- Trong bài làm nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (5,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức
( )(1 ) ( )(1 ) (1 )(1 )
P
2 Chứng minh rằng 12 12 12 12 1 2 1 2
Bài 2 (5,0 điểm)
1 Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 2x25y2 41 2 xy
2 Giải phương trình x 3 x24x7
Bài 3 (3,0 điểm)
1 Cho hai số dương ,a b thỏa mãn a 1 1
b
Chứng minh rằng
2
2 Có tồn tại số tự nhiên n để 2022 n 2 là số chính phương hay không ? vì sao ?
Bài 4 (6,0 điểm)
1 Cho hình vuôngABCDcó độ dài cạnh bằng a, E là một điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác ,
C D ) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BCtại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K
a Chứng minh 12 12
AE AF không đổi
b Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ Nđến DCvà AD
2 Cho ABCD là hình bình hành Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm
,
H I, K lần lượt là hình chiếu của , , B C D trên đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng BHCIDKcó giá trị lớn nhất
Bài 5 (1,0 điểm)
1 Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng
2 Biết rằng mỗi đường chéo của một ngũ giác lồi ABCDE cắt ra khỏi nó một tam giác có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác ABCDE
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay trong khi làm bài Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí cán bộ coi thi thứ nhất Chữ kí cán bộ coi thi thứ hai
ĐỀ XUẤT
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020
ĐỀ XUẤT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN THI : TOÁN
1
1 Điều kiện: x y x; 1;y1
x x y y x y x y x xy y x y x y
P
2 2
1
x x y x y
x
x xyy
Ta có
2
* (n )
2
Áp dụng đẳng thức trên ta được
S
= 1
2020
(điều phải chứng minh)
2.5
2.5
2
1 Phương trình đã cho tương đương 2x22xy5y2410 (1)
9
x y y Mặt khác từ (1) ta có y2 là số lẻ, nên 2
1;9
y
y x x x
y x x x
2
x
x
2
x
x
Vậy có 4 cặp số nguyên( ; )x y thỏa mãn là: (1;3),(2;3),( 1; 3),( 2; 3)
2 Điều kiện x 3 0 x 3
Phương trình đã cho tương đương 2
1
3 2
x
x x x
2.5
2.5
Trang 3 1
3 2
x
1 0 1
5 0
3 2
x
x x
+) x 1 0 x 1
5 0
3 2 x
+ So sánh điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là 1
3
1 Ta có: a 1 1
b
b
với (a > 0, b > 0)
lại có HĐT:
2
2
x y
(1) , dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi x= y
(xy) (x y) 4xy (x y) 4xy (2), dấu”=” xả y ra khi và chỉ khi x= y
Áp dụng (1), ta có:
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a 1 b 1
và a 1 1
b
- Áp dụng (2), ta có:
2
1
a
(2’), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
a
b
và a 1 1
b
Từ (1’) và (2’) suy ra:
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1
a b
hay b 1
a
Vậy
2
, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a =
1
2 và b = 2
2 Giả sử 2
2022 n là số chính phương thì 2 2 *
2022 n m m
2022m n 2022 m n m n
Như vậy trong hai số mn và m n phải có ít nhất một số chẵn (1)
Mà m n m n 2m nên suy ra hai số mn và m n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai số mn và m n là hai số chẵn
m n m n
chia hết cho 4
Mà 2022 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2022 n 2 là số chính phương
2.0
1.0
Trang 44
P N' M'
Q M
H
K
F
B A
D
C E N
a Chứng minh: ABF = ADK (g.c.g) suy ra AF = AK
Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên
12 12 12
AK AE AD hay 12 12 1 2 12
AF AE AD a (không đổi)
b Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN
Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N MN’ là phân
giác của '
DMM Cách dựng điểm N:
- Dựng M’ đối xứng M qua AD
- Dựng phân giác DMM cắt DM’ tại N’ '
- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD
Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho điểm tối đa
2 Gọi O là giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P
HS lập luận được BH + CI + DK = 4OP
Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO
Đạt được khi P A hay d vuông góc AC
2.0
2.0
2.0
5
1 Nếu tất cả 100 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì bài toán hiển nhiên đúng
Nếu không phải cả 100 điểm đều thẳng hàng Ta chọn ra bốn điểm A B C D, , , mà không phải tất cả đều thẳng hàng Theo giả thiết trong 4 điểmA B C D, , , phải có 3 điểm thẳng hàng, giả sử 3 điểm A B C, , thuộc đường thẳng d, còn điểm Dnằm ngoài đường thẳng d Ta sẽ chứng minh 96 điểm còn lại thuộc đường thẳng d bằng phương pháp phản chứng
Giả sử trong 96 điểm còn lại, tồn tại điểm Enằm ngoài đường thẳng d Xét bốn điểm , , ,
A B D E phải có 3 điểm thẳng hàng Do 3 điểm A B D, , không thẳng hàng, 3 0.5
d
P
O K
I
H
C D
A
B
Trang 5điểmA B E, , không thẳng hàng nên 3 điểm A D E, , thẳng hàng hoặc 3 điểm B D E, , thẳng hàng
2 DoSABC SABE nên C và E cách đều AB hay AB // CE
Tương tự các đường chéo còn lại cũng song song với các cạnh tương ứng
Gọi P là giao điểm của BD và CE và đặt diện tích SBCP x 0
Do tứ giác ABPE là hình bình hành nên SBPE SABE 1
Lại có:
5 1
x
x
x x
Diện tích ngũ giác: S ABCDE SABESBPE SCDE SBCP 3 x
5 5 2
ABCDE
0.5
Lưu ý khi chấm bài:
- Trong quá trình chấm bài giám khảo có thể chia điểm nhỏ hơn ở các phần
- Hướng dẫn chấm (HDC) chỉ trình bày một cách giải đại diện, bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo có thể căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm
- Trong bài làm nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm
- Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn