ĐỀ THI HSG LỚP 12 SỞ GD-ĐT BẾN TRE NĂM 2019 |

Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng.. Các lần tung là độc lập với nhau và bạn An chơi trước.[r]

NHÓM

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 27/02/2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN – Hệ : THPT Thời gian: 180 phút

Họ và tên: SBD:

Câu 1 (8 điểm)

a) Giải phương trình: 2.sin 2 6.sin 1

     

b) Giải hệ phương trình:

    





      

c) Cho hàm số 1

2 1

x y x





 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến  d của đồ thị  C biết

 d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho AB 10.OA (với O là gốc tọa độ)

Câu 2 (4 điểm)

a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1

3 và bạn Bình có đồng xu

mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 2

5 Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng Các lần tung

là độc lập với nhau và bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng là p

q trong đó pvà qlà các số

nguyên tố cùng nhau, tìm qp

b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhi thức 2 41

2

n

x x

  

  biết rằng n là số nguyên dương thỏa: 1 2 3   1

C  C  C   n C  nC  n

Câu 3 (4 điểm)

a) Trong không gian cho 4 điểm A B C D thỏa mãn, , , AB 3,BC 7,CD 11, DA 9

Tính AC BD

b) Cho các số thực không âm a b c thỏa mãn, , a2  b2 c2 3b0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

P

Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp S ABC , có SAvuông góc với mặt phẳng ABC, SA2avà tam giác ABC

vuông tại C với AB2a BAC30 Gọi M là điểm di động trên cạnhAC, đặt AM x,

0 x a 3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x Tìm các giá trị của x để khoảng

cách này lớn nhất

- HẾT -

NHÓM

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019

Câu 1 (8 điểm)

a) Giải phương trình: 2.sin 2 6.sin 1

     

b) Giải hệ phương trình:  

    





      

c) Cho hàm số 1

2 1

x y x





 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến  d của đồ thị  C biết

 d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho AB 10.OA (với O là gốc tọa độ)

Lời giải a) Ta có: 2.sin 2 6.sin 1 sin 2 cos 2 3 sin cos  1 0

sinx cosx sin x cos x 3 sinx cosx 0 sinx cosx 2sinx 3 0

4

2 3

3

x

x

x

 



 

 

  



   







 





Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là: , 2 , 2 2

x  k x  k  x  k 

, với k

    





      

* Điều kiện:

2

1 0

x y

  

 



   



- Đặt

2

2

0

y b

      





Khi đó  1 trở thành:  2   2     

b  a b a   ab b a  b a 

b a ab 2 0 a bdo ab 2 0

       

     

- Thay vào phương trình  2 ta được phương trình:

x x   x  x  x

           3

- Nếu x1 thì  3 vô nghiệm

NHÓM

- Với x1, xét hàm số:    2

1 1

f t t  t trên 0;

2

1

t

t

        

 , do đó hàm số f t đồng biến trên   0;

3

x

x





                (do x1)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất    x y;  3;5

c) TXĐ: \ 1

2

 

 

 

Ta có:

3

y x



 



- Giả sử tiếp tuyến  d của  C cắt Ox , Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn AB 10.OA

Khi đó tam giác OAB vuông tại O và có AB 10.OAOB3.OA

tanOAB OB 3

OA

     k 3, với k là hệ số góc của tiếp tuyến  d

2 2

3

2 1

x

  





          

   

 

1; 2 0; 1

M

M



 



 là các tiếp điểm.

Vậy có 2 tiếp tuyến  d thỏa mãn yêu cầu bài toán là : y  3x 5 vày  3x 1

Câu 2 (4 điểm)

a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1

3 và bạn Bình có đồng xu

mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 2

5 Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng Các lần tung

là độc lập với nhau và bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng là p

q trong đó pvà qlà các số

nguyên tố cùng nhau, tìm qp

b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhi thức 2

4

1 2

n

x x

  

  biết rằng n là số nguyên dương thỏa: 1 2 3   1

C  C  C   n C  nC  n

Lời giải

a) Giả sử ở lần gieo thứ n bạn An thắng cuộc, khi đó ở n1lần gieo trước bạn An đều chỉ gieo ra mặt sấp và bạn Bình chỉ gieo được n1 lần đều có kết quả là mặt sấp

Xác suất để có được điều đó ở lần gieo thứ n là

      

     

Do đó, điều kiện thuận lợi để bạn An thắng là

2

2

1 5

n

p

q

       

           

     

NHÓM

Suy ra q   p 9 5 4

b) Ta xét khai triển  

0 1

n

n k



  Lấy đạo hàm 2 vế ta được:   1 1

1 1

n

n k



1 n 2 n 3 n 1 n n n n 2n

x C  C  C   n C  nC n 

C  C  C   n C  nC  nn   n n Tiếp tục khai triển

 

k

Do đó để tìm được số hạng chứa 2

x thì ta cần tìm kđể 3 7 2 5

4

k

k

   

Vậy hệ số của số hạng chứa x là 2

7 5 5 7



 

Câu 3 (4 điểm)

a) Trong không gian cho 4 điểm A B C D thỏa mãn, , , AB 3, BC 7,CD 11,DA 9

Tính AC BD

b) Cho các số thực không âm a b c thỏa mãn, , a2  b2 c2 3b0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

P

Lời giải

AB BC CD DA  ABBC ABBC  CDDA CDDA 

AB BC AC CD DA CA AC AB BC CD DA 2AC DB

9 49 121 81 0

2

b) Cách 1:

Áp dụng BĐT A-G: a2 1 2 ;a b2 4 4 ;b c2 1 2c

2a4b2c 6 a  b c 2a b 2c6 1 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 1

2

a c

b

 



 



Ta lại có với x y, là các số thực dương:  

2

2

8

x y

      



  , dấu " " xảy

ra khi và chỉ khi x y

Do đó

P

Kết hợp  1 suy ra P1 Vậy min 1 1

2

a c P

b

 



   



Cách 2:

Ta có: a2  b2 c2 3b0 2 2 2

        0 b 3

NHÓM

Ta có

2

1

2

a

   

 

 1

Lại có  2 

4a2 a 1 và  2 

6c3 c 1

2a 4a c 6c 11 4a 4c 16

         2

Từ  1 và  2 ta có

Lại có từ giả thiết a2  b2 c2 3b0 2 2 2

3

    2 2 2

4 3 4

      mà 2

4 4

         2 2

2a 2c 8 2b

     4

Từ  3 và  4 ta có

16 2



16 2

P

b



Xét hàm số  

16 2 2

f b

b b



 với 0 b 3

Ta có

    0;3

0;3

b



    và min 1 1

2

a c P

b

 



   



Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp S ABC , có SAvuông góc với mặt phẳng ABC, SA2avà tam giác ABC

vuông tại C với AB2a BAC30 Gọi M là điểm di động trên cạnhAC, đặt AM x,

0 x a 3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x Tìm các giá trị của x để khoảng

cách này lớn nhất

Lời giải Cách 1

NHÓM

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BM Suy ra BM SAH.

Ta có MAH MBC

2 2

AH

 

hình SH  SA2AH2 2 2

5 8 3 16

2 3 4

a



Cách 2

Ta có SM  SA2AM2  4a2x2, 2 2

2 2,

SB SA AB  a

BM  BA AM  AB AM BAM  a  x xa

2

Diện tích tam giác SBMlà S SBM  p p SBpMBpSM

2

a

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BM Ta có 1

2

SBM

2S SBM SH

BM

  5 22 8 3 1622

2 3 4

a



5 8 3 16

2 3 4

a



 

Cách 3

Ta có BCa, ACa 3

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho C0; 0; 0 , B a; 0; 0 , A0;a 3;0 , S 0;a 3; 2a

Do H thuộc AC, AM x nên M0;a 3x; 0

Ta có MBa x a;  3; 0, BS   a a; 3; 2a

Khoảng cách từ S đến BM là   , 5 22 8 3 1622

,

MB

* Tìm các giá trị của x để khoảng cách này lớn nhất.

Xét hàm số   5 22 8 3 1622

2 3 4

f x



  0 x a 3

 

2 2

2

f x

 

0; 3 3

x







       





Có f  0 4, f  3 7

- HẾT -