Experimental study and modeling of damage kinetics induced by matrix transverse cracking in carban

Notations ag, bg Paramètres intervenant dans la loi g2σeq traduisant la nonlinéarité du matériau E11 Module du pli unidirectionnel suivant la direction des fibres E22t Fonction de relax

Je tiens à remercier toutes les personnes qui m’ont aidé et m’ont soutenu, de près comme de loin, durant ma Thèse et mes années d’études en France…

J’exprime ma reconnaissance à M José MENDEZ, Directeur du Laboratoire

de Mécanique et Physique des Matériaux (LMPM), pour m’avoir accueilli au sein

de son unité

Je tiens sincèrement à remercier mon Directeur de Thèse, M Denys GAMBY, Professeur à l’ENSMA, pour son encadrement scientifique, son soutien, ses encouragements et sa patience tout au long de mon parcours

Je suis très reconnaissant envers notre «consultante scientifique», Mme Marie-Christine LAFARIE-FRENOT, Professeur à l’Université de Poitiers, pour la qualité de ses connaissances et remarques dont elle m’a fait profiter tout au long

de mon travail

Je voudrais exprimer ma plus grande gratitude à Messieurs les Professeurs Christian HOCHARD et Fodil MERAGHNI d’avoir accepté d’être rapporteurs de ce mémoire, à Monsieur le professeur Francis COLLOMBET d’avoir présidé le jury, à

M GAMBY et Mme LAFARIE d’avoir bien voulu également jugé mon travail

J’adresse également mes sincères remerciements à Monsieur DOAN Son, professeur à l’Université de Poitiers, qui m’a permis de réaliser mes études

Sommaire 9

Notations 15

INTRODUCTION 21

Références 24

CHAPITRE 1 : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 27

1.1 Endommagements dans les stratifiés croisés 27

1.2 Fissuration sous chargement monotone 28

1.2.1 Généralités sur la fissuration transverse 28

1.2.2 Modèles d’analyse des contraintes et de prédiction de l’évolution de la densité de fissures 28

1.2.3 Influence de la vitesse de chargement 30

1.3 Fissuration sous chargement de fatigue 31

1.3.1 Etude expérimentale de la fissuration transverse 31

1.3.2 Modélisation de la fissuration en fatigue 33

1.4 Conclusion 35

Références 36

CHAPITRE 2 : ETUDE EXPERIMENTALE DE LA FISSURATION SOUS CHARGEMENT MONOTONE 43

2.1 Introduction 43

2.2 Matériaux, protocoles et techniques expérimentales 43

2.2.1 Matériaux et éprouvettes 43

2.2.2 Montage expérimental 47

2.2.3 Moyens d’observation de la fissuration 50

2.3 Résultats expérimentaux issus des essais monotones 52

2.4 Autres essais de fissuration sous chargement monotone : phénomène de fissuration «diffuse» 54

2.4.1 Motivations 54

2.4.2 Conditions expérimentales 55

2.4.3 Résultats de l’observation de la fissuration 56

Références 62

CHAPITRE 3 : MODELISATION ET SIMULATIONS DE LA FISSURATION SOUS CHARGEMENT MONOTONE - INFLUENCE DE LA VITESSE DE CHARGEMENT 65 3.1 Introduction 65

3.2 Identification du comportement viscoélastique du pli unidirectionnel 66

3.2.1 Loi de comportement dans le cas d’une sollicitation 1D transverse 66

3.2.2 Procédure de caractérisation du matériau 67

3.3 Simulation viscoélastique 1-D linéaire de la fissuration 74

3.3.1 Schématisation du stratifié et hypothèses préliminaires 74

3.3.2 Choix d’un modèle 76

3.3.3 Réponse du stratifié sain 77

Notations

ag, bg Paramètres intervenant dans la loi g2(σeq) traduisant la nonlinéarité du matériau

E11 Module du pli unidirectionnel suivant la direction des fibres

E22(t) Fonction de relaxation du pli unidirectionnel suivant une direction orthogonale aux

fibres

( ) 1

f Valeur moyenne de la fonction f sur l’épaisseur 2h1 de la couche centrale à 90o

( ) 2

f Valeur moyenne de la fonction f sur l’épaisseur h2 de la couche extérieure à 0o

( )

Gmax Taux de restitution d’énergie pour l’apparition de la première fissure transverse

G12, G23 Modules de cisaillement du pli unidirectionnel

( ) 2

2 22

J11 Complaisance du pli unidirectionnel suivant la direction des fibres (J11=1/E11)

J0=J20 J22(t=0), valeur « instantanée » de la fonction de fluage J22(t)

R Rapport de charge en fatigue (=Fmin/Fmax = smin smax)

a1, a2 Coefficients de dilatation thermique longitudinal et transversal du pli

unidirectionnel

f

g Taux de restitution d’énergie critique évoluant au cours du chargement cyclique

(obtenu après N cycles pour un chargement d’amplitude constante)

INTRODUCTION

Dans les industries aérospatiale et aéronautique, les composites stratifiés à fibres longues de carbone et à matrice époxyde, qui présentent d’excellentes propriétés mécaniques spécifiques, ont pris une place importante dans certaines pièces de structures Par exemple, l’Airbus A380 est doté d’un caisson central de voilure en composites à matrice organique renforcée de fibres longues de carbone

En France, une étude sur le successeur de Concorde a été lancée depuis 2000 dans le cadre

du programme de « Recherche Aéronautique sur le Supersonique » soutenu par le Ministère de la Recherche et par le Ministère de l’Equipement, des Transports et du Logement Par rapport à Concorde, qui était essentiellement réalisé en alliages d’aluminium, le gain de masse demandé sur la structure est d’environ 30% Des matériaux composites à matrice organique sont alors utilisés dans une grande partie de la structure De plus, le nouvel avion devra être conçu pour avoir une durée de vie trois à quatre fois supérieure à celle du Concorde, avec environ 20000 vols

et une vitesse voisine de Mach 2 Dans ce type d’application, les matériaux composites constitutifs des parties structurales de l’avion sont soumis à des chargements mécaniques cycliques et à des variations de température qui dépendent de la phase du vol, subsonique ou supersonique La Figure I représente la variation typique de température subie par la structure au cours d’un vol Lorsque l’avion prend de l’altitude, la température diminue jusqu’à environ -50

°C En passant à la vitesse supersonique (Mach 2), compte-tenu du frottement de l’atmosphère et

du froid ambiant à haute altitude, les températures des surfaces sont de l’ordre de 120°C, suivant l’endroit considéré La température élevée et les contraintes dues au vol peuvent provoquer des déformations de fluage et une oxydation du matériau Ces deux phases qui se répètent des milliers de fois peuvent entraîner la fatigue en présence de variations d’environnement Le développement des structures dans de telles conditions pose le problème de la durabilité et de la tolérance au dommage ; ceci conduit à la forte nécessité de connaître les performances à long terme des matériaux susceptibles d’être retenus

Dans ce contexte, l’endommagement dans les stratifiés est un phénomène complexe qui résulte de plusieurs modes de dégradation, souvent simultanés, comme la fissuration matricielle,

le délaminage entre les couches et la rupture des fibres Sous l’influence des sollicitations monotone ou cycliques, mécaniques ou thermiques, la fissuration transverse dans la matrice est

d’autres mécanismes d’endommagement plus dangereux L’étude de ce phénomène est donc indispensable afin d’assurer l’intégrité de la structure

Figure I Histoire de température subie par l’avion durant un vol supersonique

Ce travail de recherche vient en complément d’un contrat accordé par le Ministère de la Recherche et de la Technologie au Laboratoire de Mécanique et Physique des Matériaux (LMPM-CNRS UMR n°6617) rattaché à l’Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ENSMA), à Poitiers, France L’objectif principal est d’étudier les influences de

la vitesse de sollicitation monotone et de la fréquence sur la cinétique d’endommagement par multi fissuration dans la matrice des stratifiés carbone/époxyde de type [0m/90n]S, sous chargement monotone ou de fatigue La confrontation entre l’expérience, provenant d’une base

de données expérimentales du LMPM, des essais réalisés dans le cadre de cette thèse, et les simulations numériques obtenues par des modèles analytiques proposés dans ce mémoire, constituent l’essentiel de ce document

Ce mémoire est divisé en 7 chapitres :

- Dans le premier chapitre, une bibliographie très sélective présente quelques résultats provenant de la littérature et concernant principalement l’évolution de la densité de fissures

CHAPITRE 1 : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

L’évolution des dégradations dans des stratifiés composites, dans le contexte

« supersonique » par exemple, est un phénomène complexe qui résulte de différents modes d’endommagements souvent couplés, comme la fissuration matricielle, le délaminage entre les couches et la rupture des fibres, etc Devant la complexité du problème, les chercheurs essaient d’étudier tous les mécanismes physiques de dégradation, d’abord en les dissociant puis en étudiant les interactions possibles, afin de construire des modèles fiables de prévision

Dans un stratifié à fibres longues, sous l’influence de sollicitations monotones ou cycliques, mécaniques ou thermiques, la « fissuration transverse » est en général le premier endommagement observé dans la matrice d’un pli le plus désorienté par rapport à l’axe de sollicitation Des fissures transverses peuvent apparaître très tôt dans la durée de vie de la structure et elles peuvent être les zones d’amorçage pour d’autres mécanismes d’endommagement plus dangereux L’étude de la fissuration transverse est donc importante pour assurer l’intégrité de la structure

D’abord une brève description des différents modes d’endommagement dans les stratifiés composites à fibres longue est présentée Ensuite, on expose certains résultats concernant l’évolution de la fissuration transverse sous des sollicitations monotones quasi-statiques ou cycliques

Sous l’influence de chargements thermomécaniques, monotones ou cycliques, les principaux modes d’endommagement, dans un stratifié croisé à fibres longues, peuvent être classés en quatre catégories [1] :

- Fissuration transverse : il s’agit de fissures qui traversent toute l’épaisseur des couches les plus désorientées par rapport à l’axe de sollicitation Des micro-défauts au sein du matériau (comme des vides, des fibres cassées, le décollement fibre/matrice ou des microfissures de la matrice) peuvent être à l’origine de ces fissures amorcées par une forte concentration de contrainte locale Ces fissures sont assez rectilignes et généralement perpendiculaires aux interfaces entre les couches adjacentes

- Fissuration longitudinale : Il s’agit de fissures qui sont analogues aux précédentes, apparaissent toujours dans la matrice et sont perpendiculaires aux interfaces des couches, mais qui traversent toute l’épaisseur des couches orientés à 0o par rapport à l’axe de sollicitation

élevées près des bords, le délaminage s’amorce généralement à cet endroit, puis progresse en séparant les couches

- Rupture des fibres : c’est un dernier mécanisme qui va généralement conduire à la rupture finale de l’éprouvette

Dans de nombreuses situations (notamment lors d’un impact) la fissuration matricielle et le délaminage sont des phénomènes fortement couplés (Collombet, [2, 3]) Dans la suite, nous nous intéressons principalement au comportement de stratifiés croisés [0m/90n]S dans des conditions expérimentales telles que la fissuration transverse soit le mode d’endommagement prépondérant

1.2.1 Généralités sur la fissuration transverse

Les premières études expérimentales sur le mécanisme de fissuration transverse dans des stratifiés [0m/90n]S sont celles de Garrett et Bailey [4], Parvizi et Bailey [5], Reifsnider [6] vers

1977 Ces auteurs ont observé et caractérisé le développement de la fissuration transverse au cours d’essais monotones Ils ont montré que les fissures transverses s’amorcent sur les bords libres de l’éprouvette et se propagent immédiatement dans la section droite de la couche à 90o L’augmentation du nombre de fissures commence après un certain délai nécessaire à l’apparition

de la première fissure (« first ply failure ») ; le nombre de fissures atteint finalement une valeur stable, dépendant des constituants et de la séquence d’empilement, qui caractérise une saturation

de ce type d’endommagement (« CDS : Characteristic Damage State ») Plusieurs études expérimentales plus récentes ont confirmé qualitativement ces résultats [7-9]

1.2.2 Modèles d’analyse des contraintes et de prédiction de l’évolution de la

densité de fissures

Un grand nombre de travaux expérimentaux ont été réalisés pour identifier et caractériser les paramètres physiques et géométriques gouvernant l'initiation, la multiplication et la saturation des fissures transverses sous chargement mécanique ou thermique Ceci a conduit les chercheurs

à proposer des modèles qui permettent de prévoir ces phénomènes L’analyse mécanique de l’évolution de l’endommagement dans le composite consiste en deux étapes principales La première a pour but de décrire la répartition des contraintes dans le stratifié composite en présence d’endommagement Cette étape utilise souvent une description approchée des champs mécaniques La deuxième étape consiste en l’utilisation d’un critère de rupture afin de prévoir le développement de l’endommagement

Dans la littérature une quantité considérable de travaux ont proposé différentes méthodes pour représenter le champ des contraintes La méthode des éléments finis employée par certains auteurs [10-13] est utile pour vérifier la qualité des modèles analytiques Le modèle analytique le plus souvent utilisé est le modèle dit de type « shear-lag » Han et al [14] et Hahn et Johannesson

[15] ont proposé un modèle « shear-lag » simple Lee et Daniel [16] ont proposé un modèle de type « shear-lag complet » pour prendre en compte la variation de la contrainte normale dans l’épaisseur des couches à 0o des stratifiés [0m/90n]S Cette approche est utilisée par Berthelot et al

[17] Un bon accord avec les calculs par éléments finis est observé par ces auteurs Ogi et Takao

[18] ont étendu le modèle de type « shear-lag » bidimensionnel élastique de Lim et Hong [19] au cas viscoélastique L’étude de Nairn et Mendels [20] a fait un classement des modèles de type

« shear-lag » et a montré une grande efficacité alliée à la grande simplicité des modèles de ce type Une comparaison plus complète et plus détaillée des différents modèles, ainsi que le choix

du modèle utilisé dans le cadre de cette étude, sont présentés au chapitre 3 de ce mémoire Une fois la répartition des contraintes obtenue, l’étape suivante est l’utilisation d’un critère

de rupture afin de prévoir l’évolution de l’endommagement (fissuration transverse dans cette étude) Soden et al [21] ont fait la comparaison systématique d’un grand nombre de critères de rupture statique pour des stratifiés composites Guedes [22] et Brinson [23] ont utilisé le critère

de Reiner-Weissenberg (R-W) qui suppose que c’est la valeur de la partie déviatorique de l’énergie libre qui décide de la rupture En appliquant ce type de critère à quelques polymères, Guedes [22] a montré que la valeur de l’énergie libre critique dépend de la vitesse de déformation

Parzivi et al [24] ont proposé un critère basé sur la valeur critique du taux de restitution d’énergie associée à la formation d’une nouvelle fissure Plusieurs auteurs ont utilisé le même critère afin de décrire la fissuration [14, 25-28] Caslini et al [25] ont utilisé un modèle de type

« shear-lag » pour obtenir les contraintes puis calculer le taux de restitution d’énergie G associé à l’initiation de la première fissure supposée traversante immédiatement dans l’épaisseur et la largeur de l’éprouvette Han et al [14] et Hahn et al [28] ont utilisé le critère du taux de restitution d’énergie critique et ces auteurs ont mis en évidence, pour plusieurs types de stratifiés, une augmentation du taux de restitution d’énergie critique lors de l’augmentation de la densité de fissures Vinogradov et Hashin [29] ont rappelé que les valeurs critiques de la contrainte ou de la déformation des couches fissurées dépendent du type d’empilement du stratifié Ils ont proposé

un critère énergétique probabiliste qui permet d’obtenir une meilleure reproduction de la forme des courbes de fissuration dans le domaine des petites densités de fissures

Jendli, Meraghni et al [30] ont mis en évidence expérimentalement l’influence de la vitesse

de déformation sur l’endommagement dans un composite à fibres courtes (SMC-R26) Une gamme assez large de vitesse de déformation, de 2´10-4 s-1 à 2,5´102 s-1, a été étudiée Les mesures à différentes échelles, microscopique (microfissures de la matrice et décohésion fibre/matrice) et macroscopique (diminution du module d’Young du matériau endommagé) ont montré qualitativement une forte dépendance des endommagements vis-à-vis de la vitesse de sollicitation

L’influence du comportement viscoélastique du matériau sur la fissuration transverse dans des composites à fibres longues a intéressé quelques auteurs L’évolution en fonction du temps des fissures transverses dans la matrice des stratifiés a été étudiée expérimentalement par Ogi et Takao [18, 31] et Raghavan et Meshii [32] Ces auteurs montrent que la densité des fissures transverses et son taux d’accroissement dépendent nettement de la vitesse de chargement à 110°C

[18, 31] ou même à la température ambiante [32, 33] sous chargement monotone

Les influences de la vitesse de chargement et de la température sur le mécanisme de la fissuration transverse dans un stratifié [03/903]S de carbone/époxyde IM7/977-2 ont été étudiées par Lafarie-Frenot et Lebeau [34, 35] Une gamme de températures de 20oC à 120oC et des vitesses de traverse de 0,01 mm/min à 10 mm/min ont été utilisées A 120oC, les résultats expérimentaux ont montré une influence très significative de la vitesse de chargement monotone sur l’évolution de la fissuration (cf Figure 1.1) Une augmentation du taux de restitution d’énergie critique à l’apparition de la première fissure transverse, à 120oC en fonction de la vitesse de chargement, a été constatée Ce travail [35] va être cité et détaillé dans les chapitres suivants comme un des points de départ de cette thèse

On trouve dans la littérature peu de travaux faisant intervenir un modèle viscoélastique (linéaire ou non) associé à des outils de la mécanique de la rupture afin de prévoir l’évolution de

la densité des fissures en fonction du temps et de la contrainte appliquée Le modèle probabiliste proposé par Ogi et Takao [18] pour prévoir l’évolution de l’endommagement sous chargement monotone donne une très bonne simulation numérique des courbes expérimentales pour différentes vitesses de chargement, mais il n’utilise pas explicitement de critère de rupture et il n’explique donc pas comment a lieu la rupture de la couche à 90o du stratifié

Figure 1.1 Evolution de la fissuration à 120oC en fonction de la vitesse de traction dans des stratifiés [03/903]S de carbone/époxyde IM7/977-2 d’après [35]

1.3.1 Etude expérimentale de la fissuration transverse

En fatigue, dans des stratifiés croisés, la fissuration transverse est également le premier endommagement généralement observé ; elle peut survenir très tôt dans la durée de vie de la structure L’augmentation du nombre de fissures transverses en fonction du nombre de cycles a été observée expérimentalement par Reifsnider [36] Pour un niveau de chargement imposé, l’initiation de la première fissure est caractérisée par la valeur du nombre de cycles à l’amorçage Une détermination de la cinétique de fissuration transverse a été entreprise expérimentalement sur des stratifiés à base de matrice époxyde et de fibres de carbone (T300 et T400) par Petitpas et

al [37] Une loi de variation de la contrainte de première rupture de la couche à 90° en fonction

du nombre de cycles, de type courbe de Wohler, a été proposée Les premières fissures apparaissent de manière aléatoire le long de l’éprouvette Plus le nombre de cycle est élevé, plus les fissures se répartissent régulièrement La densité de fissures atteint une valeur de saturation pour un grand nombre de cycles [36] Talreja [38] a mis en évidence une « limite de fatigue » pour la fissuration transverse ; aucune fissure n’est observée avant la fin de l’essai (N»106) lorsque la déformation maximale imposée au stratifié est inférieure à cette limite

L’influence de la contrainte maximale appliquée a été étudiée dans [39-41] ; les auteurs ont montré que, pour divers drapages et matériaux, la cinétique de fissuration est bien sûr plus rapide quand la contrainte est élevée Lafarie-Frenot et Hénaff-Gardin [42] ont fait des essais de fatigue, sur deux types d’empilements différents de stratifiés carbone/époxyde T300/914, à deux niveaux

de contrainte maximale différents (60% et 80% de la contrainte à rupture notée σR) ; les résultats

multiplication des fissures transverses, mais la valeur de la densité à saturation reste sensiblement indépendante du niveau de chargement appliqué (cf Figure 1.2, [43]) Les caractéristiques de ces essais sont résumées dans le Tableau 1.1 [43]

Takeda et al [44] ont étudié l’influence de la contrainte appliquée sur la fissuration dans des stratifiés [0/90m/0] de carbone/époxyde T800H/3631 (m = 4, 8, 12) ; plusieurs niveaux de la contrainte maximale, variant de 40% à 95% de la contrainte à rupture statique, ont été utilisés Des détails concernant ce travail seront cités plus loin

Figure 1.2 Densité de fissure sur la tranche en fonction de nombre de cycles pour deux niveaux de contraintes et deux stratifiés T300/914, R = 0,1, f = 10 Hz [43]

fissuration en fatigue dans la couche à 90o du stratifié [(0,45,-45,0,90)3]S de carbone/époxyde T300/914 (cf Figure 1.3)

Figure 1.3 Influence de la fréquence sur l’évolution de la densité de fissures dans la couche à

90o du stratifié [(0,45,-45,0,90)3]S de T300/914 d’après [45]

A la température de 150oC, pour des stratifiés [03/903]S de carbone/époxyde IM7/977-2, Lafarie-Frenot et Rouquié [46] ont réalisé des essais de fatigue sous azote sec aux deux fréquences de 0,7 Hz et 8´10-4 Hz ; un effet important de la fréquence sur la fissuration a été observé même sous environnement neutre Les résultats de cette étude seront présentés de façon plus détaillée dans un autre chapitre de ce mémoire

1.3.2 Modélisation de la fissuration en fatigue

Une revue bibliographique sur les principaux modèles existants depuis les dernières décennies a été faite par Degrieck et Van-Paepegem [47] D’après ces auteurs, il existe trois grandes catégories de modèles :

- Les premiers dits « modèles de durée de vie », qui ne prennent pas vraiment en compte le mécanisme de dégradation (comme les fissures transverses dans la matrice, la rupture des fibres, etc.) mais utilisent la courbe S-N de ruine (ou le diagramme de Goodman) et introduisent certains critères de rupture en fatigue ; ces approches nécessitent un travail expérimental considérable

- Les seconds sont des modèles phénoménologiques concernant la rigidité et la résistance résiduelles Ces modèles proposent une loi d’évolution de la dégradation des propriétés à l’échelle macroscopique des stratifiés

- Enfin les troisièmes, dits « modèles d’endommagement progressif », introduisent une ou plusieurs variables d’endommagement pour décrire la dégradation des stratifiés composites

FISSURATION SOUS CHARGEMENT MONOTONE

L’objectif principal de ce chapitre est de présenter les matériaux étudiés et les techniques expérimentales utilisées au cours de cette thèse Un montage d’observation « in situ » installé sur

la machine d’essai est particulièrement détaillé

Les conditions expérimentales d’un essai monotone à 120oC et sous environnement neutre (N2 sec) sont présentées Les résultats expérimentaux concernant le développement de la densité

de fissures en fonction de la contrainte appliquée dans la couche à 90o d’un stratifié [03/903]S

carbone/époxyde (IM7/977-2), seront comparés avec ceux qui ont été obtenus par les essais à l’air et à 120oC dans [1, 2] Ceci permet de constater une influence de la vitesse de chargement monotone sur la fissuration et de conclure qualitativement sur l’influence de l’environnement dans ce type d’essais

Dans le dernier paragraphe, un phénomène de fissuration, dit «fissuration diffuse », qui se présente à l’échelle des fibres et de la matrice dans les plis d’un stratifié [ ]±45 4Scarbone/époxyde IM7/977-2, est présenté comme résultat expérimental supplémentaire obtenu au cours de cette thèse Aucune explication définitive de ce phénomène ne sera fournie Ceci reste une des perspectives de ce travail

On présente dans cette partie le montage et les techniques expérimentales utilisées à la fois pour les essais à 120oC sous environnement contrôlé (N2 sec) sous chargement monotone et en fatigue Les essais en fatigue vont être détaillés dans les chapitres suivants

Le matériau étudié est un composite à fibres longues de carbone de module intermédiaire de référence IM7 et à matrice époxyde/amine de référence 977-2, fourni par le Centre Commun de Recherche EADS à Suresnes Les caractéristiques de la fibre et de la matrice sont données dans le

Tableau 2.1

7 bars

Post cuisson

3h 150 o C

2h 210 o C 2h 180 o C

Polymérisation

Fibres de carbone (IM7 Hercules) Matrice époxyde (977-2 Fiberite) Module d’Young 301 GPa 2400 ± 110 MPa

Contrainte à rupture 5340 MPa 48 ± 9 MPa

Allongement à rupture 1,81 % 3,1 ± 1,2 %

Masse volumique 1780 kg/m 3 1310 kg/m 3

Tableau 2.1 Caractéristiques de la fibre et de la matrice

La résine est produite sous la forme de film ; elle est ensuite déposée sur les fibres pour former des plis unidirectionnels Des plaques de composites sont obtenues en assemblant les plis unidirectionnels selon les orientations choisies Elles sont portées à différents paliers de température afin d’améliorer les caractéristiques du matériau pour l’application supersonique (cf

Figure 2.1) La température de transition vitreuse de ce matériau (Tg) mesurée au LMPM par

DSC (« differential scanning calorimetry ») a été trouvée comprise entre 200oC et 210oC suivant

le lot de fabrication des plaques

Figure 2.1 Cycle de polymérisation des stratifiés IM7/977-2

Tableau 2.2 (toutes les constantes ont été fournies par EADS) La direction 1 est suivant l’axe des fibres, la direction 2 est perpendiculaire à l’axe des fibres dans le plan des couches et la direction

3 est perpendiculaire à l’axe des fibres et au plan des couches L’épaisseur d’un pli est 0,125 mm

Tableau 2.2 Caractéristiques thermo-élastiques du pli unidirectionnel à 120oC et à 20oC

Les essais sous chargement monotone et en fatigue à 120oC sont réalisés sur des éprouvettes [03/903]S IM7/977-2 de dimensions 200mm´15mm, d’épaisseur environ 1,65 mm

(sans talon) Les deux tranches de l’éprouvette sont bien polies afin de pouvoir procéder au comptage des fissures « in situ » durant les essais La Figure 2.3 présente les dimensions des éprouvettes sans talons utilisées Dans le dernier chapitre de ce mémoire, des essais en fatigue à l’ambiante sont réalisés sur des éprouvettes [03/903]S en IM7/977-2 avec des talons en fibre de verre aux deux extrémités ; les dimensions de ces éprouvettes sont présentées sur la Figure 2.3

Module longitudinal (suivant la

direction 1 des fibres) E11 148 GPa 157 GPa

Module transversal (suivant la

direction 2 orthogonale aux fibres) E22 7,12 GPa 8,5 GPa

Coefficient de Poisson dans le plan

Module de cisaillement dans le

Coefficient de dilatation thermique

longitudinal a 1 0,23´10 -6 °C

Coefficient de dilatation thermique

transversal a2 30´10 -6 °C

Figure 2.2 Dimensions des éprouvettes [03/903]S de carbone/époxyde IM7/977-2 sans talons ;

a) éprouvette dans le repère global du stratifié ; b) vue de dessus ; c) vue de côté

Figure 2.3 Dimensions des éprouvettes [03/903]S de carbone/époxyde IM7/977-2 avec talons

en fibre de verre ; a) vue de dessus ; b) vue de côté

Des essais de fissuration (monotone et fatigue) à 120oC ont été réalisés sous atmosphère neutre (N2 sec), afin d’éviter l’influence possible de l’environnement, en particulier l’oxydation, sur les processus d’endommagement

Les essais sont réalisés sur une machine hydraulique INSTRON 1251 de capacité ± 10 tonnes Les éprouvettes sont fixées dans des mors à vis par contact intermédiaire avec des pièces métalliques qui jouent le rôle de talons Le serrage est réalisé par 9 vis M10 vissées avec une visseuse à couple constant (de l’ordre de grandeur 30 N.m) Une équerre métallique que l’on pose sur la chape et contre l’éprouvette est utilisée afin de vérifier le parallélisme entre l’axe de sollicitation et l’axe de l’éprouvette (cf Figure 2.4) La machine est équipée d’un caisson étanche permettant de réaliser les essais à la température de 120oC et en présence d’un environnement gazeux contrôlé (N2 sec) La température dans l’enceinte est contrôlée par des thermocouples dont l’un est fixé sur l’éprouvette (par une pince) pendant toute la durée d’un essai afin de suivre correctement la température (120oC) de l’échantillon (cf Figure 2.4) L’azote sec est distribué par l’appareillage représenté sur la Figure 2.5 ; le pourcentage d’O2 existant dans le caisson est bien contrôlé et reste inférieur à 1,5% au cours d’un essai

Equerre Eprouvette

Mors oscillant

Thermocouples de régulation et de contrôle sur l’échantillon Mors fixe

Bouteilles d’azote

Système de vannes d’isolement et de sortie de gaz

d’essai sans démontage de l’éprouvette grâce à l’installation sur le bâti de la machine d’une loupe binoculaire de grossissement maximal 63 (cf Figure 2.6) Lors de la mise au point du dispositif, l’observation des fissures transverses sous microscope optique à des grossissements plus élevés après démontage de l’éprouvette est comparée avec l’observation « in situ », ce qui a permis de vérifier la bonne qualité de ce type de montage

Figure 2.6 Montage d’observation « in situ » sur la machine d’essai pour des essais à 120oC

et sous azote (monotone et fatigue)

Loupe binoculaire

Chariot de déplacement

Eclairage par fibres optiques

Caisson

2.2.3 Moyens d’observation de la fissuration

La fissuration est suivie en surface par des observations microscopiques et à cœur par radiographie X

2.2.3.1 Observation microscopique

La qualité du polissage est très importante puisqu’elle va conditionner le résultat des observations microscopiques Les éprouvettes sont polies sur une polisseuse semi-automatique (cf Figure 2.7) en quatre étapes successives utilisant du papier abrasif de granulométrie 1000 au spray diamanté de 1 mm, correspondant à différentes vitesses de rotation du drap Le Tableau 2.3

présente les différents paramètres choisis pour une séquence type de polissage

Papier Spray diamanté Niveau de pression Vitesse (tr./min.) Temps (min.)

Tableau 2.3 Différents paramètres pour les étapes successives du polissage

La Figure 2.8 montre un exemple de bon polissage lors d’une observation sous microscope optique sur la tranche d’une éprouvette [03/903]S

Éprouvette

Drap Support

Réglage de la vitesse de rotation du drap

Réglage de la pression

sur le support des

éprouvettes

Figure 2.8 Echantillon [03/903]S après polissage

2.2.3.2 Radiographie X

L’observation de l’endommagement dans les stratifiés par radiographie X est une des méthodes non destructives le plus souvent utilisées Afin de visualiser les fissures et les délaminages existant dans l’éprouvette, on l’imprègne avec une solution opaque aux rayons X (à base d’Iodure de Zinc, d’alcool isopropylique et d’eau distillée) La pénétration du produit chimique dans les fissures permet de les rendre visibles sur un cliché et de vérifier si les fissures traversent toute la largeur de l’éprouvette étudiée ; un exemple représentatif de cliché est donné sur la Figure 2.9 suivante ; les fissures ou toute cavité sont vues en blanc sur les négatifs radiographiques et donc en noir sur la photo

Figure 2.9 Exemple de radiographie X sur échantillon [03/903]S

A l’air, des essais de traction monotone uni-axiale ont été réalisés dans [1, 2], sur des stratifiés [03/903]S, à 120°C pour mesurer la densité des fissures transverses en fonction de la contrainte appliquée Trois vitesses de chargement correspondant à trois vitesses de traverse ont été utilisées (0,01 mm/min; 1 mm/min; 10 mm/min) Le Tableau 2.4 présente les valeurs des trois vitesses de chargement constant ( F ) imposé ; compte-tenu de la section droite des éprouvettes étudiées, qui vaut 31,4 mm2, on peut calculer le taux de contrainte (s ) correspondant En supposant que le stratifié a un comportement essentiellement élastique, en en déduit l’ordre de grandeur de la vitesse de déformation (e ) ou de la vitesse de traverse de la machine (V)

La Figure 2.10 représente la forme du chargement répété progressif « réel » L’éprouvette est chargée progressivement Une fois le palier de chargement atteint, on décharge l’éprouvette et

on observe s’il y a apparition des fissures ou pas ; ensuite, le nombre de fissures transverses (n) est compté sur la longueur utile de la tranche (L0) des éprouvettes afin de calculer la densité de fissures ρ (ρ=n/L0)

LA FISSURATION SOUS CHARGEMENT MONOTONE - INFLUENCE DE LA VITESSE DE CHARGEMENT

Le matériau étudié ici est un stratifié [03/903]S de carbone/époxyde de type IM7/977-2 Ce matériau est constitué de fibres de carbone (IM7) et d’une matrice polymère thermodurcissable (époxyde/amine de référence 977-2) Dans le chapitre précédent, nous avons présenté les résultats expérimentaux obtenus dans [1, 2] concernant l’influence importante de la vitesse de chargement sur le développement de la fissuration transverse dans la couche centrale (orientée à 90o par rapport à l’axe de sollicitation) de ces stratifiés à 120oC Plusieurs causes pourraient expliquer cet effet, notamment le comportement viscoélastique (linéaire ou non linéaire) du matériau sain (du pli) et celui du matériau endommagé au voisinage des fronts de fissures L’objectif de ce chapitre est de donner une ébauche de réponse à ce problème

D’une manière générale, la connaissance du comportement d’un composite stratifié à matrice organique thermodurcissable tel que le IM7/977-2, pour des empilements quelconques, nécessite d’abord l’identification des lois de comportement du pli unidirectionnel Le comportement du pli peut être complètement caractérisé à partir des réponses à trois sollicitations principales : la traction dans la direction perpendiculaire aux fibres, le cisaillement dans le plan

du pli et la sollicitation dans la direction des fibres dans le pli On peut noter que dans la direction des fibres, il n’y a pas de dépendance significative « par rapport au temps » ; le comportement du pli peut donc être supposé élastique linéaire dans cette direction Les essais en traction, à 120oC, sur le drapage [0]16 de carbone/époxyde T800H/F655-2 (matériau voisin du nôtre), réalisés par Vinet [3], ont confirmé cette hypothèse Par la suite, on va présenter une procédure d’identification concernant uniquement le comportement transverse qui va servir pour les simulations proposées dans cette thèse A part la fonction de fluage J22(t) (et les autres fonctions liées à celle-ci, par exemple la fonction de relaxation de cisaillement G23(t)) dont on propose une identification dans ce chapitre, les autres caractéristiques mécaniques du pli du matériau étudié sont les valeurs « élastiques » à 120oC fournies par EADS (présentées au chapitre précédent) De plus, le coefficient de Poisson hors plan du pli ν23 sera supposé constant

Dans ce chapitre, plusieurs simulations numériques sont proposées afin de représenter et d’évaluer l’effet de différents facteurs sur le phénomène de la fissuration

A 120oC, les essais de fluage-recouvrance menés sur les éprouvettes [90]n (présentés au paragraphe suivant) font apparaître un comportement essentiellement viscoélastique non linéaire;

d’essai de recouvrance est négligeable Dans un premier temps, la loi de comportement viscoélastique du pli unidirectionnel sera caractérisée et identifiée à partir des essais de fluage-recouvrance pour différents niveaux de chargement ; un modèle de Schapery simplifié est proposé pour caractériser le comportement viscoélastique non linéaire du pli dans la direction transverse

Dans un deuxième temps, l’influence du comportement viscoélastique linéaire sur la fissuration est étudiée ; un modèle de type « shear-lag » ou « diffusion du cisaillement » unidirectionnel viscoélastique linéaire associé à un critère de rupture sera utilisé pour simuler l’évolution de la fissuration en fonction de la contrainte appliquée à vitesse constante Ensuite, une analyse bidirectionnelle viscoélastique linéaire est proposée afin de prendre aussi en compte

le caractère viscoélastique des couches extérieures dans la direction perpendiculaire à l’axe de sollicitation Enfin, dans la dernière partie de ce chapitre, l’influence sur le phénomène de fissuration de la non linéarité du comportement viscoélastique du matériau est étudiée; le principe

de correspondance nonlinéaire est utilisé afin de réaliser facilement la simulation numérique du développement des fissures

Parmi les travaux trouvés dans la littérature concernant ce type de sujet, nous nous sommes particulièrement intéressés à ceux d’Ogi et Takao [4] Ces auteurs ont fait intervenir la viscoélasticité du matériau sain pour décrire les états de contrainte et de déformation dans les couches d’un stratifié croisé (à matrice polymère) Une approche probabiliste a été utilisée pour décrire l’évolution de la densité de fissures en faisant intervenir la vitesse de chargement ; celle-ci donne un assez bon accord avec l’expérience mais elle n’explique pas la cinétique de fissuration

De plus, l’effet de la viscoélasticité du matériau sain n’est pas clairement mis en évidence Dans notre étude, ó deux modèles de type « shear-lag » unidirectionnel et bidirectionnel seront proposés, en ce qui concerne l’aspect viscoélastique du matériau sain, on adopte les mêmes hypothèses qu’Ogi et Takao [4] comme point de départ, mais contrairement à Ogi et Takao, nous allons utiliser des critères de rupture précis afin de « prévoir » la fissuration progressive

unidirectionnel

Sous chargement transverse, la déformation globale des plis est généralement la somme d’une déformation viscoélastique et d’une déformation plastique permanente Comme on peut supposer que la partie non récupérable de la déformation est négligeable pour ce type de matériau (à 120oC), on a décidé de choisir le modèle de Schapery pour décrire la déformation viscoélastique des plis unidirectionnels

La loi de comportement 3-D de Schapery est de la forme [5] :

( ) ( ( ) )

t ij

0 ij eq

dut

g , ( )2 ij

g et a sont des ijfonctions non-linéarisantes dépendant de la contrainte équivalente seq Dans un état tridimensionnel général de contraintes, on peut choisir la contrainte équivalente sous la forme

Stieltjes des deux fonctions du temps f t et ( ) g t (voir( ) Annexe 3.1) Dans le cas d’un chargement de traction dans la direction transverse, si l’on suppose que le comportement non linéaire est décrit par une seule fonction non linéaire ( )2

Rappelons que le stratifié étudié est un carbone/époxyde de type IM7/977-2 de séquence

direction transverse à la température étudiée (120°C) est décrite par la fonction de fluage J22( )t

de la forme : J (t) J22 = 20+ DJ22( )t , ó J est une constante et 20 22( ) N 2n

ce type de matériau Désormais, les données expérimentales correspondant à la contrainte 10 MPa (ou moins) seront utilisées comme données « linéaires », alors que les données obtenues pour des contraintes supérieures seront considérées comme « non linéaires »

Figure 3.1 Essai de fluage avec différents niveaux de contrainte sur les éprouvettes [90]n de

carbone/époxyde IM7/977-2 à 120oC

Figure 3.2 Comparaison entre le modèle et l’expérience pour la déformation de recouvrance à

10 MPa et à 120oC

Dans un premier temps, la courbe expérimentale de fluage/recouvrance de la déformation (en fonction du temps) dans le domaine linéaire (10 MPa) est utilisée pour identifier les coefficients de la fonction de fluage J22( )t D’abord la partie différée DJ22( )t est caractérisée en utilisant la courbe de recouvrance après 24 heures de fluage Dans le domaine linéaire, la déformation de recouvrance indicée « r » est de la forme :

Tableau 3.1 Paramètres de la fonction de fluage du matériau

On cherche ensuite la partie « instantanée » J de la fonction de fluage La relation entre la 20contrainte appliquée et la déformation de fluage e = ec (t<t1) est de la forme :

20

J »1,335 10´ - Pa Sur la Figure 3.3, l’interpolation de la courbe de fluage est vérifiée par l’expérience en utilisant les constantes trouvées (cf Tableau 3.1) Notons qu’en pratique on a une incertitude importante sur la détermination de ce paramètre, la complaisance « instantanée » J 20

n Coefficient J (Pa2n -1 ) Temps de relaxation tn (minute)

0 1,335 ´ 10 -10

3 8,034 ´ 10 -12 5000

Figure 3.3 Comparaison entre l’interpolation par le modèle et les données expérimentales de

la fonction de fluage à 120oC et à 10 MPa pour le [90]n carbone/ époxyde

La fonction de fluage J22( )t caractérise le comportement viscoélastique dans le domaine linéaire Afin d’identifier le comportement dans le domaine non linéaire, en prenant

( ) 0 ( ) 1

22 22 22

g =g =a =1, les courbes de fluage-recouvrance pour les deux autres niveaux de contrainte (15 MPa et 20 MPa) sont utilisées L’expression de la déformation de recouvrance e = er dans le cas général est de la forme :

sont données dans le Tableau 3.2 Sur la Figure 3.4, les courbes d’interpolation sont comparées avec les données expérimentales de recouvrance correspondant aux trois niveaux de contrainte étudiés

Contrainte appliquée (MPa) 10 15 20 Fonction g 2 1 1,1 1,7

Tableau 3.2 Valeurs de la fonction nonlinéarisante g2 pour trois niveaux de contrainte

Figure 3.4 Comparaison entre les courbes trouvées par le modèle et l’expérience de déformation recouvrée pour 3 niveaux de contrainte (10 MPa, 15 MPa et 20 MPa) à 120°C

Ensuite, on va vérifier les résultats de cette identification à l’aide des courbes de complaisance « nonlinéaire » à 15 MPa et 20 MPa La déformation de fluage pour tous les niveaux de contrainte est de la forme :

un assez bon accord entre l’expérience et la simulation de la complaisance hors du domaine linéaire en utilisant la seule fonction nonlinéarisante g2 trouvée ci-dessus On remarque que la courbe simulée pour 15 MPa est légèrement en dessous de l’expérience à cause de la grande simplicité du modèle qui n’utilise pas la fonction nonlinéarisante ( )0

0 22

Figure 3.5 Comparaison entre expérience et courbes simulées des complaisances non linéaires pour deux niveaux de contrainte appliquée (15 MPa et 20 MPa) à 120°C

On représente g2 dans le domaine non linéaire, c'est-à-dire au dessus du seuil de 10 MPa, sous la forme :

Tableau 3.3 (ó la contrainte est en MPa) Pour une contrainte supérieure à 20 MPa, les valeurs

de g2 seraient une extrapolation plus ou moins justifiée définie par (3.10) La Figure 3.6

représente la variation de la fonction g2( )s pour le matériau étudié

Figure 3.6 Fonction nonlinéarisante g2

3.3 Simulation viscoélastique 1-D linéaire de la fissuration

On s’intéresse ici à un stratifié composé de couches unidirectionnelles avec une séquence d’empilement du type [0m/90n]S Le stratifié peut être schématisé par la Figure 3.7 Il est constitué

de couches extérieures longitudinales (indicées 2) et d’une couche centrale transversale (indicée 1) Les épaisseurs des celles-ci sont h2 et 2h1, respectivement x, y et z sont les directions de la sollicitation de traction, de la largeur et de l’épaisseur du stratifié On s’intéressera au comportement du stratifié soumis à une traction selon l’axe x avec une sollicitation monotone de type s(t)=s´t, ó s est la contrainte normale moyenne appliquée au stratifié, s est la vitesse constante de chargement et t est le temps

h 2

•

‚

Figure 3.7 Schématisation du stratifié fissuré

Figure 3.8 Géométrie du ½ stratifié fissuré dans le plan (xz)

Lorsque le chargement augmente, il apparaỵt des fissures transverses dans la couche à 90o ; les observations expérimentales montrent que la répartition des fissures au sein de la couche centrale tend à se régulariser On admet provisoirement que les fissures traversent immédiatement toute l’épaisseur et la largeur de la couche et que la répartition de celles-ci devient presque périodique quand l’intensité de la sollicitation augmente Le stratifié peut ainsi être divisé en plusieurs cellules élémentaires, séparées symétriquement par des fissures adjacentes ; deux fissures consécutives sont éloignées d’une distance 2L (cf Figure 3.7 et Figure 3.8) Les autres mécanismes de dégradation (comme le délaminage entre les couches, les fissures longitudinales

ou la rupture des fibres) ne sont pas considérés dans le cadre de cette étude Notons que, dans de nombreuses situations, notamment lors d’un impact, la fissuration matricielle et le délaminage sont des phénomènes couplés (Collombet, [7, 8]) Notre étude est donc seulement valable dans certains cas ó les autres mécanismes d’endommagement ne jouent pas un rơle très important sur

la cinétique de la fissuration transverse Certains des résultats obtenus (les comparaisons entre

l’expérience et les simulations numériques) vont confirmer que cette hypothèse est légitime dans les conditions de cette étude

Les caractéristiques mécaniques longitudinales des couches sont très proches de celles des fibres ayant un comportement « quasi élastique » ; au contraire, ce sont les caractéristiques viscoélastiques de la matrice qui régissent le comportement de la couche transversale dans la direction de traction C’est donc uniquement dans cette couche centrale que le comportement viscoélastique sera pris en compte

Nous nous limitons dans cette partie du chapitre à une étude avec l’hypothèse de l’état de contrainte « quasi-unidirectionnel » (traction pure + cisaillement dans chaque couche) dans le plan (xz) Des contraintes d’origine thermique ont également été prises en compte; l’influence de ces contraintes résiduelles de cuisson à la température étudiée (120°C) sera discutée Enfin, notons qu’initialement le stratifié est au repos

Nairn et Mendels [9] ont fait assez récemment un classement des modèles de type « lag » en développant un calcul élastique dans un système très général de multicouches ; le problème de la fissuration transverse dans des stratifiés de type [0m/90n]S est traité comme cas particulier Les auteurs montrent que, quelles que soient les lois de répartition des contraintes suivant l’épaisseur, toutes les approches de ce type conduisent à une équation fondamentale

du cisaillement txz choisies dans les couches Pour un matériau proche du nôtre, avec les valeurs

kR=0,3300 et kL=0,3070, Nairn et Mendels [9] ont montré que les contraintes obtenues par le modèle « shear-lag » sont très proches de celles qui sont obtenues par la méthode des éléments finis En utilisant une approche proposée par Lee et Daniel [10], Berthelot et al [11] ont trouvé

kR=1/3 et kL=1/3 ; un bon accord avec les calculs par éléments finis est aussi observé par ces auteurs Avec un modèle plus simple, Han et al [12] et Hahn et Johannesson [13], sont arrivés à

kR=1/3 et kL=0 L’étude de Nairn et Mendels montre la grande efficacité alliée à une grande

à 120oC Ogi et Takao [4] ont étendu le modèle de type « shear-lag » bidirectionnel élastique de Lim et Hong [14] au cas viscoélastique

Dans un premier temps nous proposerons un modèle de type « shear-lag » unidirectionnel

« viscoélastique » En ce qui concerne l’aspect viscoélastique, on utilise les mêmes hypothèses qu’Ogi et Takao [4]; en ce qui concerne l’aspect « shear-lag », on utilise le modèle de Han et al

[12] qui a l’avantage d’une grande simplicité Ce choix va conduire à une version de « a » correspondant à kR=1/3 et kL=0, mais il n’est pas restrictif car nous pourrons toujours modifier ultérieurement la valeur de « a », ce qui permettra de retrouver la précision des modèles « shear-lag » les plus raffinés

Dans la partie suivante, un modèle de type « shear-lag » bidirectionnel « viscoélastique » est proposé Il s’appuie sur les deux modèles de type « shear-lag » de Nuismer et Tan [15] etOgi

Nous allons d’abord établir les équations qui régissent la réponse du stratifié non fissuré Cette solution sera nécessaire à la recherche ultérieure de la réponse d’un stratifié fissuré

3.3.3.1 Loi de comportement à l’échelle du pli

Dans le cas du stratifié non fissuré, les déformations dans les couches sont identiques Dans les couches extérieures indicées 2, nous avons la relation suivante entre la déformation du stratifié ex0( )t et la contrainte normale ( )2 ( )

x0 t

( ) ( )

(2) x0 t E11é x0 t 1 Tù

x0(t)

s et la déformation ex0( )t sous la forme :

t (1)

0 réponse insta n tan ée

Nous utilisons également l’équation d’équilibre global du stratifié :

hhh

3.3.3.2 Evolution de la contrainte et de la déformation

On cherche d’abord la contrainte dans la couche centrale Le système d’équations (3.17) - (3.21) peut être résolu par la transformation de Laplace La transformée de Laplace par rapport au

; on peut obtenir la transformée de Laplace de la contrainte dans la couche centrale indicée

au chargement mécanique et la seconde est la contrainte d’origine thermique due aux différences

de température TD et de coefficients de dilatation thermique longitudinal et transversal du pli unidirectionnel Da12 Comme on a E (t) J (t) H(t)22 Ä 22 = et J11 =1/ E11, on peut réécrire (3.23) avec la fonction de relaxation E22( )t et E11 sous la forme :

Au paragraphe précédent, nous avons examiné le cas du stratifié sain (sans fissure) Il s’agit maintenant d’étudier le comportement du stratifié en présence d’endommagement, c'est-à-dire de fissures transverses

3.3.4.1 Cinématique et loi de comportement

Figure 3.9 Allure des déplacements longitudinaux dans les couches du stratifié fissuré

On appelle U1 et U2 respectivement les déplacements suivant x dans la couche centrale à

90o et dans les couches extérieures à 0o; ils sont supposés avoir les expressions suivantes :

b) Comportement des couches

En tenant compte des déformations résiduelles de cuisson dues à la dilatation thermique, on

c) Cisaillement à l’interface des couches

Le comportement viscoélastique dû au cisaillement de la couche à 90o dans le plan (xz) du stratifié s’écrit :