Đáp án đề thi đại học môn toán khối B năm 2009

Đáp án và đề thi đại học môn toán Khối B từ năm 2003 đến năm 2010

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

Môn thi: TOÁN; Khối: B

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

1 (1,0 điểm) Khảo sát…

• Tập xác định: D= \

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y' 8= x3−8 ;x y' 0= ⇔ x=0 hoặc x= ±1

Hàm số nghịch biến trên: (−∞ −; 1) và (0;1); đồng biến trên: ( 1;0)− và (1;+ ∞)

0,25

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= ±1, y CT = −2; đạt cực đại tại x=0, y CĐ =0

- Giới hạn: lim lim

x y x y

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2 (1,0 điểm) Tìm m

Phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị

hàm số

Đồ thị hàm số y= 2x4−4x2

và đường thẳng y=2m

0,25

I

(2,0 điểm)

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 2< m<2 ⇔ 0< <m 1

+ +∞

x

y' − 0 + 0 − 0

y

+∞

2

0

O y

2

−

2

−

1

16

2

y

2

2 1

16

2

−

2

y= m

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Phương trình đã cho tương đương: (1 2sin− 2x)sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2cos 4

II

x

⇔ sin cos 2x x+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2cos 4x 0,25

⇔ sin 3x+ 3 cos3x=2cos 4x ⇔ cos 3 cos 4

6

⎛ − ⎞=

6

x= x− +π k π hoặc 4 3 2

6

6

x= − +π k π hoặc 2

2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…

Hệ đã cho tương đương:

2

2

1 7 1 13

x x

y y x x

y y

⎧ + + =

⎪⎪

⎨

⎪ + + =

⎪⎩

(do y=0 không thoả mãn hệ đã cho) 0,25

1

7

1

13

x x

x x

⎪

⎨

⎪⎜ + ⎟ − =

⎪⎝ ⎠

⎩

⇔

2

20 0 1

7

x

x

⎪ +⎜ ⎟ +⎜ + ⎟− =

⎨

⎪ = −⎜ + ⎟

⎪

⎩

0,25

⇔

1 5 12

x y

⎧ + = −

⎪

⎨

⎪ =

⎩

(I) hoặc

1 4 3

x y

x y

⎧ + =

⎪

⎨

⎪ =

⎩

(2,0 điểm)

(I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: ( ; ) 1;1

3

x y ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠ và ( ; ) (3;1).x y = Vậy: ( ; ) 1;1 hoặc ( ;

3

x y ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠ x y) (3;1).=

0,25

Tính tích phân…

3 ln ,

( 1)

dx dv x

= +

1 ,

du dx x

1

v x

= −

I

3 ln

+

3 ln 3 3 1

dx dx

1

+

+

III

(1,0 điểm)

Tính thể tích khối chóp…

Gọi D là trung điểm AC và là trọng tâm tam giác G ABC

ta có 'B G⊥(ABC) ⇒ nB BG' = 60D

2

a

B G B B= B BG= và

2

a

BG= ⇒ 3

4

a

BD=

Tam giác ABC có: 3,

4

AB

CD=

0,50

IV

(1,0 điểm)

6

13

a

26

a

AC=

2

104

ABC

a

'

B

C

'

G

C' A

D

Thể tích khối tứ diện A ABC' : ' ' 1 '

3

A ABC B ABC ABC

V =V = B G SΔ

3

9 208

a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức…

Kết hợp (x y+ )3+4xy≥ 2 với (x y+ )2≥ y suy ra: 4x (x y+ )3+ +(x y)2≥2 ⇒ x y+ ≥1 0,25

A=3(x4+y4+x y2 2) 2(− x2+y2) 1+ = 3( 2 2)2 3 4 4 2 2

2 x +y +2 x +y − x +y +1

0,25

2 x +y +4 x +y − x +y + ⇒ 9( 2 2) (2 2 2)

4

A≥ x +y − x +y +

Đặt t x= 2+y2, ta có 2 2 ( )2 1

x y

x +y ≥ + ≥ ⇒ 1

; 2

t≥ do đó 9 2

2 1 4

A≥ t − + t

Xét 9 2

4

f t = t − + t '( ) 9 2 0

2

f t = t− > với mọi 1

2

t≥ ⇒

1; 2

2 16

f t f

⎡ +∞⎟ ⎞

⎢⎣ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟=

⎝ ⎠

0,25

V

(1,0 điểm)

9

; 16

A≥ đẳng thức xảy ra khi 1

2

x y= = Vậy, giá trị nhỏ nhất của bằng A 9

1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K

Gọi K a b( ; );K∈( )C ⇔ 2 2 4

( 2)

5

a− +b = (1); ( )C1 tiếp xúc Δ1, Δ2 ⇔

VI.a

7

a b− a− b

= (2) 0,25

(1) và (2), cho ta:

⎪

⎨

− = −

⎨

− = −

⎩

5( ) 7

⎨

(2,0 điểm)

(I) ⇔ vô nghiệm; (II)

2

25 20 16 0 2

⎨

= −

5 5

25 40 16 0

a b

a b

=

Bán kính ( ) :C1 2 2

5 2

a b

= = Vậy: 8 4;

5 5

K⎛ ⎞

⎝ ⎠ và

2 2 5

2 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P

Mặt phẳng ( )P thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: ( )P qua , A B và song song với CD 0,25 Vectơ pháp tuyến của ( ) P : n= ⎣⎡AB CD, ⎤⎦

G JJJG JJJG

( 3; 1;2),

AB= − −

( 2;4;0)

CD= − ⇒ nG= − − −( 8; 4; 14) Phương trình ( )P : 4x+2y+7z− =15 0 0,25

Trường hợp 2: ( )P qua , A B và cắt CD Suy ra ( )P cắt CD tại trung điểm của

vectơ pháp tuyến của

I CD (1;1;1) (0; 1;0);

I ⇒ JJGAI = − ( ) : nG=⎡⎣JJJG JJGA B AI, ⎤ =⎦ (2;0;3) 0,25 Phương trình ( ) : 2P x+3z− =5 0

Vậy ( )P : 4x+2y+7z− =15 0 hoặc ( ) : 2P x+3z− =5 0 0,25 Tìm số phức z

Gọi z x yi= + ; z (2 i) (x 2) (y 1) ;i

VII.a

z− + =i ⇔ −x + −y =

(1,0 điểm)

Giải hệ (1) và (2) ta được: ( ; ) (3;4)x y = hoặc ( ;x y) (5;0).= Vậy: z= +3 4i hoặc z=5 0,50

1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm , B C

Gọi H là hình chiếu của trên A Δ, suy ra H là trung điểm BC

9

2

AH=d A BC = 2S ABC 4 2

BC AH

Δ

VI.b

2

BC

AB AC= = AH + =

0,25

Toạ độ B và C là nghiệm của hệ: ( ) (2 )2 97

2

4 0

x y

⎧ + + − =

⎪

⎨

⎪ − − =

⎩

0,25

Giải hệ ta được: ( ; ) 11 3;

2 2

x y ⎛

= ⎜⎝ ⎠⎞⎟ hoặc ( ; )x y =⎛⎜32;−52⎞⎟.

Vậy 11 3; , 3; 5

B⎛⎜ ⎞⎟ C⎛⎜ −

⎞

⎟

⎠ hoặc

B⎛⎜ − ⎞⎟ C⎛⎜

⎞

⎟

2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…

Gọi là đường thẳng cần tìm; nằm trong mặt phẳng qua và song song với Δ Δ

Phương trình ( )Q x: −2y+2z+ =1 0 0,25

,

K H là hình chiếu của B trên Δ ( )., Q Ta có BK BH≥ nên AH là đường thẳng cần tìm 0,25

Toạ độ H=( ; ; )x y z thoả mãn:

⎪

−

⎨

⎪ − + + =

⎩

⇒ 1 11 7; ;

9 9 9

H= −⎛⎜ ⎞⎟

(2,0 điểm)

26 11 2

; ;

9 9 9

AH =⎛⎜ −

JJJG

H

A

Δ

B

⎞

⎟ Vậy, phương trình : 3 1

x+ y z−

Tìm các giá trị của tham số m

Toạ độ ,A B thoả mãn:

x

x m x

⎧ − = − +

⎪

⎨

⎪ = − +

⎩

2

⎨

= − +

⎩

(1)

0,25

Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x x khác 0 với mọi 1, 2 m

Gọi A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 ta có: 2 2 2 2

Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được:

2

2

m

VII.b

(1,0 điểm)

2

2

m

-Hết -

Q

K