Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp lực dựa trên tích phân số

DANH M C CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT A Diện tích tiết diện b x Ma trận nội suy chuyển vị D Chuyển vị của phần tử không xét chuyển vị cứng trong hệ tọa... P Lực của phần tử trong hệ tọa đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG – HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS NGÔ H CƯỜNG

Cán bộ chấm nhận xét 1 : T H Đ C

Cán bộ chấm nhận xét 2 : PGS.TS NG N TH HI N Ư NG

uận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 30 tháng 08 năm 2014

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

,

N

,

,

h

06 201

mối quan h t i tr ng-chuy n v ng x c a h k t c u

,

–

ớ ố – Lobatto ố

ố – vi c chia

–

–

ớ

ớ ớ qua các

số ch ng t s

phi tuy n

This thesis presents in details how to develop a structural analysis program to simulate the behavior of planar structural steel frame system under static loading accurately and efficiently So it can predict the load-displacement relation and spread of plasticity behavior of the structural system

The analysis program uses force-based method considering nonlinear geometric, nonlinear material, residual stress effects and it is established by Matlab programming language based on Newton-Raphson algorithm combined with constant work method and Gauss-Lobatto numerical integration method to increment the loading automatically during analysis process The Gauss-Lobatto numerical integration is used in dividing both cross section and element to simulate the spread of plasticity across the cross section and along the element length Along the element length, each element is divided into several Gauss-Lobatto integration points to update the changes in stiffness of structures due to the geometric and material nonlinearities The cross section at each integration point is divided into many Gauss-Lobatto points to easily add residual stress for each fiber following ECCS model Results obtained from the developed analysis program by force-based method were compared with authors’ results in the world through numerical examples to prove the accuracy and efficiency of the analysis program in predicting the nonlinear behavior of the structural system

Tôi xin

n

ONI (FOrce-based FEM using constant work method and Numerical Intergration)

ONI

–

Minh

06 2014

N

DANH M C HÌNH VẼ 3

DANH M C BẢNG BIỂU 6

DANH M C CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 7

C HƯƠNG I TỔNG QUAN 9

I.1 Đặt vấn đề/Giới thiệu 9

I.1.1 Phân tích kết cấu 9

I.1.2 Phi tuyến hình học 9

I.1.3 Phi tuyến vật liệu 10

I.2 Tình hình nghiên cứu 11

I.2.1 Phân tích vùng dẻo bằng phương pháp chuyển vị 11

I.2.2 Phân tích phi tuyến kết cấu bằng phương pháp lực 12

I.3 Mục tiêu của đề tài 13

I.4 Cấu trúc luận văn 14

C HƯƠNG II MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 15

II.1 Giới thiệu 15

II.2 Mô hình phần tử hữu hạn 15

II.2.1 Mô hình dầm cột điển hình 15

II.2.2 Mô hình vật liệu 15

II.2.3 Ma trận độ mềm phần tử 16

C HƯƠNG III H T N G ẢI PHI ẾN HƯƠNG NH NG NG 33

III.1 Giới thiệu 33

III.2 Thuật toán Newton-Raphson 33

III ậ đ ề n n 34

III.4 Chi tiết quá trình phân tích 36

III.4.1 Mô hình phần tử 36

III.4.2 Trường hợp phần tử có chuyển vị cứng 38

III.4.3 Chuyển từ tọa độ địa phương sang tọa độ tổng thể 41

III.4.4 Xác định trạng thái phần tử 42

III.4.5 Cập nhật vị trí trục trung hòa lõi còn đàn hồi của mặt cắt 42

III.4.6 Cập nhật tọa độ phần tử 43

III.4.7 Ứng suất dư 44

III.4.8 Tích phân Gauss - Lobatto 45

III đ ậ n 45

III.6 Kết luận 48

C HƯƠNG IV VÍ D MINH HỌA 49

IV.1 Giới thiệu 49

IV.2 Các ví dụ phân tích 50

IV.2.1 Dầm consol chịu tải trọng uốn 50

IV.2.2 Dầm hai đầu ngàm chịu tải trọng uốn 54

IV.2.3 Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm 56

IV.2.4 Cột đầu ngàm đầu khớp chịu tải trọng uốn nén đồng thời 58

IV.2.5 Khung cổng Vogel 1 tầng 62

IV.2.6 Khung 2 nhịp 1 tầng 66

IV.2.7 Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou 70

IV.2.8 Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali 72

C HƯƠNG V KẾT LU N VÀ HƯ NG H T ỂN I 77

V.1 Kết luận 77

V.2 H ớng phát triển đề tài 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

DANH M C HÌNH VẼ

Hình II-1 Phần tử dầm - cộ đ ển hình 15

Hình II-2 Mô hình vật liệu đàn dẻ ệ đ 16

Hình II-3 Phần tử dầm - cột trong hệ tọa độ địa p ơn 16

Hình II-4 Phần tử dầm - cột trong hệ tọa độ tổng thể 17

Hình II-5 Biến dạng của mặt cắt 17

Hình III-1 Thuậ n n- ap n và n- ap n ệ n 33

H n III-2 ơ đ n ọa ậ n đ ề n n n đổ 35

H n III- n p ần tử dầm - cột 36

Hình III-4 Mô hình lấ đ ể p n a - a ề dà p ần ử 37

Hình III- C a đ ểm tích phân Gauss-Lobatto ở p ần ử và ặt cắt 37

Hình III-6 Chuyển vị và lự a đầ nú ó xé đến chuyển vị cứng 38

Hình III-7 M i quan hệ chuyển vị giữa hệ xét và không xét chuyển vị cứng 38

Hình III-8 M i quan hệ lực nút giữa hệ xé và n xé đến chuyển vị cứng 39

Hình III-9 Sự dịch chuyển trụ n a ủa n đàn i 43

Hình III-10 Sự a đổi tọa độ của phần tử 44

Hình III-11 Mô hình ứng suấ d V 44

Hình III-12 Đ ểm lấ p n a - a dọ ề dà p ần ử 45

Hình III-1 đ x địn ạn ế ấ 46

Hình III-14 đ x địn ạn p ần ử 47

Hình IV-1 Dầ n ị ọn n 51

H n IV-2 ể đ an ệ ự – ển vị ầ n 51

Hình IV-3 Ản ởn đ ểm lấ p n dọ p ần ử ầm consol 52

Hình IV-4 Ản ởn đ ểm lấ p n n ặ ắ 53

H n IV- Ản ởn ứn ấ d n ầ n 53

H n IV- ệ dẻ ủa ặ ắ n an ầ n 54

Hình IV-7 Dầ a đầu ngàm chịu t i trọng u n 55

H n IV- ể đ an ệ ự - ển vị ủa ầ a đầ n à 55

H n IV- ệ dẻ ủa ặ ắ n an ầ a đầ n à 56

Hình IV-10 Cộ a đầu khớp chị nén đún 57

Hình IV-11 Đ ờn n ờn độ Cộ a đầu khớp chị nén đún 57

Hình IV-12 Cộ đầ n à đầu khớp 59

Hình IV-13 Biể đ quan hệ lực - chuyển vị Cộ đầ n à đầu khớp 59

Hình IV-14 Ản ởng của đ ểm lấ p n dọ p ần ử 60

Hình IV-15 Ản ởng của đ ểm lấ p n n ặ ắ 60

Hình IV-16 Ản ởng của ứn ấ d Cộ đầ n à đầu khớp 61

Hình IV-17 TL ch y dẻo của mặt cắt ngang (%) Cộ đầ n à đầu khớp 61

Hình IV-18 Khung cổng Vogel 1 tầng 62

Hình IV-19 Biể đ quan hệ lực - chuyển vị Khung Vogel 1 tầng 63

Hình IV-20 Ản ởng của đ ểm lấ p n dọ p ần ử 64

Hình IV-21 Ản ởng của đ ểm lấ p n n ặ ắ 64

Hình IV-22 Ản ởng của ứn ấ d n V 1 tầng 65

Hình IV-23 T lệ ch y dẻo (%) của mặt cắt ngang Khung Vogel 1 tầng 65

Hình IV-24 Khung 2 nhịp 1 tầng 66

H n IV-2 ể đ an ệ ự – ển vị n 2 n ịp 1 ần 67

Hình IV-26 Ản ởng của đ ểm lấ p n dọ p ần ử 68

Hình IV-27 Ản ởng của đ ểm lấ p n n ặ ắ 68

Hình IV-28 Ản ởng của ứn ấ d n 2 nhịp 1 tầng 69

Hình IV-29 T lệ ch y dẻo (%) của mặt cắt Khung 2 nhịp 1 tầng 69

Hình IV-30 Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou 70

H n IV- 1 ể đ an ệ ự – ển vị n 2 n ịp 4 ần 71

Hình IV-32 T lệ ch y dẻo của mặt cắt ngang (%) Khung 2 nhịp 4 tầng 72

Hình IV-33 Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali 73

Hình IV-34 Biể đ quan hệ lực - chuyển vị Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali 74

Hình IV-35 ệ dẻ ủa ặ ắ n an n 1 n ịp 4 ần 75

DANH M C BẢNG BIỂU

n IV-1 Định dạng dữ liệu nhập vào của ơn n 49

n IV-2 n ệ ớ ạn u ủa ầ n 51

n IV- n ệ ớ ạn u ủa ầ a đầ n à 55

n IV-4 B ng so sánh về t i tới hạn Cộ a đầu khớp 58

n IV-5 So sánh t i tới hạn Pu ủa Cộ đầ n à đầu khớp 59

n IV-6 Thông s tiết diện Khung Vogel 1 tầng 62

n IV-7 So sánh hệ s t i tới hạn u Khung Vogel 1 tầng 63

n IV-8 Thông s tiết diện Khung 2 nhịp 1 tầng 66

n IV-9 So sánh t i tới hạn Pu Khung 2 nhịp 1 tầng 67

n IV-10 Thông s tiết diện Khung 2 nhịp 4 tầng Kukreti và Zhou 71

n IV-11 So sánh hệ s t i cực hạn u Khung 2 nhịp 4 tầng 71

n IV-12 Thông s tiết diện Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali 73

n IV-13 So sánh hệ s t i cực hạn u Khung 1 nhịp 4 tầng Kassimali 74

DANH M C CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A Diện tích tiết diện

b x Ma trận nội suy chuyển vị

D Chuyển vị của phần tử không xét chuyển vị cứng trong hệ tọa

P Lực của phần tử trong hệ tọa độ địa p ơn n

xét chuyển vị cứng

'

P Lực của phần tử trong hệ tọa độ địa p ơn ó xé

chuyển vị cứng

P Lực của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể

Q Lực tập trung tác dụng vào hệ kết cấu

x y Hệ tọa độ địa p ơn

w Lực phân b đều tác dụng vào hệ kết cấu

 Tọa độ tự nhiên của phần tử x

hương TỔNG QUAN

I.1 ặt vấn đề/Giới thiệu

I.1.1 Phân tích kết cấu

Phân tích kết cấu là quá trình x định trạng thái ứng suất, biến dạng và chuyển

vị của hệ kết cấ d ới tác dụng của ngoại lực P ơn p p p n ện đan

đ ử dụn chủ yếu là phân tích đàn i ến n xem quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu là tuyến tính và n xé độn p ến n ọ Ư đ ểm nổi bật của p ơn p p nà à đơn n, ó n n n và áp dụng

đ p ơn p p ộng tác dụng cho nhữn ờng h p t i trọn n a để gi i quyết bài toán thiết kế Ản ởn ủa độn phi tuyến hình học và p ến vật liệu đ ể n ếp thông qua các công thức thiết kế hoặ ệ s đơn i n nào

đó đ đề xuất trong các tiêu chuẩn Tuy nhiên p ơn p p nà n n ấp bất cứ thông tin nào về kh năn ịu lực cực hạn, đ ờng quan hệ lực - chuyển vị thực của kết cấu, đ n ờ ũn n đ n đ n ởng của các yếu t

n ứng suấ d và a ệch hình họ an đầu Do vậ p ơn p p nà a

ph n n đún n chất chịu lực của ệ kết cấu

Để khắc phụ đ ểm yếu trên, ần đ ẩn ện đạ n ế ớ

đề x ấ p ơn p p ế ế ự ếp dựa và phân tích phi tuyến kết cấ P ơn pháp này ó ể mô p n sự làm việc ủa ệ ế ấ gần n với sự làm việc thực Do việc phân tích ph i qua nhiề ớc lặp và ph i cập nhật lại ma trận độ cứng kết cấu sau từn ớc gia t i nên kh ng, ờ an n n và ữ dữ liệu sẽ rất lớn

I.1.2 Phi tuyến hình học

Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có xét đến n ởng của sự thay đổi hình học trong quá trình chịu lực và sự phân b ứng suấ d an đầu trong cấu kiện Cho nên ma trận độ cứng ó xé đến n ởng phi tuyến hình học sẽ ó

ẩn ển vị đó p ơn p p phân tích phi tuyến hình họ ờng ph i dùng

ủ ụ lặp gia t i từn ớc do sự a đổi hình học của kết cấu Sự a đổi hình học của kết cấ đạ đ c ở ớ n n ớ à ơ ở cho v ệ àn ập p ơn trình cân bằng và quan hệ động học ớc tính toán hiện tại, kết qu của ớc tính hiện tạ à đ ều kiện an đầu của ớc kế tiếp a đó

I.1.3 Phi tuyến vật liệu

Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có kể đến ứng xử ngoài miền đàn i của vật liệu Có ha p ơn p p ơ n ờn đ c các nhà nghiên cứu sử dụng khi phân tích kết cấ ép p đàn à p ơn p p khớp dẻo và p ơn p p vùng dẻo Sự khác biệ ơ n của a p ơn p p này là cách mô ph ng sự ch y dẻo của phần tử

P ơn p p ớp dẻo gi thiết sự ch y dẻo ch x y ra trong một vùng nh ở

a đầu phần tử, phần còn lạ đ c gi thuyết vẫn n đàn i Khi ự dẻ ở

P ơng pháp vùng dẻo chia ấ ện àn n ề phần tử con dọc theo chiều dài và chia mặt cắt ngang thành nhiều thớ ừ đó p ơn p p nà mô ph ng đ động của phi tuyến hình học, sự lan truyền dẻo trong phần ử và dễ dàn ể đến độn ơn ữa ến dạn dọ ụ , n, x ắn và p n ự tái bền, ứng suấ d , ứn xử ễ ủa vậ ệ Đ n ờ nó ó ể n đ n ự lan truyền dẻo

và kh năn ịu lực của khung ơn đ n x Do ph i chia nhiều phần tử và thớ nên kh n n n và ữ dữ liệu ủa p ơn p p v n dẻ là khá lớn vậ , p ơn p p nà ờn đ d n à ơ ở để đ n độ n

ậ ủa p ơn p p p n

I.2 ình hình nghiên cứu

I.2.1 Phân tích vùng dẻo bằng phương pháp chuyển vị

sử dụn mô hình vật liệ đàn dẻo tuyệ đ i b qua sự n ởng của tái bền và

p ơn p p n ằn để a ự độn

Đ àn ọc Tịnh Nghiêm (2010) [4] sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để phân tích vùng dẻo cho khung thép phẳng chịu t i trọn động Ản ởn ủa phi tuyến

hình học và phi tuyến vật liệu ũn đ x xé đ ử dụn mô hình vật liệ đàn dẻo có xét n ởng của tái bền tuyến tính

Đặng Ngọc C nh (2010) [5] sử dụng p ơn p p phân tích vùng dẻo khung thép không gian ị ọn n ó xé đến phi tuyến vật liệu, phi tuyến hình học

và ứng suấ d

I.2.2 Phân tích phi tuyến kết cấu bằng phương pháp lực

a Nước ngoài

Cùng với sự phát triển của p ơn p p chuyển vị p ơn p p ự ũn

đ c các nhà a ọ nghiên cứu và phát triển mạnh trong nhữn nă ần đ Cụ thể:

Neuenhofer và Filippou (1997) [6] sử dụng p ơn p p ực để kh o sát phi tuyến vật liệu của kết cấu mà b qua phi tuyến hình học So sánh kết qu phân tích

vớ p ơn p p ển vị và đ a a n ữn đ ểm của p ơn p p ực

Neuenhofer và Filippou (1998) [7] đ sử dụn p ơn p p nội suy chuyển vị dựa và độ cong (CBDI) để xé đến phi tuyến hình học bổ sung cho các nghiên cứu

ớc

De Souza (2000) [8] sử dụng nguyên lý Hellinger - Reissner cho phần tử dầm

cột Euler - Bernoulli chuyển vị lớn để xây dựng ma trận độ mề ó xé đến phi tuyến hình học và p ến vật liệu để phân tích phi tuyến khung thép phẳng và khung không gian

Scott MH (2004, 2008) [9][10] p dụn p ơn p p ự để ứn xử

p ến ủa ế ấ n n ép

Scott MH (2012) [11] phân tích phi tuyến kết cấu bằn p ơn p p ực ó xét đến n ởng phi tuyến hình học, p ến vật liệu và gradient chuyển vị của phần tử

I.3 ục tiêu của đề tài

p ần ử ơn và p dụn đ c ọ ế d ện n n đ bộ nhớ ữ - xử

lý dữ liệu và gi m ờ an phân tích à vẫn đạ độ n x ần ế

P ơn p p v n dẻ ó ể đ n ộ n x ự an ền dẻ

dọ ề dà p ần ử và đ x à p ơn p p để ể ứn ự đún đắn p ơn p p p n

Mục tiêu chủ yếu của luận văn nà là nghiên cứu việc thiết lập ma trận độ

mề để phân tích khung thép phẳng có kể đến n ởn ủa phi tuyến vật liệu, phi tuyến hình học, ứng suấ d bằn p ơn p p ực Cụ thể:

- ử dụn lý thuyế p ơn p p ực xây dựng ma trận độ mềm phần tử để mô

ph ng ứng xử phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu, ứng suấ d

- Xây dựng mộ ơn n ứng dụng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để tự động hóa tính toán

I.4 ấu trúc uận văn

Luận văn m có 5 ơn n a :

C ơn I: Tổng quan

C ơn II: Mô hình phần tử hữu hạn

C ơn III: Thuật toán gi i phi tuyến và ơn n ứn dụn

C ơn IV: Ví dụ minh họa

C ơn V: Kết luận và ớn p ển đề ài

hương MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

II.1 Giới thiệu

C ơn nà trình bày việc thiết lập n phần tử hữu hạn trong hệ ọa độ địa p ơn để mô t ứng xử p đàn i của kết cấu khung thép bằn p ơn p p lực Nguyên lý Hellinger - Reissner đ ử dụn để xây dựng ma trận độ mềm phần tử ó xé đến n ởng của phi tuyến vật liệu và phi tuyến hình học C ển

vị ứn n đ xé đến i quan hệ giữa nội lực mặt cắt và lực

a đầu nút, ữa biến dạng mặt cắt và chuyển vị a đầu nút, ữa ứng suất và biến dạng trong hệ ơ n Những biểu thứ nà à ơ ở để phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằn p ơn p p ực

II.2 Mô hình phần tử hữu hạn

II.2.1 Mô hình dầm cột điển hình

Xét phần tử dầm - cột có chiều dài L chịu t i phân b w và lực tập trung Q Lực ở ha đầu p ần ử bao g m lực nén, lực cắt và moment Các chuyển vị

p ơn ự ơn ứn đ c biểu diễn theo chiề d ơn n Hình II-1

Hình II-1 Phần tử dầm - cột điển hình

II.2.2 Mô hình vật liệu

n vật liệu đ sử dụng là n đàn dẻ ệ đ a ự n

ởn ủa ền n Hình II-2

Hình II-2 Mô hình vật liệu đàn dẻo tuyệt đối

II.2.3 Ma trận độ mềm phần tử

Neuenhofer và Filippou (1998) [7] và De Souza (2000) [8] đ n à

p ơn p p ết lập ma trận độ mềm phần tử dựa n à năn ng Hellinger - Reissner n a :

a Hệ tọa độ

Xét một phần tử dầm - cột trong khung phẳng, ó a đầu nút là I, J:

- Trong hệ tọa độ địa p ơn x, n Hình II-3: Phần tử có 3 bậc tự do: Một chuyển vị dọc trục uJ và a ó x a θI và θJ ơn ứng với 3 lực ở đầu nút là P, MI,

MJ C v ơ lực và chuyển vị đ ể d ễn dạn :

1 2 3

I J

J I J

u D

- Trong hệ tọa độ tổng thể (X,Y) n Hình II-4: Phần tử có 6 bậc tự do: hai chuyển vị theo trục Y, hai chuyển vị theo trục X và hai chuyển vị xoay t ơn ứng với 6 lực ở đầu nút C v ơ lực và chuyển vị đ ể d ễn dạn :

Xét mặt cắt tại mộ đ ểm bất kỳ của phần tử dầm cột n Hình II-5

Hình II-5 Biến dạng của mặt cắt

Biến dạng của phần tử phẳng đ ể ện:

( ) sin( ( ))( , )

( , ) ( , ) ( ) 1 cos( ( ))

0( , )

x y z

 là góc xoay do biến dạng của mặt cắt

Vì chuyển vị là nh a ó: sin tan và cos 1 nên từ công thức (4) ta

đ c:

( )( )

( , ) ( ) tan( ( ))( , ) ( , ) ( ) ( )

( , )

x y z

y x

xx

u u

2

         (8)

với '  ' 2

0

1( ) ( ) ( )

2

    ( )x ''( )x (9)

là biến dạng dọc trục và biến dạng cong của mặt cắ ơn ứng

Biểu diễn (8 d ới dạng ma trận ( , )x y a y d x( ) ( ) (10)

P ơn n p ần tử đ c thiết lập dựa trên nguyên lý Hellinger-Reissner

n ờng h p này thì ch có duy nhất lực dọc khác không, dạng chuyển vị đ c trình bày ở công thức (5) và quan hệ ơn đ c trình bày ở công thức (7)

Để p dụn n n ý Hellinger-Reissner thì ph i tuân theo gi thuyết sau:

- Ngoại lực tác dụng vào phần tử dầm cộ đ c duy trì

- Thuộc tính vật liệu là Hyperelastic

Từ gi thuyết ngoại lự đ c duy trì ta có thế năn ủa ngoại lực đ c biểu diễn: ( )

Với t là lực tác dụng trên vùng t của biên phần tử 

Từ gi thuyết thuộc tính vật liệu là Hyperelastic, nếu t n tại mộ à năn

ng dự trữ ( )W  thì ứng suất dọc trục  đ c biểu diễn

( )( )

Với các gi thuyết trên theo nguyên lý Hellinger-Reissner xé đến năn

n n p ơn n ến dạng Green-Lagrange ở công thức (7) ta có thế năn toàn phần của phần tử

u u

với  là thể tích an đầu của phần tử

lấy tích phân trên toàn bộ diện tích A và dùng chuyển vị ở trục tham chiếu

0

( )( ) ( ,0)

''

1( , ) T 2 ( ) T

dA N

T HR

Biểu thứ 2 đ x n à n n ý n o hay hình thức yếu của

p ơn n cân bằng Biểu thức (26) thể hiện đ c biến dạng của mặt cắt

T HR

Tích phân công thức (29) bằn p ơn p p p n ừng phần và áp dụng

đ ều kiện biên u(0)(0)( )L 0 0 a đ c:

dN x dx

Từ (32) ta thấy giá trị N n a đổ Lấy n n à 2 lần và áp đặt các

đ ều kiện biên từ (33) ta có:

M i liên hệ giữa lực mặt cắt ( )S x và lự a đầu nút phần tử đ ể d ễn ở

  à ọa độ ự n n dọ p ần ử

e Hình thức yếu của phương trình tương thích

P ơn n ơn đ c viết lại khi thay các biểu thức vào (28)

2

d N x dx

f Mối quan hệ cơ bản của mặt cắt

M i quan hệ ơ n của mặt cắt giữa lực mặt cắt S(x) và biến dạng mặt cắt d(x) đ c x định bởi tích phân m i quan hệ ữa ứng suất và biến dạng trên c mặt cắt

Thay công thức (10) vào công thức (20 đ c kết qu là m i quan hệ mặt cắt:

( )

( ) ( ) ( , ) y ( , )( ) ( )

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Ma trận độ mềm phần tử phi tuyến hình học dựa n p ơn p p ực đ c

x định bằng cách lấy vi phân chuyển vị a đầu nút D theo lực ha đầu nút P của phần tử, D

d f S

0 0 0( ) ( )

( )

1 0 0( )

gọi là chu i Lagrangian và ph i th a đ ều kiện l j( ) i j

Để thuận tiện trong quá trình tính toán, chu i ( )l j  đ c biểu diễn d ới dạng:

l  l         G (58)

Chuyển vị ( )x đ x định nhờ vào m i quan hệ động học ( )x "( )x

đó ị ( ) x đ c bằng cách lấy tích phân 2 lần độ cong ( ) x , a đ c:

Chuyển vị dọc theo phần tử đ c biểu diễn là tập h p tất c các chuyển vị tại

đ ểm lấy tích phân đ c biểu diễn:

Ta thấy l ch phụ thuộc vào * i d đó a trận này ch tính một lần và nó

n a đổi trong su t quá trình tính toán nế p ơn p p p n không

N P

N P

N P

j

j i

j

j i

* 22 2

* 22 3

( ) ( )( )( 1)( )

Biểu diễn (74 d ới dạng ma trận là: Ba*