Một số ứng dụng lý thuyết tôi ưu vào bài toán kiểm soát ô nhiễm nước mặt

TÓM TẮT Việc xây dựng các mô hình toán học nhằm đánh giá, dự báo mức độ ô nhiễm môi trường đã trở nên phổ biến, tuy nhiên vấn đề tối ưu hóa các biến điều khiển nhằm giám sát nghiêm ngặt

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Bùi Tá Long

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 31 tháng 12 năm 2011

Tp HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2011

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Đức Lộc Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 27-03-1980 Nơi sinh : TP Hồ Chí Minh Chuyên ngành: Toán ứng dụng MSHV : 09240484

sử dụng giải bài toán đặt ra trong hai nghiên cứu này

 Xem xét kết quả giải số

 Đề xuất một số ứng dụng

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :19/02/2011

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 2/12/2011

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TSKH Bùi Tá Long

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TSKH Bùi Tá Long PGS.TS Nguyễn Đình Huy

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy hướng dẫn- Phó Giáo Sư Tiến sĩ Khoa học Bùi Tá Long – Trưởng phòng Tin học Môi trường, Viện Môi trường và Tài nguyên, Đại học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh, người đã luôn khuyến khích, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể Thầy, Cô giáo phòng Đào tạo sau Đại học, Bộ môn Toán Ứng Dụng- Khoa Khoa học Ứng Dụng-Trường Đại học Bách Khoa- Đại học Quốc Gia Tp HCM đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, những người thân yêu nhất, đã luôn khích lệ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua

Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể các bạn K2009 lớp cao học Toán ứng dụng – những người bạn yêu quí đã luôn đồng hành, giúp

đỡ và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập

Nguyễn Đức Lộc

TÓM TẮT

Việc xây dựng các mô hình toán học nhằm đánh giá, dự báo mức độ ô nhiễm môi trường đã trở nên phổ biến, tuy nhiên vấn đề tối ưu hóa các biến điều khiển nhằm giám sát nghiêm ngặt chất lượng nước còn ít được quan tâm, nghiên cứu Việc nghiên cứu tìm ra trạng thái tối ưu có ý nghĩa thực tế rất lớn đó là giúp các nhà quản lý môi trường ít tốn kém nhất

Nội dung chủ yếu của luận văn này là trình bày hai nghiên cứu gần đây ứng dụng phương pháp tiếp cận điều khiển tối ưu để tìm ra trạng thái cân bằng giữa mục tiêu phát triển kinh tế - xã hội và bảo vệ môi trường

ABSTRACT

The development of mathematical models to assess and forecast the pollution

of environment has become popular, but the control optimization problem of the control variables to monitoring water quality has not been much interested Research optimal state has a great significance that helps managers reduce environmental costs

The main content of this thesis is to present two recent studies applied optimal control to find the equilibrium between socioeconomic development and environmental protection

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN I TÓM TẮT II ABSTRACT II MỤC LỤC III DANH MỤC HÌNH IV

MỞ ĐẦU 1

Tính cấp thiết của luận văn 1

Mục tiêu của luận văn 2

Nội dung công việc thực hiện 2

CHƯƠNG 1 3

TỔNG QUAN TÀI LIỆU 3

1.1 Nghiên cứu ngoài nước 3

1.2 Nghiên cứu trong nước 5

CHƯƠNG 2 8

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU GIÁM SÁT CHẤT LƯỢNG NƯỚC KÊNH SÔNG – TRƯỜNG HỢP MỘT NGUỒN XẢ THẢI 8

2.1 Đặt vấn đề 8

2.2 Các không gian hàm 9

2.2.1 Một số ký hiệu 9

2.2.2 Không gian Sobolev 10

2.3 Các bước giải bài toán 14

2.4 Đặt bài toán điều khiển tối ưu 18

2.4.1 Hàm hiệu suất 18

2.5 Xây dựng nghiệm xấp xỉ cho bài toán điều khiển 21

2.6 Lời giải số 26

2.6.1 Phương pháp hạt 26

2.6.2 Mô hình TVD (Total Variation Diminishing) 28

2.6.3 Hạt-lưới nội suy 29

2.6.4 Phương pháp điều khiển tối ưu 29

2.7 Kiểm nghiệm lời giải số 30

CHƯƠNG 3 36

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU GIÁM SÁT CHẤT LƯỢNG NƯỚC KÊNH SÔNG – TRƯỜNG HỢP NHIỀU NGUỒN 36

3.1 Đặt vấn đề 36

3.2 Mô hình thủy lực 40

3.3 Mô hình chất lượng nước 41

3.4 Đặt bài toán điều khiển tối ưu 42

3.5 Sự tồn tại nghiệm bài toán điều khiển 49

3.6 Kết quả số 53

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHỤ LỤC 60

PHỤ LỤC 60

Ι HÀM GREEN 60

ІІ HÀM DIRAC DELTA 61

DANH MỤC HÌNH

Hình 2-1 Nghiệm tại thời điểm T = 10 được chỉ ra (dấu +) dọc theo nghiệm chính xác

(đường liên tục) 31

Hình 2-2 Cao trình mực nước tại độ cao tại thời điểm T=0.24 32

Hình 2-3 Vận tốc tại thời điểm T = 0.24 32

Hình 2-4 Nồng độ nhân với cao trình tại thời điểm T = 0.24 33

Hình 2-5 Điều kiện ban đầu của chất ô nhiễm 34

Hình 2-6 Sự thay đổi của nồng độ trong quá trình chạy phép lặp 35

Hình 2-7 Nồng độ chất ô nhiễm sau khi hội tụ tại T = 0.24 35

Hình 3-1 Hoạt động của hệ thống hồ chứa vạn năng Vistula trên cao 36

Hình 3-2 Sự vận hành của hệ thống hồ chứa trên sông Vistula 37

Hình 3-3 Sự gia tăng tối ưu của lưu lượng từ các hồ chứa xả vào tại điểm x 0 53

Hình 3-4 Chuỗi giá trị tối ưu của BOD trong lưu lượng nước sông tại điểm x=0 54

Hình 3-5 Chuỗi giá trị tối ưu của Clorua tại điểm x = 0 54

Hình 3-6 Chuỗi giá trị tối ưu tốc độ xử lý BOD tại điểm x x1 55

Hình 3-7 Sự giảm của hàm chi phí 55

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của luận văn

Công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước là vấn đề sống còn của đất nước Trong thời gian qua đất nước chúng ta đã chú trọng kêu gọi đầu tư để phát triển công nghiệp, sản xuất đem lại nhiều lợi ích và sản phẩm cho con người Tuy nhiên mặt trái của quá trình phát triển kinh tế xã hội là ô nhiễm đến môi trường bởi những hoạt động sản xuất này Điển hình là có nhiều nhà máy xí nghiệp sản xuất đã xả nước thải chưa bảo đảm vệ sinh theo quy định của nhà nước ra hệ thống kênh sông dẫn tới chất lượng nước hệ thống kênh rạch và các hồ vốn đã ô nhiễm lại càng ô nhiễm hơn Do đó việc kiểm soát ô nhiễm ở nước ta cần phải được nghiên cứu kỹ từ khía cạnh lý luận cũng như thực tiễn

Luận văn tập trung tìm hiểu ứng dụng của lý thuyết điều khiển tối ưu vào bài toán kiểm soát ô nhiễm môi trường nước mặt kênh sông Vấn đề cần được giải quyết là phải đưa ra các giải pháp nhằm cải thiện chất lượng nước với chi phí thấp nhất Về mặt quản lý nhà nước đó là tìm kiếm sự cân bằng giữa yêu cầu cần thiết của sản xuất và phát triển với bài toán bảo vệ môi trường với chi phí thấp nhất hay chi phí có thể chấp nhận được Hiện nay kết quả nghiên cứu theo hướng này ở Việt Nam còn khá khiêm tốn Có rất ít nghiên cứu cơ bản liên quan chưa nói gì đến nghiên cứu ứng dụng

Tính cấp thiết của đề tài này là:

o Hiện nay vấn đề bảo vệ môi trường được quan tâm hơn bao giờ hết, nghiên cứu ứng dụng toán trong bài toán môi trường là công việc hết sức cần thiết

và cấp bách

o Nhu cầu giải bài toán hài hòa giữa mục tiêu phát triển kinh tế - xã hội với phát triển bền vững về mặt môi trường là rất lớn Tuy nhiên vấn đề này còn ít xuất hiện trong các nghiên cứu của các nhà khoa học Việt Nam

o Cần thiết phải luận chứng cả về mặt lí luận lẫn thực tiễn bài toán chi phí cho mục tiêu bảo vệ môi trường Làm sao cho giá thành đạt giá trị bé nhất trong hoàn cảnh các doanh nghiệp hiện nay đang thiếu vốn cho phát triển

Mục tiêu của luận văn

Bước đầu tìm hiểu một số nghiên cứu ứng dụng lý thuyết tối ưu kiểm soát chất lượng nước, chịu ảnh hưởng của nguồn thải trên thế giới Trên cơ sở nghiên cứu sẽ đưa ra đề xuất cho những ứng dụng thực tế tại Việt Nam

Nội dung công việc thực hiện

Để đạt được mục tiêu trên, trong Luận văn này sẽ thực hiện các nội dung sau:

o Tổng quan các nghiên cứu liên quan tới bài toán kiểm soát ô nhiễm nước mặt trên kênh sông được thực hiện trong thời gian vừa qua tại một số nước trên thế giới

o Tìm hiểu hai nghiên cứu liên quan tới điều khiển tối ưu cho mục tiêu giám sát chất lượng nước mặt Tập trung làm rõ các phương pháp toán học được

sử dụng giải bài toán đặt ra trong hai nghiên cứu này

o Xem xét kết quả giải số

o Đề xuất một số ứng dụng

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN TÀI LIỆU

Trong thời gian qua các hoạt động kinh tế xã hội đã diễn ra chủ yếu dọc theo các lưu vực sông dẫn tới sự gia tăng ô nhiễm cho các dòng sông.Vấn đề ô nhiễm các dòng sông đã và đang đặt ra cho công tác bảo vệ môi trường nước ta những nhiệm vụ mới, đặc biệt là ứng dụng các phương pháp mô hình toán nghiên cứu cơ

sở cho các giải pháp giảm thiểu, khống chế ô nhiễm tới mức có thể chấp nhận được

Để giải quyết nhiệm vụ này việc nghiên cứu kinh nghiệm của các nước đi trước trong lĩnh vực mô hình hóa là việc làm cần thiết trong khuôn khổ bài toán bảo vệ môi trường và phát triển bền vững Trong nghiên cứu này tập trung vào ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu nhằm giải quyết bài toán kiểm soát ô nhiễm nước kênh sông Đây là lĩnh vực được quan tâm và thực hiện tại nhiều nước trên thế giới

1.1 Nghiên cứu ngoài nước

Trong công trình [3] (Xây dựng mô hình quản lí chất lượng nước sông nhằm tối

ưu hóa kinh phí xử lý nước thải cấp vùng dựa trên thuật toán gen) đặt ra mục tiêu kiểm soát chất lượng nước kênh sông và tối ưu hóa chi phí xử lý nước thải cấp vùng cho toàn bộ lưu vực sông Các tác giả đã đề xuất cách tiếp cận dựa trên mô hình quản lí chất lượng nước bằng thuật toán genetic (GA) và mô hình toán học mô phỏng chất chất lượng nước Mô hình xây dựng trong công trình này đã được áp dụng trên con sông Youngsan, nơi mà chất lượng nước đã bị suy giảm do phải tiếp nhận nguồn thải có chứa kim loại nặng từ thành phố Kwangju và các vùng phụ cận

đổ xuống Các nguốn ô nhiễm, hiện trạng sử dụng đất trồng, đặc điểm địa lí và dữ liệu đo đạc được ở lưu vực con sông này đã được tổng hợp lại trong hệ thống cơ sở

dữ liệu về thông tin môi trường bằng phần mềm Arc/View Với hệ thống CSDL này, mô hình quản lí giúp tính toán biện pháp xử lí và phí tổn khi xử lí cho từng nhà máy xử lí nước thải dọc theo lưu vực con sông Youngsan Từ trước tới nay, chính sách xử lí nước thải ở những con sông bị ô nhiễm ở Hàn Quốc đã được tiến hành, đầu tiên là xây dựng những nhà máy nhỏ tại những vùng chưa xử lí được, và thứ hai

là xây dựng hệ thống xử lí hiện đại ở những khu vực sông mà nước ở đó bị ô nhiễm

nặng và không đáp ứng được chỉ tiêu của Bộ Tài Nguyên &Môi Trường đưa ra Bốn kịch bản không sử dụng phương pháp GA đã được xem xét và kết quả này được so sánh với kết quả của mô hình sử dụng GA Kết quả cho thấy, mô hình GA

là ưu việt hơn so với bốn dự án không sử dụng GA theo tiêu chí chất lượng nước và tổn phí xử lý

Công trình [4] (Điều chỉnh lưu lượng dòng chảy cho mục tiêu phục hồi chất lượng nước ở một đoạn sông: Mô hình hóa và tối ưu) nghiên cứu giải pháp tối ưu hóa hệ thống kiểm soát chất lượng nước bằng phương pháp số Bài toán này xuất hiện trong quản lý môi trường hồ chứa nhằm khắc phục hậu quả do một khúc sông

bị ô nhiễm Bằng cách sử dụng mô hình toán học và kỹ thuật tối ưu, đã đưa ra cách đặt vấn đề bằng công cụ toán (bằng bài toán kiểm soát tối ưu dạng hyperbol có ràng buộc), và đưa ra được giải pháp rời rạc đầy đủ Trong công trình đã đề nghị ra một phương án Gradient để giải quyết bài toán trên, và trình bài kết quả là một con số thực tế

Một mô hình toán học đơn giản đã được đề xuất ra trong quá trình nghiên cứu

về chất lượng nước của một con sông thuộc một vùng công nghiệp [5] (Kiểm soát lưu lượng và chất lượng nước của một con sông thuộc vùng công nghiệp) Công trình xem xét ô nhiễm nhiệt và đã ứng dụng mô hình để tính toán sự phụ thuộc các biến trạng thái (thể hiện tình trạng ô nhiễm), vào các tham số điều khiển Các tác giả đã đưa ra được các phương trình toán học giữa các biến số này Mô hình đã được áp dụng cho bài toán kiểm soát tối ưu chất lượng nước kênh sông và trên phạm vi lưu vực của nó, có lưu ý những ràng buộc về quy chuẩn trong và ngoài nước Cơ sở khoa học trong công tác quản lý và kiểm soát dựa trên mô hình toán học cũng đã được các tác giả xem xét và đề xuất

Công trình [6] nghiên cứu ứng dụng mô hình toán kiểm soát nước thải ô nhiễm vùng giao tiếp giữa cửa sông và biển Bài báo xem xét mô hình toán hai chiều mô phỏng diễn biến ô nhiễm nước ở những khu vực nước nông Bằng phương pháp lấy tích phân các tác giả đã đưa bài toán hai chiều về bài toán một chiều và sau khi ứng dụng các phép biến đổi toàn cục sẽ khảo sát phương trình nhận được Bài toán tối

ưu cũng được xem xét để kiểm soát nước thải

Trong [7] đề xuất mô hình toán nghiên cứu chất lượng nước kênh sông chịu ảnh hưởng của nước xả thải công nghiệp Công trình này tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của ô nhiễm nhiệt Mô hình đề xuất được ứng dụng để làm rõ các biến trạng thái và các tham số điều khiển Công trình này đã xét tới phương trình liên hợp và

có sử dụng các phương pháp tối ưu trong nghiên cứu những ràng buộc với các quy chuẩn nhà nước ban hành về chất lượng nước

Công trình [8] nghiên cứu hai mô hình về chu trình chất dinh dưỡng trong hệ sinh thái nước Mô hình đầu tiên là mô hình chu kì dinh dưỡng đơn lẻ (nitơ, phốtpho, ), được thiết lập ra bởi Antonios-Hallam vào năm 1984, gồm hệ thống sinh vật tiêu thụ tự do phụ thuộc mật độ cá thể và hệ thống phụ thuộc điều khiển

Mô hình thứ hai, được đưa ra bởi Antonios vào năm 1987, là một mô hình hệ sinh thái dưới nước hai cấp bao gồm hai nhóm dinh dưỡng bổ sung và hai biến điều khiển Qua đó, bằng sự xem xét ảnh hưởng nồng độ của nitơ và/hay phốtpho cùng

hệ thống điều khiển của hệ thống sinh vật này, một vài bài toán tối ưu được đề xuất Cuối cùng, nhiều phương pháp bằng số được đưa ra để giải quyết các bài toán tối

1.2 Nghiên cứu trong nước

Nồng độ ôxy hòa tan trong một con sông là một chỉ số phản ánh mức độ trong sạch chung của nó Tất cả các dòng sông đều có một khả năng tự làm sạch nhất định của chúng Với điều kiện là việc xả thải các chất có nhu cầu về ôxy nằm trong khả năng tự làm sạch của một con sông, hàm lượng DO vẫn được duy trì ở mức độ cao Khi lượng chất thải tăng lên, khả năng tự làm sạch của dòng sông bị quá tải, hàm lượng DO trong nước sông bị suy giảm, từ đó dẫn đến những thay đổi bất lợi trong đời sống của hệ thủy sinh (thực vật và động vật) trong sông

Một trong những công cụ chính của việc quản lý chất lượng nước sông là đánh giá khả năng hấp thu chất thải của dòng sông (khả năng tự làm sạch của dòng sông) Điều này được tiến hành bằng cách xác định diễn biến nồng độ DO trong các dòng thải ra sông Diễn biến này gọi là đường cong lõm DO bởi vì nồng độ DO lúc đầu bị giảm xuống nhanh cùng lúc với các vật chất có nhu cầu về ôxy trong dòng thải bị ôxy hóa và sau đó từ từ tăng lên dọc theo đường chuyển nước cùng lúc với

sự nạp lại dần ôxy từ khí quyển cho dòng chảy

Vào năm 1925, Streeter và Phelps đã công bố một công trình về “đường cong thiếu hụt DO” trong sông Ohio Các kết quả này cho phép giải thích sự giảm

đi của DO theo khoảng cách theo hướng dòng chảy của sông do sự phân huỷ BOD,

và phương trình toán này được mang tên phương trình Streeter – Phelps

Hệ phương trình Streeter – Phelps cho dòng chảy trên kênh sông được mô tả như sau :

- Cs = nồng độ ôxy bão hòa

- Ct = nồng độ ôxy ở thời điểm t

- Lt = nồng độ chất hữu cơ, được đo bằng BOD ở thời điểm t

- K1 = hệ số tốc độ phân hủy các chất hữu cơ hay hằng số tốc độ tiêu thụ ôxy do quá trình phân hủy các chất hữu cơ (ngày-1)

- Ka = hệ số tốc độ hòa tan ôxy qua mặt thoáng (ngày-1) (gọi ngắn gọn là hệ

số thấm khí)

- u - là vận tốc trung bình của dòng chảy

Trong trường hợp dòng chảy ổn định, Streeter và Phelps đã nhận được một

số kết quả quan trọng gồm:

Độ thiếu hụt DO là một hàm số theo khoảng cách so với nguồn và vận tốc dòng chảy:

Từ năm 2003 trở lại đây Viện Môi trường và Tài nguyên TP Hồ Chí Minh

đã thực hiện một loạt các đề tài, trong đó đã cho ra đời những phần mềm Streeter, EnvimQ2K, giúp tính toán sự pha loãng chất ô nhiễm Các kết quả này có thể tìm thấy trong công trình [1] Bên cạnh đó lời giải số cho một số bài toán lan truyền chất trên kênh sông được xét trong công trình [15]

CHƯƠNG 2

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU GIÁM SÁT CHẤT LƯỢNG NƯỚC KÊNH SÔNG

– TRƯỜNG HỢP MỘT NGUỒN XẢ THẢI

Phân tích đánh giá tác động môi trường do nước thải xả vào hệ sinh thái nước là đối tượng nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học như đã đề cập trong chương trước Các bài toán ở đây liên quan tới giám sát nghiêm ngặt lượng nước thải đổ vào sao cho môi trường sinh thái vẫn có thể chịu đựng được Tiêu chuẩn ràng buộc ở đây là phải làm cực tiểu hóa hàm giá trị nhằm đạt được tiêu chuẩn về chất lượng nước Trong chương này xem xét trường hợp ứng dụng lý thuyết toán học điều khiển tối ưu trong giám sát chất lượng nước kênh sông trong trường hợp có duy nhất một nguồn xả thải

2.1 Đặt vấn đề

Mô hình được sử dụng rộng rãi nhất để mô tả hiện tượng vật lý trong quá trình lan truyền chất gây ô nhiễm bao gồm tải, phân tán và biến đổi sinh hóa trong quá trình lan truyền Phương trình này được mô tả như sau:

trong đó c là nồng độ chất ô nhiễm, u là vận tốc dòng chảy, v> 0 là hệ số phân tán,

a0 > 0 tương ứng là hệ số phân hủy T là thời gian thực theo lý thuyết và v(t) tải lượng ô nhiễm tại một điểm xả cố định d tại thời điểm t,  d( )x  d(xd) là hàm Dirac tại cố định điểm d u là vận tốc liên quan đến cao trình mực nước được mô tả bằng các phương trình nước nông (SWE)

t x v x

trong đó

Bài toỏn điều khiển tối ưu bao gồm việc tỡm biến điều khiển v làm cực tiểu hàm chi phớ:

Do đó: nếu thì thác triển liên tục tới với mọi đa chỉ số ,   k

    ký hiÖu c¸c kh«ng gian Sobolev

2.2.2 Không gian Sobolev

2.2.2.1 Định nghĩa không gian Sobolev

Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là số nguyên âm Ta định nghĩa các không gian hàm mà thành phần của nó có đạo hàm yếu nằm trong không gian L p

Định nghĩa 1 Không gian Sobolev

 

Wk

p U

là bao gồm tất cả những hàm khả tổng địa phương :u U   sao cho với mỗi đa

chỉ số ,   , đạo hàm yếu D u k  tồn tại và thuộc p 

L U Chú ý Nếu p = 2 ta có

esssup .

p

k p

p U k U

H U

Định nghĩa 2 Nếu 1 

f H U ,

    0 

0 1

2.2.2.3 Không gian phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn

Định nghĩa 1 Không gian

ess

2 ( )

hằng số C chỉ phụ thuộc vào T,U và m

2.3 Các bước giải bài toán

• V* là không gian đối ngẫu của V

• , tính đối ngẫu giữa V và V*

• R X1  là tập các đa thức thực với bậc lớn hơn hoặc bằng 1

• c c c1, ,2 3 vµ c là các hằng số dương bất kỳ 4

Phần dưới đây xem xét các giả thiết liên quan tới phương trình (2.1)

H(2.1): Vận tốc tại các biên được cho như sau u t a , 0 vµ ut b,  0

0

L a b c thuéc vµ thuéc V v L T

Mệnh đề 2.1: Giả sử thừa nhận H(2.1)-H(2.2) khi đó nếu nghiệm của bài toán

(2.1)-(2.2) tồn tại trong W(0,T) thì nó là duy nhất

Không mất tính tổng quát và bằng cách đổi biến  ,  t  , 

1

2

Trong đó α là hằng số tương ứng bằng min(v,α1) và c(t) = c(t,x) ∊ V

Chúng ta nhân (2.1) bởi c và sau đó lấy tích phân trên Q để có được

Điều vô lý này suy ra tính duy nhất của nghiệm c ∊ W(0,T)

Định lý 2.1 Giả sử điều kiện (2.9) thỏa, khi đó bài toán (2.1)-(2.3) có một

nghiệm yếu c ∊ W(0,T)

Chứng minh: Giả sử   i i hệ cơ sở trong V Sử dụng phương pháp xấp xỉ của Galerkin, hiển nhiên có nghiệm gần đúng c t n  n i 1 i t  i



 Thế vào (2.1) ta nhận được các phương trình vi phân thông thường trong  i:

0 1

Còn lại ta phải chứng minh rằng 2 *

Trong không gian nhiều chiều hơn, nghiệm phương trình trạng thái (2.21) được đưa ra theo phương pháp biến đổi Lions và Magenes và thỏa mãn tính đồng nhất thức Green

Bài toán điều khiển tối ưu được mô tả như sau:

Tìm tải lượng vG tại một điểm xả d sao cho chi phí được xác định bởi: ad

L2 là chuẩn của giới hạn Biến điều khiển v phụ thuộc tập G điều khiển chấp nhận ad

được Trong nghiên cứu này, không gian của điều khiển là

của hàm J (để từ đó ta nhận được nghiệm gần đúng để điều khiển tối ưu)

Định lý 2.2: Giả sử ta có (2.9), khi đó bài toán điều khiển (2.1) và (2.27) có nghiệm

trong đó hàm trạng thái liên hợp p thỏa dạng sau

trong trong

Chứng minh: để ngắn gọn, ta chia chứng minh thành hai bước

Bước 1: chứng minh sự tồn tại một giá trị cực tiểu

Trước hết, toán tử vc v  là một hàm affine Phiếm hàm cần tối ưu có thể viết dưới dạng

2 2

Đưa vào xem xét biến trạng thái liên hợp p p t x ,  và nhân cả hai bên của

phương trình vi phân (2.37) với p và sau đó lấy tích phân theo không gian và thời

trong trong

   , 

(2.41)Biểu thức gradient ∇J dựa trên biến liên hợp được áp dụng để xây dựng thuật toán điều khiển tối ưu

2.5 Xây dựng nghiệm xấp xỉ cho bài toán điều khiển

Từ quan điểm ứng dụng ta đưa ra bài toán (2.1) về dạng

Định lý 2.3: Giả sử điều kiện elliptic (2.9) được thực hiện, khi đó ta nhận được

hội tụ yếu

c   trong c W0,T

(2.46)Chứng minh

e e

        2 *

0, , , trong

d

suy ra sự hội tụ yếu c   trong c W0,T 

Định lý 2.4 Giả sử H(2.1)-H(2.2) được thỏa, khi đó ta có hội tụ mạnh

trong ad

0, ; trong

a có

lim sup j   j,nhưng

0 ,2

sử dụng các bất đẳng thức lim supj   j J w,  lim inf j   và do tính duy nhất j

của minimum, ta nhận được

Phần còn lại ta còn phải chứng minh sự hội tụ mạnh của u  về u Đối với mục

   

1

0 0 , p ( p)