Những bài tâp hình học ôn tuyên sinh 10 và học kỳ 2

Xét tứ giác BCEF, ta có:.[r]

NHỮNG BÀI TOÁN MẪU CƠ BẢN ÔN HỌC KỲ II VÀ TUYỂN SINH 10

BT 1 : Phương tích 1: “Tích cát tuyến bằng tích cái tuyến”

Đề: Cho ABC, ADE là 2 cát tuyến của (O) Cm: AB.AC = AD.AE

BT2 Phương tích 2: “Bình phương tiếp tuyến bằng tích cát tuyến".

Đề: ABC là các tuyến của (O), AD là tiếp tuyến của (0).Cm: AD2 = AB.AC

O

C

B

D

A

BT3 Phương tích 3: “Tích dây bằng tích dây".

Đề BC, DE là 2 dây của (O) cắt nhau tại A Cm: AB.AC = AD.AE

E

C

D B

BT4 “Tích bằng tích xuất phát từ chẩn đường cao đến 3

O

E

D

A

đỉnh của tam giác và trực tâm”

Đế: Tam giác ABC nhọn, AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H.Cm: DB.DC

= DH.DA

H

D B

C A

* Chú ý:

1) Xuất phát từ chân đường cao E:

EA.EC = EH.EB

2) Xuất phát từ chân đường cao F:

FA.FB = FH.FC

BT5.”Tứ giác nội tiếp trong tam giác nhọn “

Đề : Cho tam giác ABC nhọn, AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H

1) Cm: AEHF nội tiếp(Tứ giác nội tiếp loại 1).Xác định tâm:

(2) Cm: BCEF nội tiếp(Tứ giác nội tiếp loại 2) Xác định tâm:

Ta có:AEH AFH 90     0 (BE, CF là đường cao)

Xét tứ giác AEHF, ta có:

AEH AFH 90    90  180

Suy ra: AEHF là tứ giác nội tiếp

H

D B

C A

Xét tứ giác BCEF, ta có:

BEC BFC 90   (BE, CF là đường cao) ) Suy ra: BCEF là tứ giác nội tiếp

* Chú ý:

1) Tứ giác loại 1:

- BDHF nội tiếp Tâm là trung điểm của BH

- CDHE nội tiếp Tâm là trung điểm của CH

2) Tứ giác loại 2:

- ABDE nội tiếp Tâm là trung điểm của AB

.: ACDF nội tiếp Tâm là trung điểm của AC

BT6:”Trực tâm tam giác nhọn là tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 chân đường cao”

Đề: Cho tam giác ABC nhọn, AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H Cm:H là tâm đường tròn nội tiếp ADEF

2 1

1

H

D B

C A

BT7 :Ba chân đường cao và trung điểm của cạnh tam giác cùng thuộc 1 đường tròn”.

Đề: Cho tam giác ABC nhọn, AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H, O là trung điểm của BC

Cm: D, F, E, O cùng thuộc 1 đường tròn (Đường tròn Euler)

O

2 1

1

H F

E

D B

C A

BT8 :Đường tròn 5 điểm

8.

1 Cho tam giác ABC AB AC   nội tiếp đường tròn  O có AD,BElà hai đường cao

cắt nhau tại H, vẽ đường kính AKcủa đường tròn  O , kẻ

a) Chứng minh 5 điểm A,B,D,E,Fcùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I

của đường tròn này.

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh 3 điểm H ,M ,Kthẳng hàng.

a) Ta có:

Tam giác ABEvuông tại E (BElà đường cao tam giác ABC), có ABlà cạnh huyền Tam giác ABDvuông tại D(ADlà đường cao tam giác ABC), có ABlà cạnh huyền Tam giác ABFvuông tại F(BF  AK), có ABlà cạnh huyền.

Do đó, 5 điểm A,B,D,E,Fcùng thuộc một đường tròn đường kính AB Nên tâm I

của đường tròn đó là trung điểm của AB.

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh 3 điểm H ,M ,K thẳng hàng.

K

E

F O

D

H

C B

A

Ta có: Tam giác AKB, AKCnội tiếp đường tròn  O

có AKlà đường kính

AKB

  vuông tại B và AKCvuông tại C.

Mà Hlà trực tâm tam giác ABC ( AD,BElà hai đường cao cắt nhau tại H)

BK

 //CH(cùng vuông góc với AB) và BH //CK (cùng vuông góc với AC)

 Tứ giác BHCKlà hình bình hành.

Có M là trung điểm của đường chéo BCnên M cũng là trung điểm của đường chéo HK.

Vậy 3 điểm H ,M ,Kthẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh 3 điểm H ,M ,K thẳng hàng.

Ta có: Tam giác AKB, AKCnội tiếp đường tròn  O

có AKlà đường kính

AKB

  vuông tại B và AKCvuông tại C.

Mà Hlà trực tâm tam giác ABC ( AD,BElà hai đường cao cắt nhau tại H)

BK

 //CH(cùng vuông góc với AB) và BH //CK (cùng vuông góc với AC)

 Tứ giác BHCKlà hình bình hành.

Có M là trung điểm của đường chéo BCnên M cũng là trung điểm của đường chéo HK.

Vậy 3 điểm H ,M ,Kthẳng hàng.

8.

2 Cho (O;R), từ A nằm ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyếnAB , AC với (O) ( B C, là tiếp điểm), từ

A kẻ cát tuyến ADE với (O) (D nằm giữaA E, ).F là trung điểm của dây DE

Chứng minh năm điểm , , , ,A B O C F cùng thuộc một đường tròn.

F D

E O

C

B

A