Do

đó, việc mô phỏng giao thông để kiểm soát và quản lý là rất cần thiết

Lý thuyết về lưu lượng giao thông được Greenshields nghiên cứu đầu tiênvào năm 1934 Greenshields nhận ra mối tương quan giữa vận tốc và mật độ

là hàm tuyến tính bằng cách đo lưu lượng và vận tốc trên một làn giao thông.Sau đó lý thuyết về lưu lượng, mật độ, vận tốc và mối tương quan giữa chúngcũng được nghiên cứu rõ ràng hơn bằng nhiều phương pháp khác nhau Năm

1959, Greenberg đưa ra phương pháp logarit và năm 1961, Underwood đưa raphương pháp mũ để xác định vận tốc và mật độ Nhưng cả hai phương phápnày chỉ áp dụng được cho các mô hình giao thông liên tục Tuy nhiên, hầuhết các nghiên cứu trên đều tiếp cận dựa trên quan sát bằng trực giác và kinhnghiệm.

Năm 1998, Kockelman kết nối các thông tin của những người lái xe, loại

xe, mật độ và thời tiết xây dựng mô hình đa thức bình phương tối tiểu của lưulượng nhưng phương pháp này không được mở rộng và sử dụng phổ biến vì nóquá phức tạp để áp dụng

Năm 1955, Lighthill và Whitham đưa ra mô hình tổng quát về lưu lượnggiao thông trên đường cao tốc dựa vào các phân tích mối liên quan giữa lưulượng giao thông và thủy động lực học Năm 1956, Richards độc lập đưa ratiếp cận lý thuyết này theo hướng tương tự nhưng Richards nghiên cứu cácsóng sốc thông qua mật độ lưu thông còn Lighthill and Whitham nghiên cứucác sóng sốc thông qua tình trạng trì trệ của giao thông Lý thuyết tiếp cận

mô hình mô phỏng giao thông của Lighthill-Whitham và Richards giống nhaunên được gọi chung là mô hình Lighthill-Whitham-Richards (LWR)

Mô hình LWR thu hút sự chú ý của các nhà khoa học và các kỹ sư nhất bởi

vì nó đơn giản và mô phỏng được các tính chất của các hoạt động giao thông

Mô hình LWR chưa phải là mô hình tốt nhất để mô phỏng lại các hoạt độnggiao thông nhưng mô hình này đơn giản, dễ áp dụng vào thực tế và kết quảcủa mô hình này đủ cho việc kiểm soát, quản lý các hoạt động giao thông.Mặc dù, mô hình LWR có thể mô phỏng lại và cung cấp thông tin về cáchiện tượng giao thông phức tạp (hiện tượng giao thông có chứa sốc) Tuy nhiên,vẫn còn một số hiện tượng giao thông phức tạp như là: mô phỏng giao thôngtrên đường có nhiều loại xe và hiện tượng thay đổi làn xe đang chạy của ngườithực hiện giao thông thì mô hình LWR không thể mô phỏng được Gần đây,

mô hình multi-class LWR (MCLWR) được xây dựng để mô phỏng lại các hiệntượng giao thông phức tạp trên

Trong vài thập niên gần đây, có rất nhiều phương pháp số giải tìm nghiệm

xấp xỉ của mô hình LWR như là: phương pháp sai phân hữu hạn, lược đồ Friedrichs bậc nhất (1957),phương pháp Godunov (1959), lược đồ Lax-Wendroffbậc hai (1960), lược đồ MacCormack (1971), lược đồ Beam-Warming (1976), môhình bắt sốc ENO (essentially non-oscillatory)(1988), mô hình bắt sốc WENO(Weighted essentially non-oscillatory )(1994), mô hình WENO (weighted es-sentially non-oscillatory) giải mô hình LWR nhiều loại xe (2003).

Lax-Nếu xét trên một đoạn đường cao tốc giao thông có tính chất (xe khôngquay đầu, không có ngã rẽ, ) Giao thông trong đường hầm có tính chất tương

tự Do đó, luận văn sẽ dùng mô hình mô LWR mô phỏng giao thông trên đườngcao tôc để mô phỏng giao thông trong đường hầm

II Mục tiêu của luận văn

Mục đích của luận văn là xây dựng lược đồ ổn định tìm nghiệm xấp xỉ củaphương trình LWR nhằm mô phỏng giao thông trong đường hầm Riêng việc

áp dụng mô phỏng giao thông trong đường hầm Thủ Thiêm với số liệu thực tếnhư mục đích ban đầu chưa thực hiện được vì không thu thập được số liệu

III Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Luận văn này xây dựng lược đồ giải số ổn định cho mô hình LWR

1 Trình bày tính chất TVD (total-variation-diminishing) và chứng minhmột số tính chất của lược đồ thỏa mãn có tính chất TVD (gọi tắt là lược đồTVD) tìm nghiệm xấp xỉ của định luật bảo toàn vô hướng:

vào năm 1977 Tính chất TVD là một tính chất tốt cho các lược đồ tìm nghiệmxấp xỉ của định luật bảo toàn hyperbolic mà nghiệm không liên tục hoặc cósốc.

2 Xây dựng một số lược đồ TVD tối ưu chính xác bậc hai,ba và bốn.Luận văn này được trình bày với cấu trúc gồm 3 chương:

* Chương 1: Kiến thức tổng quan.

* Chương 2: Xây dựng mô hình.

* Chương 3: Giải số bằng phần mềm Matlab.

IV Những đóng góp mới của luận văn

Luận văn đã có những đóng góp sau:

- Bước đầu tiên tiếp cận mô hình mô phỏng giao thông

- Làm rõ lại chứng minh một số tính chất của lược đồ TVD và quá trìnhxây dựng các lược đồ TVD bậc 2, 3 và 4

- Mô phỏng ví dụ bằng phần mềm Matlab cho lược đồ TVD và không TVD.Giải số ví dụ bằng phần mềm Matlab chỉ ra sự ổn định của lược đồ TVD

Mục lục

1.1 Định luật bảo toàn Hyperbolic 10

1.2 Nghiệm yếu của các định luật bảo toàn 11

1.2.1 Sự không tồn tại nghiệm trơn 11

1.2.2 Nghiệm yếu và hệ thức Rankine-Hugoniot 12

1.3 Khái niệm về entropy toán học 14

1.3.1 Tính không duy nhất của nghiệm yếu 14

1.3.2 Khái niệm entropy toán học và nghiệm entropy 14

2 Xây dựng mô hình 17 2.1 Sự hình thành mô hình LWR 17

2.2 Bài toán 19

2.3 Tính chất TVD, TVB 21

2.4 Ý nghĩa của lược đồ TVD 22

Mục lục

2.5 Lược đồ bảo toàn tính đơn điệu, lược đồ đơn điệu, lược đồ tuyến

tính 24

2.6 Mối liên quan giữa lược đồ bảo toàn tính đơn điệu, lược đồ đơn điệu, lược đồ tuyến tính và lược đồ TVD 25

2.7 Bổ đề Harten 28

2.8 Xây dựng một số lược đồ TVD 29

2.8.1 Lược đồ TVD bậc hai 30

2.8.2 Lược đồ bậc TVD bậc ba 31

2.8.3 Lược đồ bậc TVD bậc bốn 35

3 Giải số bằng phần mềm Matlab 42 3.1 Bài toán ví dụ 42

3.2 Kết quả số xấp xỉ nghiệm của phương trình (3.1) bằng lược đồ không TVD bậc hai 43

3.3 Kết quả số xấp xỉ nghiệm của phương trình (3.1) bằng lược đồ TVD bậc hai và lược đồ TVD bậc ba 46

u(x, t) giá trị chính xác của nghiệm u tại vị trí x, thời điểm t.

u n j giá trị xấp xỉ của nghiệm u tại nút (x j , t n)

G( ↑, ↑, , ↑) hàm đơn điệu không giảm theo từng biến

u n = u(u n1, u n2, u n m) nghiệm rời rạc theo không gian ở bước thời gian thứ n

Chương 1

Kiến thức tổng quan

1.1 Định luật bảo toàn Hyperbolic

Cho Ω là tập mở trong Rp và hàm trơn f : Ω → R p Dạng tổng quát của địnhluật bảo toàn vô hướng một chiều:

u t + [f (u)] x = 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0 (1.1)trong đó:

b

∫

a

u(x, t)dx = f (u(a, t)) − f(u(b, t)).

Ta thấy rằng tích phân theo thời gian của hàm

Chương 1 Kiến thức tổng quan

1.2 Nghiệm yếu của các định luật bảo toàn

1.2.1 Sự không tồn tại nghiệm trơn

Xét bài toán Cauchy đối với định luật bảo toàn vô hướng:

u t + [f (u)] x = 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0

Giả sử u là một nghiệm trơn của (1.2) Đường cong đặc trưng của phương

trình đạo hàm riêng (1.2) được định nghĩa là đường cong tích phân của phươngtrình vi phân:

dx

Trong đó: [f (u)] x = a(u(x(t), t)).u(x(t), t) x

Định lý 1.2.1 Cho u là nghiệm trơn của (1.2) Khi đó, đường đặc trưng (1.3)

là đường thẳng mà dọc theo nó hàm u nhận giá trị là hằng số.

[u(x(t), t)] t = u(x(t), t) t + [u(x(t), t)] x x t

= u(x(t), t) t + a(u(x(t), t))u(x(t), t) x = 0

Vậy, đường đặc trưng là một đường thẳng có hệ số góc là a(u0(x0)) phụ

thuộc vào điều kiện đầu của bài toán Hơn nữa đường đặc trưng qua (x0, 0) có

phương trình:

Chương 1 Kiến thức tổng quan

x = x0 + ta(u0(x0))

Giả sử tồn tại hai điểm x1 < x2 sao cho a(u0(x1)) > a(u0(x2)) Khi đó, hai

đường đặc trưng qua (x1, 0) và (x2, 0) cắt nhau tại điểm P ứng với:

t = x2−x1

a(u0(x1))−a(u0(x2)) > 0

Như vậy, tại P hàm u nhận cả hai giá trị là u0(x1) và u0(x2) Do đó, hàm

u không liên tục tại P Điều kiện để hai đường đặc trưng không cắt nhau tại

t > 0 là hàm x 7→ a(u0(x)) tăng Tuy nhiên, nghiệm trơn của hệ có thể được xây dựng đến một thời điểm lớn nhất T ∗ được xác định bởi:

T ∗ = − 1

1.2.2 Nghiệm yếu và hệ thức Rankine-Hugoniot

Xét bài toán Cauchy:

Chương 1 Kiến thức tổng quan

Định nghĩa Hàm u ∈ L ∞

loc(R × [0, ∞)) p được gọi là nghiệm yếu của bài

toán Cauchy (1.4) nếu u(x, t) ∈ Ω hầu khắp nơi (h.k.n) và thõa mãn (1.5) với

Ω± → U, φ : R+ → R là các hàm khả vi liên tục Khi đó, u là nghiệm yếu

của (1.4) khi và chỉ khi u là nghiệm trơn trên từng miền Ω ± và thỏa điều kiện

Với hàm θ tùy ý trong C ∞

c (R × (0, +∞)), phương trình (1.5) được viết lại:

Chương 1 Kiến thức tổng quan

1.3 Khái niệm về entropy toán học

1.3.1 Tính không duy nhất của nghiệm yếu

t , 0 < x < t

1, x ≥ t

là hai nghiệm yếu của (1.8)

1.3.2 Khái niệm entropy toán học và nghiệm entropyCặp entropy lồi

Chương 1 Kiến thức tổng quan

Xét định luật bảo toàn tổng quát dạng (1.1) Giả sử U : Ω 7→ R là một

hàm trơn Ta nhân hai vế của phương trình (1.1) với ∇U(u) ta được:

∇U(u).u t +∇U(u).[f(u)] x = 0

⇔ ∇U(u).u t+∇U(u).Df(u).u x = 0Nếu tồn tại hàm khả vi F(u) thỏa:

thì hệ (1.1) được viết lại:

U(u) t+F(u) x = 0.

Định nghĩa

Cho Ω là một tập lồi Hàm lồi, trơn U : Ω → R được gọi là entropy của

định luật bảo toàn (1.1) nếu tồn tại một hàm trơn F : Ω → R thỏa mãn hệ

Chương 1 Kiến thức tổng quan

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào ε.

Khi đó, u là nghiệm yếu của định luật bảo toàn (1.1) và thỏa bất phương

trình entropy sau:

U(u) t+F(u) x ≤ 0 h.k.n trong R × (0, ∞) (1.12)

Xét giao thông trên đường cao tốc trong đó lưu lượng và mật độ giao thông

lần lượt được biễu diễn bởi f (x, t) và ρ (x, t) Xét trên một đoạn đường được miêu tả như hình 2.1 Tại thời điểm t, mật độ giao thông là ρ (x, t), sau thời gian ∆t mật độ giao thông là ρ + ∂ρ ∂t ∆t Trong khoảng thời gian ∆t, lưu lượng

giao thông vào và ra lần lượt là f (x, t), f + ∂f ∂x ∆x Theo định luật bảo toàn,

Chương 2 Xây dựng mô hình

Lưu lượng, vận tốc trung bình và mật độ thỏa phương trình:

Hình 2.1: Minh họa sự bảo toàn xe trên một đoạn đường

Từ mô hình LWR cho một đoạn cao tốc trên, Lighthill-Whitham-Richards

đã xây dựng phương trình LWR tổng quát sau:

Chương 2 Xây dựng mô hình

trong đó:

- q(p) là vận tốc sóng (the wavespeed).

- T là hằng số thời gian vận tốc biến thiên (the inertial time constant for

speed variation)

- D là hệ số khuếch tán (diffusion coefficient representing how vehicles

respond to nonlocal changes in traffic conditions)

với điều kiện u(x, 0) = u0(x).

Một số kết quả nghiên cứu giải phương trình (2.5) tiêu biểu:

Năm 1988, Chi-Wang Shu và Stanley Osher đưa ra mô hình bắt sốc ENO(essentially non-oscillatory) kết hợp với lược đồ TVD (total-variation-diminishing)rời rạc thời gian tìm nghiệm gián đoạn của mô hình LWR (xem [3])

Năm 1994, Xu-Dong Liu, Stanley Osher và Tony Chan đưa ra mô hìnhbắt sốc WENO (Weighted essentially non-oscillatory ) giải phương trình LWR(xem [10])

Năm 2003, Mengping Zhanga, Chi-Wang Shu, George C.K Wong và S.C.Wong đưa ra mô hình WENO (weighted essentially non-oscillatory) giải môhình LWR nhiều loại xe (xem [15])

Năm 2008, YadongLu, S.C Wong, MengpingZhang và Chi-WangShu xâydựng lược đồ tìm nghiệm entropy cho mô hình LWR với mối liên hệ giữa hàmlưu lượng và mật độ là hàm lồi, gián đoạn, bậc hai từng khúc và điều kiện đầu

là hàm tuyến tính từng khúc, điều kiện biên là hàm hằng từng khúc (xem [13])

Chương 2 Xây dựng mô hình

Năm 2010, Pierre-Emmanuel Mazaré, Christian G Claudel và Alexandre

M Bayen xây dựng phương pháp lưới tự do giải phương trình LWR (xem [20])

Từ phương trình tổng quát (2.5), ta xét trường hợp đơn giản sau:

+ T là toán tử rời rạc phi tuyến.

+ L là toán tử rời rạc phi tuyến và là xấp xỉ bậc r của toán tử không gian

+ ˜T là toán tử rời rạc phi tuyến.

+ ˜L là toán tử rời rạc phi tuyến và là xấp xỉ bậc r của toán tử không gian

£ trong (2.7)

˜

Ví dụ: Phương trình hyperbolic bậc nhất

Chương 2 Xây dựng mô hình

Chương 2 Xây dựng mô hình

2.4 Ý nghĩa của lược đồ TVD

Trong phần này, luận văn trình bày ví dụ cho thấy sự ổn định của lược đồTVD

Xét phương trình Burgers (xem [4])

Chương 2 Xây dựng mô hình

Hình 2.2: Kết quả số của nghiệm sử dụng lược đồ TVD

Hình 2.3: Kết quả số của nghiệm sử dụng lược đồ không TVD

Hình (2.2) là kết quả nghiệm sử dụng lược đồ TVD bậc hai ( lược đồ (2.12)

Chương 2 Xây dựng mô hình

Hình (2.3) là kết quả nghiệm xấp xỉ sử dụng lược đồ không TVD bậc hai ( lược

đồ (2.13)) Kết quả số cho thấy rằng, nghiệm của lược đồ không TVD bị daođộng xa nghiệm chính xác hơn so với lược đồ TVD Nghiệm xấp xỉ giải bằnglược đồ TVD ổn định hơn giải bằng lược đồ không TVD

2.5 Lược đồ bảo toàn tính đơn điệu, lược đồ

đơn điệu, lược đồ tuyến tính

* Lược đồ bảo toàn tính đơn điệu

Lược đồ sai phân được gọi là bảo toàn tính đơn điệu nếu:

* Lược đồ đơn điệu

Lược đồ sai phân có dạng

Chương 2 Xây dựng mô hình

2.6 Mối liên quan giữa lược đồ bảo toàn tính

đơn điệu, lược đồ đơn điệu, lược đồ tuyến tính và lược đồ TVD

Định lý 2.6.1 (xem [2]) Lược đồ đơn điệu có các tính chất sau:

iii/ ∥G(u) − G(v)∥ L1 ≤ ∥u − v∥.

iv/ Lược đồ đơn điệu thì TVD

Chương 2 Xây dựng mô hình

j

|u j − v j |

iv/ Thay v j = u j+1 vào iii/ ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.6.2 (xem [2]) Lược đồ TVD thì bảo toàn tính đơn điệu.

