Áp dụng phương pháp không lưới galerkin kriging phân tích dao động tự do của tấm làm bằng vật liệu phân lớp chức năng theo lý thuyết reissner mindlin

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: - Tìm hiểu về vật liệu phân lớp chức năng hay là vật liệu có tính cơ lý thay đổi FGM; - Tìm hiểu phương pháp không lưới Galerkin kriging MGK; - Phân tích dao động tự d

KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

-W0X -

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI:

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI GALERKIN

KRIGING PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM

LÀM BẰNG VẬT LIỆU PHÂN LỚP CHỨC NĂNG THEO

LÝ THUYẾT REISSNER - MINDLIN

GVHD: TS BÙI QUỐC TÍNH PGS-TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG HVTH: PHÙ VĂN HÙNG

LỚP: C.H XÂY DỰNG DD & CN - K2009 MSHV: 09210197

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS BÙI QUỐC TÍNH

PGS TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS LƯƠNG VĂN HẢI

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS PHAN NGỌC CHÂU

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

Ngày 18 tháng 02 năm 2012

- -oOo -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: ………Phù Văn Hùng……… Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: ………20 - 04 - 1984……….Nơi sinh: Quảng Ngãi

Chuyên ngành: ……… Xây dựng dân dụng & công nghiệp………

MSHV: 09210197

1 TÊN ĐỀ TÀI:

Áp dụng phương pháp không lưới Galerkin kriging (MGK) phân tích dao động tự do tấm làm bằng vật liệu phân lớp chức năng (FGM) theo lý thuyết Reissner – Mindlin

2 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

- Tìm hiểu về vật liệu phân lớp chức năng hay là vật liệu có tính cơ lý thay đổi (FGM);

- Tìm hiểu phương pháp không lưới Galerkin kriging (MGK);

- Phân tích dao động tự do của tấm FGM dùng phương pháp không lưới MGK;

- Sử dụng phần mềm Matlab để giải các ví dụ số với tấm vuông, tấm xiên;

- So sánh kết quả đạt được với các kết quả đã công bố khác

3 NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 05 - 07 - 2011

4 NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 23 - 12 - 2011

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

Chương 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Tổng quan 1

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của luận văn 4

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

2.1 Lý thuyết tấm làm bằng vật liệu FGM 5

2.2 Lý thuyết cơ học vật rắn cho tấm dày Reissner-Mindlin làm bằng vật liệu FGM 7

2.2.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng 7

2.2.2 Quan hệ biến dạng – chuyển vị 9

2.2.3 Ứng suất trong tấm 12

2.3 Lý thuyết cơ học vật rắn cho tấm FGM 12

2.3.1 Các giả thiết cho tấm FGM 12

2.3.2 Ứng suất biến dạng và nội lực trong tấm 12

2.3.3 Bài toán phân tích dao động tự do 14

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI GALERKIN KRIGING (MGK) 16

3.1 Phương pháp nội suy Moving Kriging (MK) 16

3.1.1 Phép nội suy Moving Kriging 16

3.1.3 Một số hàm dạng của phương pháp nội suy MK 21

3.1.4 Ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm dạng MK 24

3.2 Phương pháp không lưới MGK 28

3.2.1 Giới thiệu 28

3.2.2 Khái niệm miền giá đỡ 28

3.2.3 Khái niệm miền ảnh hưởng 29

3.2.4 Xác định kích thước miền giá đỡ 30

3.2.5 Dạng yếu Galerkin 31

3.2.6 Tích phân Gauss 37

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP MGK PHÂN TÍCH TẤM FGM THEO LÝ THUYẾT REISSNER-MINDLIN 39

4.1 Xấp xỉ hàm chuyển vị và góc xoay 39

4.2 Phương trình rời rạc cho bài toán dao động tự do 43

4.3 Xác định tính chất vật liệu của tấm FGM theo phương pháp trung bình hóa 46

Chương 5 KẾT QUẢ SỐ 49

5.1 Tấm hình vuông 51

5.1.1 Ví dụ 1 51

5.1.2 Ví dụ 2 60

5.1.3 Ví dụ 3 65

5.2.1 Ví dụ 1 90

5.2.2 Ví dụ 2 92

Chương 6 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 98

6.1 Kết luận 98

6.2 Kiến nghị hướng phát triển của đề tài 99

Chương 7 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày luận văn, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy TS Bùi Quốc Tính

và cô PGS-TS Nguyễn Thị Hiền Lương đã định hướng đề tài và hết lòng giúp đỡ em trong

suốt quá trình làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trường đại học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền đạt những kiến thức quý báu trong thời gian em theo học thạc sĩ, đặc biệt là: PSG-TS Nguyễn Thị Hiền Lương với môn Cơ học vật rắn biến dạng; PGS-TS Đỗ Kiến Quốc với môn Động lực học kết cấu; PGS-TS Bùi Công Thành với môn Cơ kết cấu nâng cao; PGS-TS Chu Quốc Thắng với môn Phần tử hữu hạn và kết cấu tấm vỏ; TS Hồ Hữu Chỉnh với môn Bê tông cốt thép nâng cao; TS Ngô Hữu Cường với môn Kết cấu thép nâng cao và phân tích phi tuyến kết cấu

Và cuối cùng, xin cảm ơn người thân và gia đình luôn ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập

và làm việc

Tp.HCM, ngày tháng 12 năm 2011

Học viên

cơ lý thay đổi ( functionally graded material – FGM ) Vật liệu FGM đã được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như: Kỹ thuật hàng không, động cơ tên lửa, hệ thống chuyển đổi điện trong các nhà máy điện hạt nhân Ngoài ra còn sử dụng để chế tạo các công cụ cắt, chống mài mòn và chống va đập cao…

Đến nay vật liệu FGM được nghiên cứu rộng rãi trên toàn thế giới bởi nhiều nhà khoa học với nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn: Serge Abrate [15] đã phân tích dao động

tự do, ổn định, chuyển vị tĩnh của tấm làm bằng vật liệu FGM Zhao et al [18] phân tích dao

động tự do của tấm làm bằng vật liệu FGM sử dụng phương pháp phần tử tự do kp-Ritz

Reddy và Chen [21] phân tích đàn hồi nhiệt cho tấm và trụ làm bằng FGM Vel và Batra [22]

đã đưa ra lời giải cho tấm FGM chịu tải cơ nhiệt thay đổi theo thời gian Senthil và Batra [23]

đưa ra lời giải độ võng chính xác cho tấm dày chữ nhật FGM Gilhooley et al [24] phân tích tấm FGM bằng phương pháp không lưới MLPG Lee et al [25] sử dụng phương pháp kp-Ritz

phân tích ứng xử đàn hồi nhiệt của tấm FGM

Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính cùng với các phương pháp tính toán số xấp xỉ hiện đại, việc tìm một lời giải xấp xỉ cho các bài toán kỹ thuật trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn Vì vậy, việc phát triển các phương pháp số cho tính toán xấp xỉ thì hoàn toàn cần thiết nhằm đáp ứng cho nhu cầu trong phân tích ứng dụng của các bài toán kỹ thuật Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) được biết như là một phương pháp được áp dụng rộng rãi, phổ biến nhất Tuy nhiên vài năm gần đây, một lớp phương pháp tính toán số mới đã xuất hiện và

có tên là phương pháp không lưới (meshfree hay meshless), chẳng hạn như phương pháp không lưới phần tử tự do Galerkin (element-free Galerkin method - EFG), phương pháp không lưới Local Petrov Galerkin (meshless local Petrov-Galerkin method - MLPG), phương pháp không lưới nội suy vòng tròn điểm (meshless radial point interpolation method - RPIM), phương pháp không lưới nội suy vòng tròn điểm địa phương (meshless local radial point interpolation method - LRPIM) [1] [4] [7] [9] [10] Các phương pháp này đã được giới thiệu

và cho thấy nhiều ưu điểm hơn so với các phương pháp tính toán số truyền thống Trong phương pháp không lưới, miền bài toán được rời rạc bởi một tập các nút sử dụng cho việc tính toán nội suy, chứ không phải chia phần tử hay chia lưới như trong phương pháp PTHH thông thường

Đa số các phương pháp số đều có những khuyết điểm Trong phương pháp PTHH thì kết quả bài toán sẽ sai số lớn khi kết cấu xuất hiện vết nứt hoặc có biến dạng lớn, đối với các phương pháp không lưới thì gặp khó khăn trong việc áp đặt các điều kiện biên chính vì hàm dạng không thỏa mãn tính chất hàm kronecker delta và vì thế việc áp đặt các điều kiện biên chính không được thực hiện trực tiếp như trong phương pháp PTHH Do đó cần có các phương pháp để điều chỉnh lại điều kiện biên chính nhằm khắc phục những khó khăn trên, chẳng hạn, phương pháp nhân tử Lagrange [1], phương pháp phạt [26] hay là phương pháp kết hợp với phương pháp PTHH [12] [27] [28], v.v

Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp không lưới Galerkin Kriging (MGK), được phát triển dựa trên phương pháp EFG Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) được thay thế bằng phép nội suy Moving Kriging (MK) có hàm dạng thỏa tính chất hàm kronecker delta vì vậy có thể áp đặt điều kiện biên chính trực tiếp giống như phương pháp PTHH mà không cần phải dùng các phương pháp khác để hiệu chỉnh điều kiện biên

Phương pháp MGK đã được một số tác giả trên thế giới nghiên cứu: Gu (2003) giới thiệu thành công phương pháp MGK cho bài toán truyền nhiệt ổn định P.Tongsuk và W.Kanok-

Nukulchai(2004) đã áp dụng phương pháp MGK để giải bài toán 1 chiều (kéo-nén), bài toán

dầm mỏng, dầm cao, và bài toán phẳng hai chiều Bùi Quốc Tính, Nguyễn Nhật Tân, Nguyễn Đăng Hưng(2009) đã sử dụng phương pháp MGK cho tấm mỏng Kirchhoff Bùi Quốc Tính,

Nguyễn Ngọc Minh và Chuanzeng Zhang(2010) đã sử dụng phương pháp MGK cho bài toán

động lực học kết cấu. Bùi Quốc Tính, Nguyễn Ngọc Minh và Chuanzeng Zhang(2010) phân

tích tĩnh và dao động tự do cho kết cấu vật liệu thông minh (smart materials) bởi phương

pháp MGK

Tại Việt Nam phương pháp MGK vẫn còn mới mẽ, một số tác giả đã nghiên cứu: Nguyễn Nhật Tân(2008) sử dụng phương pháp không lưới Kriging Galerkin (MGK) cho bài toán uốn tấm mỏng Nguyễn Ngọc Tấn (2010) áp dụng phương pháp không lưới MGK để phân tích tĩnh và động cho tấm dày Reissner-Mindlin

Trong phân tích tấm dày Reissner-Mindlin, khi dùng lý thuyết tấm dày để phân tích tấm mỏng thì cần chú ý hiện tượng shear-locking Kỹ thuật loại bỏ shear-locking đã được phát triển rất đầy đủ trong phương pháp PTHH [13] [29] Trong phương pháp không lưới cũng đã

có nhiều cách tiếp cận khác nhau để loại bỏ shear-locking Chẳng hạn, sử dụng cơ sở đa thức bậc cao trong phương pháp h-p cloud [30], kỹ thuật tích phân nút ổn định được áp dụng cho

cả phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) và phép xấp xỉ tái sinh nhân chất điểm (phép xấp xỉ RK) Trong luận văn này, tác giả sử dụng hàm dạng để xấp xỉ góc xoay là đạo hàm của hàm dạng để xấp xỉ độ võng để khử shear-locking và kỹ thuật loại bỏ shear-locking của Kanok-Nukulchai[10] [11]

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của luận văn

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu, áp dụng phương pháp không lưới MGK cho phân tích dao động tự do của tấm làm bằng vật liệu FGM sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất Reissner-Mindlin Trong đó, phân tích và khảo sát các điều kiện biên khác nhau và các tham số của phương pháp ảnh hưởng đến bài toán trị riêng thì được nghiên cứu chi tiết Công việc thực hiện trong luận văn:

1 Hệ thống lại cơ sở lý thuyết cho tấm dày Reissner-Mindlin đồng nhất, đẳng hướng từ đó suy ra cơ sở lý thuyết cho tấm FGM – xem chương 2

2 Trình bày nội dung của phép nội suy MK và phương pháp MGK – xem chương 3

3 Trình bày lý thuyết tính tấm FGM theo mô hình Reissner-Mindlin bằng phương pháp không lưới MGK – xem chương 4

4 Sử dụng chương trình Matlab để giải các ví dụ số Sau đó kết quả được đánh giá, so sánh với kết quả các tác giả đã công bố trước đó để chứng minh tính chính xác của phương pháp sử dụng – xem chương 5

5 Kết luận và hướng phát triển của đề tài – xem chương 6

Nếu p > 0 ⇒V C →1⇒ P z( )=P C: tấm hoàn toàn là tấm Ceramic,

p > ∞⇒V C →0⇒ P z( )=P M: tấm hoàn toàn là tấm Metal,

p ≠ ∞ ⇒0, đặc tính của tấm FGM thay đổi theo chiều dày tấm,

c, m – các chỉ số vật liệu của Ceramic và Metal,

P(z) – tính chất vật liệu hiệu quả của tấm, bao gồm: môđun đàn hồi E, tỷ trọng γ , hệ số poisson ν , khối lượng riêng ρ …

z – khoảng cách từ mặt trung bình của tấm

Hình 2.1 Tấm FGM

2.2 Lý thuyết cơ học vật rắn cho tấm dày Reissner-Mindlin làm bằng vật liệu FGM

2.2.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng

Theo giả thiết Reissner–Mindlin, trường chuyển vị trong tấm có dạng:

0 0 0

x y

v

=+

Với σzz =0, ta được:

12

2.2.2 Quan hệ biến dạng – chuyển vị

Hình 2.3 Lý thuyết biến dạng

Tấm là kết cấu hình lăng trụ hoặc hình trụ có chiều dày h của tấm nhỏ hơn rất nhiều so với

kích thước hai phương còn lại Có nhiều mô hình lý thuyết tấm khác nhau đã được chứng minh, nhưng các loại sau là được dùng thông dụng nhất: lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT)

Lý thuyết tấm cổ điển (hình 2.3) là lý thuyết biến dạng cắt đơn giản nhất khi bỏ qua biến

dạng cắt, lý thuyết này dựa vào lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff: Xem các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi tấm chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi Từ giả thiết này dễ thấy rằng các góc vuông tạo bởi các phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình (và có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn còn là góc vuông trong quá trình biến dạng, như vậy không có sự trượt trong các mặt

phẳng đó hay γ = γ =xz yz 0 Do đó trường chuyển vị trong tấm có dạng:

( )

0 0 0

, ,, ,, ,

Trong đó u v0, ,w0 0 là chuyển vị tại mặt trung bình tấm, z là khoảng cách từ mặt trung bình

đến điểm đang xét, và u v w, , là các hàm xác định chuyển vị tại điểm (x, y, z) bất kì trong tấm

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (hình 2.3) được biết đến như là lý thuyết tấm dày

Reissner-Mindlin Lý thuyết này có xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngoài mặt phẳng

tấm, nghĩa là đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm sau biến dạng vẫn còn thẳng

so với trước biến dạng nhưng bị lệch đi một góc β so với mặt phẳng trung hòa Do đó trường chuyển vị trong tấm có dạng:

x y

φφ

w

(2.8)

Trong đó φx = − βy,φy = βx là góc xoay của đoạn thẳng pháp tuyến của mặt phẳng tấm quanh trục y và x

Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, trong đó lý thuyết hiệu quả và được sử dụng nhiều nhất là

lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) của Reddy khi xét đến biến dạng cong của pháp tuyến

mặt trung hòa sau khi biến dạng (hình 2.3) Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3, trường chuyển

™ Trong luận văn này, để cho đơn giản hóa mô hình tính toán và vẫn đủ độ chính xác, tác giả

áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) để khảo sát cùng với một số giả thiết:

- Độ võng của tấm là nhỏ, khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa và không bị kéo, nén hay trượt trong khi biến dạng

- Các đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn còn thẳng và độ dài không đổi do đó εz= 0

- Trong quá trình biến dạng sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình là không đáng kể có thể bỏ qua tức là ứng suất pháp σzcó thể bỏ qua (vì là nhỏ so với σ σx, y)

Khi đó, biến dạng trong tấm:

2.3 Lý thuyết cơ học vật rắn cho tấm FGM

2.3.1 Các giả thiết cho tấm FGM

- Tấm FGM tuân theo lý thuyết tấm dày, được chia thành nhiều lát mỏng, và giả thiết là liên kết lý tưởng giữa các lớp

- Những lát mỏng này đồng nhất đẳng hướng, có môđun đàn hồi thay đổi theo chiều dày tấm (tọa độ phương z)

- Biến dạng là liên tục qua các biên tiếp giáp giữa các lát mỏng

- Không có biến dạng trượt giữa các lát mỏng

2.3.2 Ứng suất biến dạng và nội lực trong tấm

- Áp dụng định luật Hook, ứng suất trong mặt phẳng tấm:

σ =E(ε + ε0 z ) (2.15)

Và biến dạng cắt

2.3.3 Bài toán phân tích dao động tự do [34]

Theo giả thiết Reissner - Mindlin chuyển vị của tấm có thể biểu diễn bởi:

0 0

( , , , ) ( , , ) ( , , )

( , , , ) ( , , )

x y

φφ

(1 )2

∫

(2.22)

Trong đó

A – diện tích tấm; dA = dxdy,

3 2

Sử dụng nguyên lý Hamilton để tính hàm năng lượng toàn phần, phương trình chủ đạo của

tấm trong trường hợp dao động tự do là

3 2

3 2

2

1212

xy x

y x

Chương 3

Phương pháp không lưới Galerkin Kriging

(MGK)

3.1 Phương pháp nội suy Moving Kriging (MK)

3.1.1 Phép nội suy Moving Kriging [4][10][16][19][20]

Phép nội suy Moving Kriging (MK) có thể áp dụng vào miền con bất kỳ Ωx ⊆ Ω Trong miền bài toán Ω, xét một miền con Ωx là lân cận của điểm x hay nó còn gọi là miền ảnh hưởng của điểm x Để xấp xỉ hàm uh(x) trong miền con Ωx bao gồm các nút {si }, i =1, 2…,

tại một điểm x trong miền con Ωx được định nghĩa bởi biểu thức:

)()

(

1

x

x x

p(x) - là cơ sở đa thức, m là số phần tử (số đa thức) trong cơ sở Cơ sở đa thức của phương

pháp MGK được chọn giống như trong phương pháp phần tử hữu hạn

Đối với bài toán 1 chiều

Cơ sở tuyến tính: pT(x) = {1, x}, m = 2 (3.3)

Cơ sở bậc 2: pT(x) = {1, x, x2}, m = 3 (3.4)

Đối với bài toán 2 chiều

Cơ sở tuyến tính: pT(x) = {1, x, y}, m = 3 (3.5)

( , ) ( , ) 1

c c

n n

với

R[R(si, sj)] - là ma trận tương thích kích thước (nc x nc),

R(si, sj) - là hàm tương thích giữa nút si và nút sj trong miền Ω x

2

(x , x )i j r ij

R =e−θ (3.10)

) , ( ) (

1

x s

x s x

r

c

n R

R

(3.12)

r(x) - là véctơ tương thích giữa nút x và các nút si trong miền con Ωx,

R(si,x) – là hàm tương thích giữa nút si và x

Đạo hàm riêng của hàm dạng theo xi:

( )

n m

Một tính chất quan trọng của hàm dạng Moving Kriging là tính chất kronecker delta được

thỏa mãn Do đó ta có thể áp đặt điều kiện biên trực tiếp, không cần phải điều chỉnh điều kiện

biên như những phương pháp không lưới khác

Giá trị của hàm dạng Φ xI( ) tại xJ được cho bởi công thức:

n m

™ Tính ổn định

Một tính chất khác của hàm dạng MK là phép nội suy MK có thể tạo ra bất kỳ hàm nào

trong cơ sở đa thức một cách chính xác, nếu uI thu được từ một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng m, khi đó:

ra một đa thức tuyến tính tổng quát chính xác:

1

( ) 1

c n I

∑ x (3.31)

3.1.3 Một số hàm dạng của phương pháp nội suy MK

™ Bài toán 1 chiều

Xét các hàm dạng và các đạo hàm của phương pháp trong bài toán 1 chiều, miền khảo sát của bài toán [0, 1] gồm 8 nút như hình vẽ, hệ số tương thích chọn θ = 50

Hình 3.1 Bố trí nút trong bài toán 1 chiều

a Hàm dạng trong bài toán 1 chiều

b Đạo hàm bậc nhất của hàm dạng trong bài toán 1 chiều

c Đạo hàm cấp 2 của hàm dạng trong bài toán 1 chiều

Hình 3.2 Hàm dạng và các đạo hàm của nó trong bài toán 1 chiều

™ Bài toán 2 chiều

Kết quả của một số hàm dạng tại tâm tấm và các đạo hàm của nó ứng với tấm vuông kích

e Đạo hàm cấp 2 theo y f Đạo hàm cấp 2 theo xy Hình 3.3 Hàm dạng tại tâm tấm và các đạo hàm của nó

3.1.4 Ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm dạng MK

Như chúng ta đã biết, hệ số tương thích θ là rất quan trọng trong phương pháp nội suy MK,

độ hội tụ của phương pháp phụ thuộc rất lớn vào việc lựa chọn hệ số θ Trong phần này tác giả sẽ cho thấy sự ảnh hưởng mạnh mẽ của θ lên hàm dạng của MK trong bài toán 1D và 2D

Trong phương pháp nội suy MK, theo (3.10) hàm Gaussian được tính thông qua công thức:

j i

™ Với bài toán 1D

Xét sự ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm dạng của bài toán 1 chiều, miền khảo sát của bài toán [0, 1] gồm 6 nút như hình vẽ, hàm dạng tại nút 3 có tọa độ (0.4, 0) được thể hiện trong hình 3.4 ứng với khoảng thay đổi của hệ số tương thích θ là [1 100]

Hình 3.4 Bố trí nút trong bài toán 1 chiều

Hình 3.5 Hàm dạng tại nút 3 với bài toán 1 chiều, ứng với θ thay đổi

Từ hình 3.5, ta thấy rằng sự ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm dạng rất rõ ràng, đầu tiên có thể thấy rằng hàm dạng thỏa tính chất kronecker delta, có nghĩa là Φ(0.4) 1= và

(0) (0.2) (0.6) (0.8) (1) 0

Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Tuy nhiên hình dạng của chúng có sự khác biệt về

™ Với bài toán 2D

Xét tấm vuông 2m x 2m, lưới nút 5 x 5 Hàm dạng phương pháp nội suy MK tại tâm tấm ứng với các giá trị θ khác nhau trong khoảng [1 100], nhằm mục đích khảo sát sự ảnh hưởng

của θ lên hàm dạng của phương pháp nội suy MK

a Hàm dạng tại tâm với θ=1 b Hàm dạng tại tâm với θ=10

c Hàm dạng tại tâm với θ=15 d Hàm dạng tại tâm với θ=30

e Hàm dạng tại tâm với θ=50 f Hàm dạng tại tâm với θ=90

Hình 3.6 Hàm dạng tại tâm tấm ứng với các giá trị θ khác nhau

Từ hình 3.6, ta thấy hàm dạng tại tâm tấm ứng với 6 giá trị θ khác nhau có sự thay đổi rất

rõ ràng, và hàm dạng thỏa tính chất Kronecker delta tại điểm này Khi hệ số tương thích θ

thay đổi thì hàm Gaussian (công thức 3.10) có sự thay đổi, dẫn đến hàm dạng cũng thay đổi mạnh mẽ Điều này cho thấy sự ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm Gaussian cũng như hàm dạng

của phương pháp MK Trong hình thì khoảng giá trị tối ưu của hệ số θ trong khoảng

10 ≤ ≤θ 15 sẽ cho hình dạng tốt nhất

3.2 Phương pháp không lưới MGK [16][19][20]

3.2.1 Giới thiệu

Một phương pháp không lưới mới đã được phát triển từ phương pháp không lưới EFG của Belytschko et al [1], phép nội suy MLS được thay thế bằng phép nội suy MK, đó là phương pháp không lưới MGK Phương pháp này dựa trên việc kết hợp giữa dạng yếu Galerkin và phép nội suy MK để phát triển phương trình chủ đạo rời rạc

Một tính chất toán học rất hữu ích của phép nội suy MK đó là tính chất Kronecker delta,

do đó trong quá trình tính toán có thể áp đặt điều kiện biên trực tiếp giống như trong phương pháp phần tử hữu hạn, mà không cần phải dùng các phương pháp khác để hiệu chỉnh điều kiện biên

Hơn nữa, cũng giống như các phương pháp không lưới khác, các khái niệm về miền giá

đỡ, miền ảnh hưởng và cách xác định bán kính miền giá đỡ cũng sẽ được trình bày trong chương này

3.2.2 Khái niệm miền giá đỡ [5]

Miền khảo sát của bài toán được tạo ra bằng việc bố trí hệ thống các nút bên trong và trên biên Mật độ của các nút phụ thuộc vào yêu cầu tính chính xác của quá trình phân tích bài toán và nguồn máy tính đang dùng Các nút có thể được bố trí có quy tắc hoặc là bất quy tắc

Để tăng tính chính xác của kết quả tính toán thì cần bố trí nút dày đặc hơn tại những vị trí

có biến dạng lớn Để nội suy chuyển vị tại một điểm nào đó trong miền bài toán, ta cần xây dựng miền giá đỡ tại điểm đó và xác định chuyển vị của điểm đó thông qua chuyển vị của các nút trong miền giá đỡ Miền giá đỡ có nhiều dạng hình học khác nhau, kích thước và hình dạng của nó có thể khác nhau tùy vào những điểm cần nội suy khác nhau, chẳng hạn như hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, v.v

Hình 3.7 Miền giá đỡ hình tròn và hình chữ nhật

Trong đó hình dạng thường dùng nhất là hình tròn và hình chữ nhật Ta luôn sử dụng miền giá đỡ để chọn số nút trong việc tính toán xây dựng hàm dạng

3.2.3 Khái niệm miền ảnh hưởng [5]

Trong phương pháp không lưới, chúng ta thường hiểu không rõ ràng về miền giá đỡ và miền ảnh hưởng Miền ảnh hưởng là miền 1 nút có ảnh hưởng ở đó Nó gắn liền với nút, ngược lại với miền giá đỡ gắn liền với 1 điểm x bất kỳ mà không nhất thiết là 1 nút Có thể dùng miền ảnh hưởng để chọn nút cho việc nội suy, và nó vẫn tốt cho các trường hợp nút phân bố đều và không đều Miền ảnh hưởng được xác định cho mỗi nút trong miền bài toán,

và nó có thể khác nhau từ nút này sang nút khác

Chẳng hạn như trong hình 3.8 biểu diễn miền ảnh hưởng của 3 nút 1, 2, 3 Ta thấy rằng bán kính của 3 miền ảnh hưởng này là khác nhau Từ hình vẽ thì để xây dựng hàm dạng cho điểm xQ thì nút 1 và nút 2 được sử dụng nhưng nút 3 không được dùng, vì miền ảnh hưởng nút 3 không chứa điểm xQ

3.2.4 Xác định kích thước miền giá đỡ [5][16]

Trong phương pháp không lưới, có nhiều phương pháp để xác định kích thước bán kính của miền giá đỡ, tùy thuộc nhiều bài toán khác nhau Tính chính xác của phép nội suy phụ thuộc vào số nút trong miền giá đỡ của điểm muốn nội suy

Một miền giá đỡ phù hợp nên được chọn để đảm bảo cho phép nội suy được hội tụ, kích thước bán kính miền giá đỡ được xác định theo công thức:

dm =αdc (3.32)trong đó

dm - là bán kính miền giá đỡ,

dc - là khoảng cách trung bình giữa các nút,

α - là hệ số của bán kính miền giá đỡ

L, H - chiều dài các cạnh theo phương x, y,

nL, nH - số nút trên các cạnh theo phương x, y,

R, nR - bán kính miền bài toán, và số nút trên bán kính,

ntheta - số nút trên cung tròn

Hệ số α trong công thức (3.32) được xác định theo kinh nghiệm tính toán, trong bài toán

2D thì 2≤ ≤ thường sẽ cho lời giải có kết quả tốt Trong bài toán 2D, α được chọn sao α 4cho bán kính dm đủ lớn để có thể chứa ít nhất 6 nút trong miền giá đỡ của 1 điểm, nhằm tránh

sự suy biến của ma trận moment A trong công thức (3.13)

Mặt khác khi chọn hệ số α cần chú ý là không được chọn hệ số α quá bé hoặc quá lớn bởi vì:

- Nếu α quá bé thì ma trận A sẽ bị suy biến dẫn đến kết quả không chính xác

- Nếu α quá lớn thì bên trong miền giá đỡ của 1 điểm sẽ có quá nhiều nút, như vậy dẫn đến kích thước ma trận độ cứng, ma trận khối lượng sẽ là quá lớn, do đó khối lượng tính toán

sẽ rất lớn và điều này là không cần thiết Như vậy trong bài toán 2D ta nên chọn 2≤ ≤α 4

Ldt

δ∫ = (3.35) Với L là hàm Lagrange được xác định theo công thức:

L T= − Π +S W f (3.36)

trong đó

T - là động năng của tấm,

Πs- là năng lượng biến dạng trong tấm,

W f - là công của ngoại lực

Động năng của hệ được xác định theo công thức:

0 0

0 00

h - chiều dày tấm,

ρ( )z - khối lượng riêng của tấm được xác định theo công thức (2.1)

Năng lượng biến dạng trong tấm được biểu diễn như sau:

ε σ - lần lượt là véctơ biến dạng và véctơ ứng suất của 1 điểm nào đó trong tấm

Công của ngoại lực được định nghĩa như sau:

b b b

t - véctơ tải tác dụng trên biên Γ của tấm