Cho mi ền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay có th ể tích lần lượt là V V.. Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.[r]
Trang 1S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
H ƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN
Th ời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (6,0 điểm)
1 Cho hàm số y x3 mx2 1 có đồ thị C m Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
d :y 1 x cắt đồ thị C m tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị C m tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau
2 Cho hàm số 2
1 2
x y x
có đồ thị C Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của C
với x1 x2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho T 2MA2 MB2 2MA MB
đạt giá trị nhỏ
nhất
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: 1 3 3 2 3
2 Cho các số thực a b c, , 2; 8 và thỏa mãn điều kiện abc 64 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
P a b c
Câu III (5 ,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD 2 ,a AB BC CD a, cạnh
SA vuông góc v ới đáy Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho
2
NS ND Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng 6 43
43
a
, tính thể tích của khối
chóp S.ABCD theo a
2 Cho tam giác ABC vuông t ại A có ABC 60o Đường phân giác của góc ABC c ắt AC tại I
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC
Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay
có thể tích lần lượt là V V Tính t1, 2 ỉ số 1
2
V
V
Câu IV (1 ,0 điểm) Tìm họ nguyên hàm ln 1
x
x x
Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 2 7 23 8
Câu VI (2 ,0 điểm) Cho dãy a n xác định 1 2
1
1
2
a
n
và tính lima n
H ẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm
H ọ và tên thí sinh Số báo danh Giám th ị coi thi
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO Câu I 1. Cho hàm số y x3 mx2 1 có đồ thị C m Tìm các giá trị của tham số m để đường
thẳng d :y 1 x cắt đồ thị C m tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị C m tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau
Hướng dẫn
Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:
2
0
1 0 *
x mx x
x mx
Dễ thấy k A 0 y tt 1 suy ra không có tiếp tuyến vuông góc nhau tại A Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của (*)
Ta có 1 2
1 2
1
x x
và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì x13x1 2m x 2 3x2 2m 1
, thỏa mãn m2 4 0
Vậy các giá trị của m là m 5
Câu I 2. Cho hàm số 2
1 2
x y x
có đồ thị C Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của
C với x1 x2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho T 2MA2MB2 2MA MB
đạt giá trị
nhỏ nhất
Hướng dẫn
Ta có
trị hay A 3; 4 , B 1;1 Gọi I là điểm thỏa mãn 2IAIB 0 I 5; 9
T MA MB MAMB MIIA MIIB MI
T IA IB MI MI y y
Nên Tmin 32 y 9 M0; 9
Câu II 1. Giải phương trình: 1log1 32 2 log3 2 32 1
Hướng dẫn
2
Trang 3
f t a a b b t suy ra f t nghịch biên trên nên f t 0 có nghiệm duy nhất
t x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Câu II 2. Cho các số thực a b c, , 2; 8 và thỏa mãn điều kiện abc 64 Tìm giá trị lớn nhất của
P a b c
Hướng dẫn
Đặt log2a x, log2b y, log2c z x y z, , 1; 3 , x y z 6
P x y Không giảm tổng quát ta giả sử 1z x y z 3 x 1;2 , z 2;3
P x z z x z x z x x (Parabol đồng biến đối với z vì
) P 2.32 6 6 x362x2 12x 2x2 6x 1814( tại
x x ) suy ra Pmax 14 x 1,y 2,z (loại 3 y 1,x 2,z 3)
Vậy Pmax 14 a 2,b 4,c (và các hoán v8 ị)
Câu III 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với
2 ,
AD a AB BC CD a, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho NS 2ND Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng
6 43
43
a
, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a, CDE là tam giác đều cạnh a Kẻ CH vuông góc với ED thì 3
2
a
CH và là đường cao của hình thang
cân ABCD, suy ra
2
4
ABCD
a
Lấy a= D1 ựng hệ tọa độ Axyz như hình
vẽ, với 3 1; ;0 , 0;2;0 , 0;0;3
2 2
B D S h
khi đó tọa độ các điểm
3 1 3; ; , 0; ;2
h
M N h
h h
, khi
đó phương trình mặt phẳng (AMN) là
2 3
3
hx h y z
Khoảng cách
,
3
h
d S AMN
suy ra
y
z
x M
B
C
A
D
S
H E
N
Trang 42 2 4 2 2 6
7
a
SA và thể tích khối chóp
S ABCD là:
Câu III 2. Cho tam giác ABC vuông t ại A có ABC 60o Đường phân giác của góc ABC cắt
AC t ại I Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh
BC Cho mi ền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn
xoay có thể tích lần lượt là V V Tính t1, 2 ỉ số 1
2
V
V
Hướng dẫn
3
ABC và n ửa hình tròn tâm I quay xung xung quanh AC thì tạo thành khối nón tròn xoay và khối
3
4
4
9
non cau
a
Câu IV Tìm họ nguyên hàm 1 ln
x
x x
Hướng dẫn
x x t x x t x dx t dt, suy ra
2t 1 2 2 ln 2 ln 1 2 ln ln 1 1
t
3
Hướng dẫn
+ Xét x 2 thì từ phương trình đầu ta có y 2 thế vào phương trình thứ hai không thỏa mãn Lập luận tương tự đối với y 2 ta suy ra điều kiện x y , 2
I C
D
Trang 5+ Biến đổi phương trình thứ nhất:
Thế vào phương trình thứ hai: 33x2 8x 5 x36x2 12x 7 (*)
Đặt 33x2 8x 5 t 3x28x 5 t3, từ (*) ta có 3 3 3
t t x x u u
Hay tu t 2 tuu2 1 Từ đó ta được: 0 t u x 1
3x 8x 5 x1 x 6x 11x 6 0 x 1,x 2,x (th3 ỏa mãn)
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm x y , 1;1 , 2;2 , 3;3
Câu VI Cho dãy a n xác định 1 2
1
1
2
a
n
Tìm số hạng tổng quát a và tính n lima n
Hướng dẫn
Dễ thấy dãy số đã cho là dãy số dương và tăng Giả sử 4 12, 1
2
n
a n , khi đó ta có:
1 1
2
n
2
n
L ời bình: Nhìn chung đề này ở mức độ khá
H ẾT