Chứng minh

Hiển nhiên

Định lý 2.6.3 (xem [2]) Nghiệm của lược đồ đơn điệu thỏa mãn tất cả các

điều kiện entropy

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh một trường hợp đặc biệt: U (u) = |u − c| với c ∈ R tùy ý.

Khi đó :

Chương 2 Xây dựng mô hình

F ′ (u) = U ′ (u).f ′ (u).

Đặt F (u) = sign(u − c)(f(u) − f(c)).

Định lý 2.6.4 (xem [2]) Lược đồ tuyến tính và bảo toàn tính đơn điệu thì

nó là lược đồ đơn điệu

Chương 2 Xây dựng mô hình

Chứng minh

Hiển nhiên

Sơ đồ mối liên quan giữa lược đồ đơn điệu, lược đồ TVD và lược

đồ bảo toàn tính đơn điệu như sau:

Bảo toàn tính đơn điệu (BTTĐĐ) (∗)

Chương 2 Xây dựng mô hình

α ik u0+ ∆t

i∑−1 k=0

c ik L(u (k))

= α i0 u(0)+

i∑−1 k=1

α ik (u (k) − ∆t k∑−1

l=0

c kl L(u (l) )) + ∆t

i∑−1 k=0

Theo bổ đề Harten, (2.17) là lược đồ TVD khi tất cả các hệ số β ik không âm

Tuy nhiên, β ik trong (2.17) có thể âm (do β ik = c ik − i∑−1

l=k+1

c lk α il ) Ta có thể

khắc phục hiện tượng β ik âm, từ đó dẫn đến lược đồ TVD bằng kết quả sau:

Định lý 2.8.1 (xem [4]) Nếu thay L bởi ˜ L (định nghĩa ở (2.9)) trong số hạng

ứng với hệ số β ik âm thì lược đồ (2.17) là TVD theo hệ số chặn CFL:

c = min

i,k

α ik

Chương 2 Xây dựng mô hình

Theo định lý (2.8.1) ta thấy rằng, để (2.17) là lược đồ TVD ta cần thay

L bởi ˜ L trong số hạng ứng với hệ số β ik âm Tuy nhiên việc này sẽ làm tăngdung lượng bộ nhớ và giảm tốc độ tính toán Do đó, ta hãy khảo sát vài trườnghợp cụ thể (lược đồ sai phân bậc hai, ba và bốn ) nhằm thiết lập sơ đồ xấp xỉ

nghiệm (2.10) ở dạng (2.17) cho tất cả β ik KHÔNG ÂM, vì thế đương nhiênthỏa mãn TVD và không cần sử dụng ˜L.

Để đạt được mục đích này, ta có thể dùng lược đồ sai phân Runge-Kutta

để có được (2.15), sau đó viết lại theo dạng (2.17) ta sẽ có được các hệ số α ik

và β ik Nhưng đáng tiếc là hầu hết các phương pháp Runge-Kutta cổ điển đều

dẫn tới các hệ số β ik âm Do đó, để có được (2.17) ta sẽ trực tiếp dùng khaitriển Taylor mặc dù tính toán khá cồng kềnh Sau đây, luận văn sẽ trình bàydùng khai triển Taylor để xây dựng một số lược đồ sai phân chính xác bậc 2,

Chương 2 Xây dựng mô hình

Từ lược đồ bậc 3 trở đi thì không thể chỉ ra trực tiếp các hệ số α ik , β ik tối

ưu theo hệ số chặn CFL c = min

i,k

α ik

|β ik | như lược đồ bậc 2 ở trên mà cần áp dụng

thuật toán BARON ( Baranch and Reduce Optimization Navigator - xem [5])

Chương 2 Xây dựng mô hình

Từ công thức (2.19) ta thấy rằng, để chứng minh các hệ số β ik âm chỉ cần

chứng minh c ik âm Khai triển Taylor (2.7) và đồng nhất các hệ số ta được(xem [6]):

Chương 2 Xây dựng mô hình

Chương 2 Xây dựng mô hình

Từ (1) và (2) suy ra điều vô lý

+ Trường hợp 3: α3 = 0 Thay α3 = 0 vào (2.20) ta được: