Hai điểm bất kì trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ.. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.[r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Ngày thi : 06/11/2019
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P 0
Câu 2 (2 điểm) Cho biết 2 2
x x y y Tính giá trị biểu thức 2019 2019
Ax y
Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: 1 1 2
x x x
Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x y; thỏa mãn:
2
x y y y y
Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 3 4
1 p p p p là số tự nhiên
Câu 6 (2 điểm) Các cạnh a b c, , của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức:
p p a p b p c
a b c
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất củaP 12 12 12 2 12 2
Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O)
tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R) Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu của O trên d Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và
KB
a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH
b) Tính IH theo R
Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của AC Đường thẳng qua A vuông góc với BMcắt BCtại D Chứng minh DB 2DC
Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt Hai điểm bất kì trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu
==== HẾT ====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh SBD: Phòng thi
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2019 – 2020 Môn Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
1
Điều kiện để P xác định là : x 0;x 4;x 9
P
3
x
0,25
0,25 0,5
Với x 0;x 4;x 9, ta có 0 1 0 3 0 9
3
x
x
Kết luận: 0 x 9 và x 4 thì P 0
0,5
0,5
2
Ta có: x 2019 x2 2019 x2 xy 2019 y2 2019 2019 x2 x
2 2
Tương tự ta có: x 2019 x2 2019 y2 y (2)
Từ (1) và (2) suy ra x y 0 x y
0
A
0,5
0,5 0,5
0,5
3
4
x
2
2
1 1
2 0
4 2
x
(vì 1 1 2 0
4 2
x )
2 2
x
(tmđk)
0,5
0,5
0,5 0,5
4
Phương trình đã cho tương đương 2 2 2
x y y y y
3
t t t t t t t t t
2
t x t ( vô lí)
y y y y y
Vì yZ nên y 3; 2; 1;0
Suy ra x y; 2019;0 , 2019; 1 , 2019; 2 2019; 3
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3Suy ra: 2 2 2
2p p 2n 2p p 2
2p p 2n 2p p 2 2n 2p p 1
4 4 p 4p 4p 4p 2p p 1
2
p p p ( dop là số nguyên tố p 0)
1 p p p p 1 3 3 3 3 11 (tm)
Vậyp 3
0,5
0,5
0,5
6
p p c p a p b
p c p p b p a
p p c p a p b
2 p c a b
p p c p a p b
a b c a b c a b b c a a ba c b
2 2 2 2
2a 1 4a 2
2b a b a b 2ab c c b a
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
0,5
0,5
0,5
0,5
7
Ta có:
a
a b c abbcca bc a b c ab bc ca
P
ab bc ca
Áp dụng AM-GM ta
27 3
27
ab bc ca
3
ta b c
P
t
Dấu “=” khi t 3 a b c 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 10
3 khi và chỉ khia b c 1
0,5
0,5
0,5
0,5
8a
Trang 4d I
A
O K
B M
N C
H
Chứng minh OHMN là hình chữ nhật,
0,5
0,5
8b
2
K
KC Do đó OH =KC
HOI= CKI( c-g-c)
Suy ra IH = IC (1)
R
Từ (1) và (2) Suy ra
2
R
IH
0,5
0,5
9
A
D
H
K M
Kẻ CK vuông góc AD, KAD
Gọi H là giao điểm AD với BM
Vì BH//CK nên DC CK (1)
DB BH
Mặt khác DC CK 2HM (2)
DB BH BH
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có:
2 2
AM HM BM HM AM ,thay vào (2) ta được
0,5
0,5
Trang 510
Giả sử 6 điểm A, B, C, D, M, N trên cùng 1 đường tròn
Từ 1 điểm vẽ đến 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng thì có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu Giả sử 3 đoạn thẳng AB, AC, AD cùng màu đỏ( nếu cùng màu xanh thì lập luận tương tự)
Xét tam giác BCD nếu có 1 cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ thì tam giác ABC có 3 cạnh màu đỏ Trái lại thì tam giác ABC có ba cạnh màu xanh
0,5
0,5