chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến vành phân bậc và môđun phân bậc; hàm Hilbert và đa thức Hilbert của một môđun phân bậc hữu hạn sinh;[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NAM SINH

CHỈ SỐ CHÍNH QUY

CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG

KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 62 46 01 04

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn Thiện

HUẾ - NĂM 2019

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đạihọc Huế, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Văn Thiện Tôixin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quảtrong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sửdụng và chưa từng được công bố trước đó

Tác giả

Trần Nam Sinh

LỜI CÁM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệmcủa PGS.TS Phan Văn Thiện Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tớiThầy, người đã đưa ra hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáotrong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án

Tác giả xin gửi lời cám tới GS TSKH Ngô Việt Trung với những góp ý,hướng dẫn cho việc trình bày luận án

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:

- Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại họcHuế,

- Bộ môn Khoa học cơ bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng,

về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ củamột nghiên cứu sinh

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và nhữngngười bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập

Trần Nam Sinh

MỤC LỤCMỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1

Pn :=Pnk Không gian xạ ảnh n-chiều trên trường k

R := k[x0, , xn] Vành đa thức theo các biến x0, , xn trên trường k Z(T ) Tập không điểm của tập T ⊂ R các phần tử thuần nhất

của R I(Y ) Iđêan thuần nhất của tập điểm Y ⊂Pn

℘ Iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi điểm P ∈Pndim B Chiều (Krull) của vành B

Ann(M ) Annihitor của môđun M

L

d

Md Tổng trực tiếp của các nhóm con Md

HM(t) Hàm Hilbert của môđun phân bậc M

PM(t) Đa thức Hilbert của môđun phân bậc M

Z = m1P1+ · · · + msPs Tập điểm béo Z

reg(Z) Chỉ số chính quy của Z

reg(A) Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành tọa độ

A

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cho X = {P1, , Ps} là tập các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh

Pn :=Pnk, với k là một trường đóng đại số Gọi ℘ 1 , , ℘ s là các iđêan nguyên tốthuần nhất của vành đa thức R := k[x0, , xn] tương ứng với các điểm P1, , Ps.

Cho m1, , ms là các số nguyên dương Ta ký hiệum1P1+ · · · + msPs là lược

đồ chiều không xác định bởi iđêan I := ℘m1

Đề tài về tập điểm béo được nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau

Ví dụ như giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc của các hàm nội suy đếnnay vẫn chưa được giải quyết (xem [13]) Trong luận án này, chúng tôi quan tâmđến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R/I.

Với tập điểm béo Z = m 1 P 1 + · · · + m s P s xác định bởi iđêan I, vành tọa

độ thuần nhất của Z là A := R/I. Vành A = ⊕t≥0At là một vành phân bậcCohen-Macaulay 1-chiều có bội của nó là e(A) :=

sPi=1

m i +n−1 n

.

Hàm Hilbert của Z được xác định bởi HA(t) := dimkAt, tăng chặt cho đếnkhi đạt được số bội e(A), tại đó nó dừng Chỉ số chính quy của Z được địnhnghĩa là số nguyên bé nhất t sao cho HA(t) = e(A)và nó được ký hiệu là reg(Z).

Chỉ số chính quyreg(Z)bằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(A) củavành tọa độ A.

Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính quy reg(Z)đã được nhiều người quantâm và có nhiều kết quả Năm 1961, Segre (xem [19]) đã chỉ ra được chặn trêncho chỉ số chính quy của một tập điểm béoZ = m1P1+ · · · + msPs sao cho không

có ba điểm nào của chúng nằm trên một đường thẳng trong P2:

Cho một tập điểm béo tùy ý Z = m1P1+ · · · + msPs trong P2 Năm 1969,Fulton (xem [12]) đã đưa ra chặn trên cho chỉ số chính quy của Z như sau:

reg(Z) ≤ m 1 + · · · + m s − 1.

Chặn này được mở rộng cho một tập điểm béo tùy ý trong Pn bởi Davis vàGeramita (xem [9]) Họ đã chứng minh được rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi tập điểm P1, , Ps nằm trên một đường thẳng trong Pn

Một tập điểm béo Z = m 1 P 1 + · · · + m s P s trong Pn được gọi là ở vị trí tổngquát nếu không có j + 2điểm củaP1, , Ps nằm trên mộtj-phẳng vớij < n.Năm

1991, Catalisano (xem [6], [7]) đã mở rộng kết quả của Segre cho tập một điểmbéo ở vị trí tổng quát trong P2 Vào năm 1993, Catalisano, Trung và Valla (xem[8]) mở rộng kết quả này cho tập một điểm béo ở vị trí tổng quát trong Pn, họ

Năm 1996, N.V Trung đã đưa ra một giả thuyết như sau (xem [24]):

Giả thuyết: Cho Z = m 1 P 1 + · · · + m s P s là một tập điểm béo tùy ý trong Pn.

#

Pi1, , Piq nằm trên một j-phẳng

)

.

Hiện nay chặn này được gọi là chặn trên của Segre

Giả thuyết này có một số người làm toán quan tâm Chúng tôi xin đề cậpmột vài kết quả gần đây liên quan đến giả thuyết này

Chặn trên Segre đã được chứng minh đúng trong không gian xạ ảnh với

số chiều n = 2, n = 3 (xem [22], [23]) và cho tập điểm kép Z = 2P1+ · · · + 2Ps

trong P4 (xem [24]) bởi Thiện; cũng trong trường hợp n = 2, n = 3 Fatabbi vàLorenzini đưa ra một chứng minh độc lập khác (xem [10], [11])

Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi và Lorenzini đã chứng minh được chặn trênSegre cho một tập gồmn + 2điểm béo không suy biến Z = m1P1+ · · · + mn+2Pn+2

Tuy nhiên đây là một bài toán khó hơn, cho đến nay việc tính đúng giá trịreg(Z)

chỉ đạt được cho một số tập điểm béo với những điều kiện nhất định

Nhắc lại rằng với các điểm béo Z = m 1 P 1 + · · · + m s P s nằm trên một đườngthẳng trong Pn. Davis và Geramita (xem [9]) đã chứng minh được

reg(Z) = m1+ · · · + ms − 1.

Một đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn là đường cong có phương trình thamsố:

x0= tn, x1 = tn−1u, , xn−1 = tun−1, xn = un.

Cho một tập điểm béo Z = m1P1+ · · · + msPs trong Pn, với m1≥ m2 ≥ · · · ≥

ms. Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla đã chỉ ra công thức tính reg(Z) tronghai trường hợp sau (xem [8]):

Nếus ≥ 2và P 1 , , P s nằm trên một đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn (xem[8, Proposition 7]), thì

mi+ n − 2)/n



.

Nếu n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2, 2 ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms và P1, , Ps nằm ở vị trí

tổng quát trong Pn (xem[8, Corollary 8]), thì



2 Mục đích nghiên cứu

Năm 2013 chúng tôi bắt đầu thực hiện đề tài "chỉ số chính quy của tập điểmbéo trong không gian xạ ảnh" Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu về chỉ sốchính quy của tập điểm béo Chúng tôi chỉ ra công thức tính chỉ số chính quy

và chặn trên của nó cho một số trường hợp cụ thể

Cho Z = m1P1+ · · · + msPs là một tập gồm s điểm béo ở ví trí tổng quáttrên một r-phẳng α trong Pn với s ≤ r + 3. Chúng tôi đã đưa ra được công thứcnhư sau (xem Định lý 2.1.1):

reg(Z) = maxnTj j = 1, , no,

trong đó

Tj = max



mq + j − 2 j



 ... đầu thực đề tài " ;chỉ số quy tập điểmbéo khơng gian xạ ảnh& #34; Mục đích chúng tơi nghiên cứu s? ?chính quy tập điểm béo Chúng tơi cơng thức tính số quy

và chặn cho số trường hợp cụ thể... Tính số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn

- Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ? ??nh Pn.

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Trong. .. HA(t) = e(A) gọi số quy tập điểm béo Z, kýhiệu reg(Z).

Ta thấy số quy tập gồm điểm béo mP trongkhông gian xạ ảnh Pn,