Đề và HDC học sinh giỏi lớp 9 vòng huyện môn Toán năm học 2019-2020

c) Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất.. Tính diện tích đó.[r]

UBND HUYỆN HÒA BÌNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC 2019 -2020 MÔN : TOÁN

LỚP : 9 Thời gian : 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ Câu 1: (5 điểm)

a) Chứng minh rằng: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n b) Chứng minh A4n4 4n3 6n2 3n2 với nN không phải là số chính phương

Câu 2: ( 5 điểm )

a) Giải phương trình 2

b) Giải hệ phương trình





















3 2

1 2

3 3

2 2

xy y

x

xy y

x

Câu 3: ( 5 điểm )

a) Tìm GTNN của biểu thức : Px2 2xy6y2 12x2y45

b) Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

abc

c b a ab c ac b bc

1 1

1

2 2

2

















Câu 4: ( 5 điểm )

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và EF là dây cung di động cùng trên nữa mặt phẳng bờ là đường kính AB sao cho E thuộc cung AF và EF =R AF cắt BE tại H,AE cắt BF tại C, CH cắt AB tại I

a) Tính góc CIF

b) Chứng minh AE.AC + BF.BC không đổi khi EF là dây cung di động cùng trên nữa mặt phẳng bờ là dường kính AB

c) Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích đó

-Hết -

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN HỊA BÌNH

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN

NĂM HỌC 2019 -2020 MƠN : TỐN

LỚP : 9 Thời gian : 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1:( 5,0 điểm)

a) (2,5đ) Chứng minh rằng: A = 7.52n + 12.6n 19 với mọi số tự nhiên n

Ta cĩ: A = 7.52n + 12.6n = 7.25n – 7.6n + 19.6n (0,75đ)

= 7(25n - 6n) + 19.6n (0,5đ)

Vì 7(25n - 6n)  25 – 6 = 19 và 19.6n  19 (0,75đ)

Vậy A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n (0,5đ)

b) (2,5đ) Chứng minh A4n44n3 6n2 3n2 với nN khơng phải là số

chính phương

Ta cĩ:

(4 4 5n 2 1) (n 1) 0,5đ

= (2n 1) + (n 1) > (2n 1) 0,5đ



2

4) (3n 2) 0,5đ = (2n 2) - (3n 2) < (2n 2) 0,5đ 0,5đ

2 2 12  2 2 2 0,25đ2

Vậy A không phải là số chính phương 0,25đ

Câu 2: ( 5 điểm )

a) (2,5 điểm)

Giải phương trình 2

ĐK: x 2019

2020

 (0,25đ) Phương trình đã cho tương đương với:

2

x  x  x  x   (0,5đ)

(x 1)  ( 2020x 2019 1)   0 (0,5đ)

Dấu bằng xảy ra khi

1 0

x x

 





 (0,5đ)

x x









(0,5đ)

Vậy phương trình cĩ nghiệm là x = 1 (0,25đ)

b) (2,5 điểm)

Giải hệ phương trình





















3 2

1 2

3 3

2 2

xy y

x

xy y

x

Ta cĩ:





















3 2

1 2

3 3

2 2

xy y

x

xy y





















3 2

1

3 3 2

xy y

x

y x

(0,25đ)



















































3 2 1

3 2 1

3 3

3 3

xy y

x

y x

xy y

x

y x

























































3 1 2 1

1

3 1 2 1

1

3 3

3 3

y y y

y

y x

y y y

y

y x

(0,75đ)





















































0 5 4 1

0 2 1

2 2

y y

y x

y y

y x



































































) (

0 20

11 2

1 1

0 2 1 1

2

PTVN y

y x

y y

y x

(0,75đ)









































2 1 1 2

y x y x

(0,5đ)

Vậy hệ pt đã cho cĩ hai nghiệm là  2 ; 1 và  1  ; 2 (0,25đ)

Câu 3: ( 5 điểm )

a) (2,5 điểm) Tìm GTNN của biểu thức :

   

x y





 





7 1

(1,0đ)

= (1,0đ) Vậy MinP = 4 (0,5đ)

b) (2,5 điểm)

Với a,b,c là các số dương, áp dụng BĐT Cơsi ta cĩ:

bc a bc a bc

a2   2 2  2

bc a bc

1 1





(0, 5đ)

Tượng tự ta có

ca b ca

1 1



(0,25đ)

ab c ab

1 1



(0,25đ)

ab c ca b bc

1 1

1

2 2

2















Áp dụng BĐT Côsi ta có: ab  a2b , bc b2c , ca  c2a (0,5đ)

Suy ra ab bc ca abc (2) (0,25đ)

Từ (1) và (2) suy ra

abc

c b a ab c ca b bc

1 1

1

2 2

2















Câu 4: ( 5 điểm )

Vẽ hình đúng ( 0,25đ)

H

F E

O A

C

B I

a) Ta có BE và AF là hai đường cao của ABC CI  AB nên tứ giác IHFB

nội tiếp (0,5đ)

 H Iˆ F H BˆF ( góc nội tiếp cùng chằn cung HF)

Hay C Iˆ F E BˆF (0,25đ)

Mà EOF đều nên E OˆF 600 (0,25đ)

C IˆF E BˆF 300 (0,25đ)

b) Ta có: ACI  ABE (g.g) 

AE

AI AB

AC

  AC.AE  AB.AI (0,5đ)

BCI  BAF (g.g) 

BF

BI BA

BC

 BC.BF BA.BI (0,5đ)

.

.

c) Ta có ABC  FEC (g.g) (0,5đ)



4

1 2

2 2































R

R AB

EF S

S

ABC

FEC

ABC

S

4

3





(0,5đ)

ABFE

S lớn nhất  S ABC lớn nhất CI lớn nhất I  O CAB cân EF // AB (0,5đ)

2

3

R R

R

2

R

S ABFE 



(0,5đ)

-Hết -

Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó