Ứng dụng phướng pháp thể tích hữu hạn phi cấu trúc để tính toán dòng chảy và lan truyền chất trên kênh sông

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --- BÙI ĐỨC CHI ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN PHI CẤU TRÚC ĐỂ TÍNH TOÁN DÒNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN CHẤT TRÊN KÊNH

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

BÙI ĐỨC CHI

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN PHI CẤU TRÚC ĐỂ TÍNH TOÁN DÒNG CHẢY VÀ

LAN TRUYỀN CHẤT TRÊN KÊNH SÔNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2013

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TSKH Bùi Tá Long………

……….……

………

……….……

………

Cán bộ nhận xét 1 : ………

……….……

………

……….……

………

Cán bộ nhận xét 2 : ………

……….……

………

………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 10 tháng 01 năm 2013

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : Bùi Đức Chi Phái : Nam

Ngày sinh : 1971 Nơi sinh : Đồng Nai

Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV : 10240508

I – TÊN ĐỀ TÀI :

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN PHI CẤU TRÚC ĐỂ TÍNH TOÁN DÒNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN CHẤT TRÊN KÊNH SÔNG

II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

• Nghiên cứu bài toán dòng chảy và lan truyền chất trên kênh sông

• Giải số bài toán dòng chảy, tải khuếch tán và lan truyền nhiệt bằng phương pháp thề tích hữu hạn

• Thực hiện mô hình tính toán bằng ngôn ngữ matlab

III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/2012

IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 12/2012

V – C ÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TSKH Bùi Tá Long

QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TSKH Bùi Tá Long PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể các bạn khóa K2010 lớp cao học Toán Ứng Dụng – những người bạn yêu quý đã luôn đồng hành, giúp đỡ và chia sẽ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, những người thân yêu nhất, đã luôn khích lệ, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Bùi Đức Chi

TÓM TẮT

Luận văn bao gồm ba chương Trong chương 1 trình bày về cơ sở lí luận của phương pháp thể tích hữu hạn trên lưới phi cấu trúc như các bước thực hiện của phương pháp thể tích hữu hạn, một số khái niệm, các thuật ngữ liên quan của lưới phi cấu trúc Cuối cùng là những định lý được sử dụng trong phương pháp thể tích hữu hạn như định

lý Divergence, định lý Taylor, luật điểm giữa, … đây chính là công cụ toán học không thể thiếu trong phương pháp thể tích hữu hạn

Trong chương 2 trình bày phương pháp thể tích hữu hạn cho hệ phương trình nước nông, phương trình tải khuếch tán mẫu

Đối với hệ phương trình nước nông luận văn đã sử dụng phương pháp Friedrichs thích hợp cho trường hợp lưới không đều với điều kiện ổn định

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN ……… iiv

TÓM TẮT ……… v

MỤC LỤC ……… vi

DANH MỤC HÌNH ……… vii

MỞ ĐẦU ……… 1

CH ƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN ……… 3

1.1 Phương pháp thể tích hữu hạn ……… 3

1.1.1 Giới thiệu ……… 3

1.1.2 Các bước thực hiện ……… 4

1.2 Về lưới phi cấu trúc ……… 9

1.3 Một số định lí ……… 13

CH ƯƠNG 2 GIẢI SỐ MÔ HÌNH DÒNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN CHẤT .

Error! Bookmark not defined 2.1 Giải số hệ phương trình nước nông ………

Error! Bookmark not defined 2.2 Giải số phương trình tải khuếch tán mẫu ………

Error! Bookmark not defined CH ƯƠNG 3 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN TẢI NHIỆT 43

3.1 Giải số phương trình lan truyền nhiệt……… 43

3.2 Ví dụ minh họa……… 59

KẾT LUẬN ……… … 65

TÀI L IỆU THAM KHẢO … ………Error! Bookmark not defined.6 PHỤ LỤC … ……… 68

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Lưới tính toán….……… 5

Hình 1.2 Các thông số trên thể tích điều khiển……… 6

Hình 1.3 Hai thể tích điều khiển kề nhau ……… 8

Hình 1.4 Lưới phi cấu trúc chữ nhật ……… 10

Hình 1.5 Ô lưới tam giác và chữ nhật……… 11

Hình 1.6 Thể tích điều khiển và vị trí tính toán……… 11

Hình 1.7 Luật điểm giữa……… 15

Hình 2.1 Các biến trong mô hình……… 18

Hình 2.2 Lưới phi cấu trúc……… 20

Hình 2.3 Thông số trên thể tích điều khiển……… 20

Hình 2.4 Các thông số trên thể tích điều khiển……… 27

Hình 2.5 Các thể tích điều khiển kề nhau ……… 32

Hình 3.1 Các biến trong mô hình lan truyền nhiệt……… 43

Hình 3.2 Mô phỏng tải khuếch tán ……… 61

Hình 3.3 Mô phỏng lan truyền nhiệt……… 64

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong sự phát triển của xã hội ngày nay con người phải đối mặt với rất nhiều vấn

đề tự nhiên và xã hội cần thiết phải giải quyết Với một quốc gia đang phát triển như nước ta, vấn đề đầu tư phát triển công nghiệp, vấn đề xây dựng các nhà máy là một lựa chọn để phát triển kinh tế hiện nay Công nghiệp hóa giải quyết nhiều vấn đề tích cực cho

xã hội, tuy nhiên, hậu quả mà nó để lại cũng không nhỏ nếu như chúng ta không kiểm soát chặt chẽ các chất thải công nghiệp

Sự phát triển công nghiệp của nước ta trong những năm qua đã làm gia tăng đáng

kể phát thải vào môi trường, môi trường nước ta bị xuống cấp một cách nhanh chóng: đất đai xói mòn, chất lượng nguồn nước bị giảm, không khí bị ô nhiễm nặng, khối lượng phát sinh và mức độ độc hại của các chất thải ngày càng tăng, tài nguyên thiên nhiên bị khai thác quá mức, không có quy hoạch, đa dạng sinh học bị đe dọa nghiêm trọng, điều kiện

vệ sinh môi trường, cung cấp nước sạch ở nhiều nơi không đảm bảo Bên cạnh đó các ngành dịch vụ và quá trình đô thị hóa đang gây áp lực lớn lên môi trường, và đặt công tác bảo vệ môi trường nước ta trước những thách thức gay gắt

Các bài toán dòng chảy và lan truyền chất ô nhiễm hòa tan được xác định bởi các

hệ phương trình vi phân riêng phần mô tả các định luật vật lý cơ bản Vấn đề số hóa mô hình ngày càng trở nên phổ biến, vì giúp làm giảm các quan sát trực tiếp tốn kém chi phí

và dự báo hệ sinh thái một cách thống nhất Từ đó giúp chúng ta biết trước các hệ quả để

có biện pháp ngăn chặn

Xuất phát từ vấn đề đó tôi chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp thể tích hữu hạn

phi cấu trúc để tinh toán dòng chảy và lan truyền chất trên kênh sông” với mục tiêu

phân tích, kiểm soát dòng chảy và mức độ lan truyền chất ô nhiễm trong môi trường nước

2 Mục tiêu

Nghiên cứu các phương trình toán học trong mô hình dòng chảy, lan truyền chất

trên kênh sông

3 Nội dung nghiên cứu

Để đạt mục tiêu trên, luận văn sẽ thực hiện những nội dung cơ bản sau:

• Tổng quan một số cơ sở lí luận

• Phương pháp giải cho bài toán dòng chảy, lan truyền chất

• Phương pháp giải cho bài toán truyền tải nhiệt, mặn

• Sử dụng matlab, cho kết quả của bài toán nhanh chóng

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu sau đây được sử dụng trong luận văn:

• Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễn

• Phương pháp mô hình hóa: tìm hiểu các mô hình và các phép toán cho các biến mô hình

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong chương này, luận văn giới thiệu về phương pháp thể tích hữu hạn, đặc biệt

là một số bước thực hiện của phương pháp thể tích hữu hạn như rời rạc hóa miền tính toán, lấy tích phân hai vế của phương trình, áp dụng tích phân số để đánh giá các tích phân mặt và tích phân đường, nội suy bằng khai triển Taylor, … Luận văn cũng trình bày một số khái niệm, các thuật ngữ liên quan, các tính chất, đặc trưng, phân loại và ứng dụng của lưới phi cấu trúc cơ bản Cuối cùng là những định lý được sử dụng trong

phương pháp thể tích hữu hạn như định lý Divergence, định lý Taylor, luật điểm giữa, … đây chính là công cụ toán học không thể thiếu trong phương pháp thể tích hữu hạn

1.1 Phương pháp thể tích hữu hạn

Cơ lưu chất nói chung, động lực học lưu chất nói riêng đều dựa vào cơ sở toán học

là các phương trình Navier-Stokes Người ta thường sử dụng phương pháp số và thuật toán để giải và phân tích các bài toán động lực học lưu chất và các bài toán tải-khuếch tán, các bài toán này rút ra từ các các phương trình Navier-Stokes

1 1.1 Giới thiệu

Phương pháp thể tích hữu hạn là phương pháp số để giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp này thích hợp trong việc giải các hệ luật bảo toàn tuyến tính hoặc phi tuyến kiểu như elliptic, parabolic, hyperbolic, …

Các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp thể tích hữu hạn có điểm chung là giá trị của hàm số được tính tại các điểm rời rạc trên lưới

“Thể tích hữu hạn” được xem như là thể tích nhỏ có hình dạng bất kì bao quanh mỗi điểm nút trên lưới

Một điểm nổi bật của phương pháp thể tích hữu hạn là phương pháp này áp dụng trên lưới bất kì, lưới cấu trúc hoặc lưới phi cấu trúc

Phương pháp thể tích hữu hạn được ứng dụng rộng rãi trong các ngành cơ lưu chất tính toán, khí tượng học, điện từ trường, mô phỏng dụng cụ bán dẫn…

1 1.2 Các bước thực hiện

Phương pháp thể tích hữu hạn áp dụng quá trình rời rạc hóa miền không gian và rời rạc hóa miền thời gian và thường sử dụng các bước sau đây

a Rời rạc hóa miền tính toán( tạo lưới )

Một lưới của miền không gian d

• Điểm x i là trọng tâm của V i

• Các thể tích điều khiển phủ lên toàn bộ miền không gian

I

i i

V D

Kí hiệu ∂V i là biên củaV i

Khi đó kí hiệu lưới là G=(V,X)

Ví dụ tạo lưới phi cấu trúc

Ở đây hình chữ nhật ABCD là thể tích điều khiển và dấu chấm tròn in đậm ( •) là tâm

của thể tích điều khiển

b Lấy tích phân phương trình vi phân trên thể tích điều khiển

Ví dụ : phương trình khuếch tán 2 chiều trong mặt phẳng tọa độ Đề-các

Ví dụ ta có thể tích điều khiển ABCD tâm P

Biên của thể tích điều khiển ∂V =e+n+w+s

Đặt tên cho các cạnh của thể tích điều khiển: e=BC n, = AB w, =AD s, =CD

F : thông lượng của F y trên cạnh s

Hình 1.2 Các thông số trên thể tích điều khiển

O

Trong mặt phẳng, diện tích của thể tích điều khiển là V = ∆x∆y

Áp dụng định lý Divergence cho số hạng khuếch tán trên thể tích điều khiển ABCD

Nội suy các đại lượng tại cạnh về tâm của thể tích điều khiển

Ví dụ áp dụng công thức Taylor để xấp xỉ các đại lượng Γe và

e x

∂

∂φnhư sau Xét hai thể tích điều khiển kề nhau tâm P, E có cạnh chung BC

Khai triển Taylor trong lân cận của e ta được

λδ

∆

=

Tương tự như vậy cho đại lượng

e x

( )δx e

x

∆

•

g Xấp xỉ tích phân theo thời gian

Dùng phương pháp hiện, ẩn, Crank-Nicholson, …

Ví dụ công thức ẩn hoàn toàn

h Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Sau khi rời rạc hóa phương trình theo không gian và thời gian, sắp xếp lại ta được phương trình đại số

Ví dụ đối với phương trình khuếch tán và dùng phương pháp ẩn hoàn toàn ta được phương trình đại số như sau

0 0

P P nb

nb nb P

Với ( )e

e E x

y a

δ

∆Γ

( )w

w W x

y a

δ

∆Γ

( )n

n N y

x a

δ

∆Γ

( )s

s S y

x a

δ

∆Γ

P nb

+ Phương pháp lặp: Jacobi, Gauss-seidel, Successive Over-Relaxation, …

1 2 Về lưới phi cấu trúc

Trong nhiều ứng dụng thực tế, miền tính toán có hình dạng rất phức tạp, do đó lưới phi cấu trúc thường được sử dụng để giải số phương trình đạo hàm riêng trên những miền tính toán phức tạp như vậy Trước tiên phải chia miền tính toán thành những phần

tử nhỏ hoặc những thể tích điều khiển có hình dạng bất kỳ để tạo thành lưới phi cấu trúc Dưới đây là những khái niệm về lưới phi cấu trúc

a Khái niệm

• Trong phương pháp thể tích hữu hạn, bước thứ nhất là miền tính toán được chia thành những phần tử đa giác lồi có hình dạng bất kì( tam giác, tứ giác, … ) không đè lên nhau và hoàn toàn phủ miền tính toán Một miền được chia như thế được gọi là lưới

• Lưới phi cấu trúc là rất quan trọng bởi vì kiểu lưới này có thể mô hình hóa miền hình học không đều và phức tạp mà ta thường gặp khi giải quyết bài toán thực tế

• Lưới bao gồm đỉnh , cạnh và ô lưới

H ình 1.4 Lưới phi cấu trúc chữ nhật

Như vậy, đơn vị cơ bản của lưới là ô lưới Đi kèm với ô lưới là tâm của nó Các cạnh của

ô lưới giao nhau tại nút( đỉnh ) lưới

• Trong phương pháp thể tích hữu hạn, vị trí để tính toán thường được chọn tại đỉnh( nút ) lưới hoặc tại tâm của thể tích điều khiển

Nói chung có hai loại thể tích điều khiển( TTĐK ) : Thể tích điều khiển được định nghĩa

là những ô lưới hoặc thể tích điều khiển có tâm đặt tại đỉnh( nút ) lưới

Tương ứng hai kiểu TTĐK là hai phương pháp thể tích hữu hạn: Phương pháp dựa vào đỉnh( nút) lưới và phương pháp dựa vào ô lưới

Thể tích điều khiển có tâm là

đỉnh( nút ) lưới Thể tích điều khiển có tâm là tâm ô lưới

Đỉnh( nút ) Tâm Cạnh

b Một số tính chất đặc trưng cơ bản của lưới phi cấu trúc

Đặc trưng của lưới phi cấu trúc đó là:

• Nút lưới nằm ở vị trí bất kì trên miền tính toán nghĩa là hoặc phương lưới không rõ ràng hoặc không có cấu trúc lưới giống như lưới có cấu trúc

• Hình dạng ô lưới bất kì và sự sắp xếp các ô lưới là không đều

• Sự liên tục, sự ghép nối trong lưới phải rõ ràng

• Một lưới phi cấu trúc thường có biên cong

Ưu điểm của lưới phi cấu trúc so với lưới cấu trúc đó là tính linh động trong việc rời rạc hóa miền tính toán có hình dạng hình học phức tạp và việc tạo lưới phi cấu trúc được tự động hóa hoàn toàn

Sự kết hợp một cách hợp lí giữa lưới cấu trúc và phi cấu trúc trong những miền con khác nhau cho phép làm tăng những ưu điểm và làm giảm những khuyết điểm của mỗi kiểu lưới Sự kết hợp lưới được sử dụng phổ biến trong cơ lưu chất tính toán

c Phân loại lưới

Có các kiểu lưới chính đó là:

• Lưới cấu trúc

− Đặc trưng bởi sự ghép nối của các ô lưới là đều và được mô tả bởi mảng 2 chiều hoặc 3 chiều

− Giới hạn chọn lựa phần tử lưới là tứ giác trong 2 chiều

• Lưới phi cấu trúc:

− Đặc trưng bởi sự ghép nối không đều

− Yêu cầu lưu trữ một lưới phi cấu trúc về căn bản là lớn hơn so với lưới cấu trúc

− Tốt cho những hình dạng hình học phức tạp

• Lưới lai (lưới hỗn hợp): lưới lai là lưới bao gồm một phần là có cấu trúc và một phần là phi cấu trúc

• Phân loại dựa trên phần tử lưới

Lưới cũng có thể được phân loại dựa trên kích thước và kiểu của phần tử lưới

− Hầu hết phần tử lưới 2 chiều là tứ giác hoặc tam giác

− Hầu hết phần tử lưới 3 chiều là khối lục diện, tứ diện, hình chóp đáy hình

vuông và khối tam giác (lăng trụ tam giác hoặc lăng trụ hình nêm)

Từ các phương trình ban đầu, ta lấy tích phân hai vế của các phương trình này, tức

là ta phải chuyển các phương trình ban đầu về dạng tích phân Sau đó ta sử dụng các định

lý toán học để đánh giá, xấp xỉ các tích phân đó, ví dụ áp dụng các tích phân số cho các

số hạng trong phương trình, ví dụ khác nữa là áp dụng định lý Taylor để nội suy giá trị

của hàm số

a Định lý Divergence

Cho Ω là miền đóng, bị chặn trong không gian, với biên ∂ Ω trơn từng khúc( tức

là có thể chia ∂ Ω thành hữu hạn các mặt trơn ) Cho các hàm P,Q,R và các đạo hàm

riêng cấp một của chúng liên tục trong miền mở chứaΩ Khi ấy ta có công thức Gauss – Ostrogratski( còn gọi là định lý Divergence ) như sau

∗ Trường hợp 3

R

⊂ΩQuan hệ giữa tích phân thể tích và tích phân mặt là

Công thức (1.8) viết dưới dạng véc tơ như sau

z

R y

Q x

P F F div

∂

∂+

∂

∂+

i , , là các véc tơ đơn vị trên các trục tọa độ x, y, z

( )F n

F n = , là chiếu của F xuống n

dS là yếu tố diện tích của ∂ Ω

n là pháp véc tơ đơn vị trên dS

∗ Trường hợp 2

R

⊂Ω

Kí hiệu: F( )x,y =P( )x,y i +Q( )x,y j

y

Q y x x

P F y

x F

∂

∂+

Ω = ⋅

ở đây n là pháp véc tơ đơn vị trên biên ∂ Ω

b Luật điểm giữa

Sử dụng luật điểm giữa để xấp xi tích phân xác định

Đặt

2

a b

0

12!

x f x x f x f x x

0 '' 0

' 0 0

!

1

! 2 1

Thì sai số cắt cụt là ( + ) ( )( )( )∆ +

+

0 1

! 1

x x f n

Cũng có thể ước lượng sai số cắt cụt thông qua việc phân tích phần dư dạng Langrage

d Công thức phương pháp ẩn hoàn toàn

Giả sử hàm f (t) khả tích và nguyên hàm F (t) thỏa mãn điều kiện định lý Taylor

t

t t

t

t t

Công thức này được gọi là công thức ẩn hoàn toàn

e Công thức phương pháp hiện

CHƯƠNG 2 GIẢI SỐ MÔ HÌNH DÒNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN

Đối với phương trình tải-khuếch tán, luận văn đã sử dụng phương pháp ẩn hoàn toàn

2.1 Giải số hệ phương trình nước nông

Hệ phương trình nước nông mô phỏng sự lan truyền của dòng nước và sự lan truyền của các dạng chất lỏng không nén được Người ta giả sử chiều sâu của chất lỏng là nhỏ so với chiều ngang của quá trình lan truyền

Các phương trình nước nông được rút ra từ nguyên lý bảo toàn khối lượng và bảo toàn động lượng Các biến độc lập là các biến thời gian t và không gian x, y Các biến phụ thuộc là chiều cao hoặc chiều sâu của dòng nước h và các thành phần vận tốc của dòng nước theo phương x là u, theo phương y là v Ngoại lực tác dụng lên dòng nước là trọng lực

a Phương trình

Hệ phương trình nước nông 2 chiều với các số hạng nguồn theo [14] có dạng như sau

Điều kiện biên: điêu kiện biên phụ thuộc vào chê độ dòng chảy Ở đây ta dùng

điệu kiện biên Dirichlet, Neumann

uvh

gh h u

=

2 2 1 2

gh h v vuh

)(

0

0 0

fy y

fx x S z gh

S S gh S

U là véc tơ của h,uh,vh

) ,

,

(x y t

u : vận tốc dòng nước theo phương x,[m/s]

) ,

,

(x y t

v : vận tốc dòng nước theo phương y,[m/s]

) ,

,

(x y t

h : độ cao mặt nước so với đáy, [ ]m

F: là hàm véc tơ thông lượng theo phương x

G: là hàm véc tơ thông lượng theo phương y

S : là độ ma sát đáy theo phương y

Số hạng ma sát được ước lượng theo công thức Manning

33 1

2 2 2

h

v u u n

và 1.33

2 2 2

h

v u v n

n: là hệ số nhám Manning( hệ số cản Manning )

b Rời rạc hóa miền tính toán

Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các Oxy, miền hình học(vẽ bằng nét liền đậm) được chia thành lưới phi cấu trúc hình chữ nhật Ω gồm các ô lưới(thể tích điều khiển) là hình chữ nhật có các cạnh song song với trục tọa độ Ox, Oy Các ô lưới này có kích thước khác nhau, liên tục liền kề nhau, không đè lên nhau Kí hiệu chữ thường e,w,n,s là cạnh của ô lưới Chữ in hoa E, W, N, S, … là tâm ô lưới( vẽ bằng dấu tròn đậm • )

S

w x

n y

δ

s y

s n

n n G n

n

w w n

w F

e F

Các kí hiệu: Biên của thể tích điều khiển ∂V =e+n+w+s

n là pháp véc tơ đơn vị trên biên ∂V

n , , , : véc tơ pháp tuyến đơn vị trên các cạnh e,w,n,s

y

x ∆

∆ , : kích thước thể tích điều khiển

c Rời rạc hóa phương trình

Lấy tích phân phương trình (2.1) theo không gian và thời gian trên thể tích điều

Ở đây ∆V = ∆x∆y là diện tích điều khiển đang xét

Xấp xỉ các tích phân có mặt trong (2.2) như dưới đây

Áp dụng luật điểm giữa để xấp xỉ tích phân trong (2.3) như sau

Công thức luật điểm giữa

( )( )

1 1

1

,2

U dxdy dt U U x y t

Áp dụng luật điểm giữa cho số hạng nguồn ta được

Các thông lượngF e ,F w ,G n ,G s trong (2.16) được xấp xỉ bằng công thức

Lax-Friedrichs như sau

12

( ) ( ) ( )

12

Trong (2.16) ta sẽ xấp xỉ các thông lượng F e, F w,G n,G s như dưới đây

Áp dụng khai triển Taylor tại lân cận của tâm cạnh e như sau

2 ) ( ) ( ) 2 ( ) (P F e x F e F' e x

(2.18)

) 2 )(

( ) ( ) 2 (

)

− +

hoặc F e = −(1 λe)F P +λe F E với 2

e e

x x

λδ

λδ

y y

λδ

y y

λδ

F F

x

t U

Điều kiện ổn định CFL(Courant, Friedrichs và Lewy)

Đặt vmax =max(αw ,αe ,βs ,βn) khi đó, điều kiện(cần) ổn định là

1

P

t

F u x

∆

2.2 Giải số phương trình tải khuếch tán mẫu

Các quá trình có sự kết hợp của tải và khuếch tán xuất hiện trong nhiều bài toán

vật lý và kỹ thuật như sự truyền nhiệt; sự truyền tải chất ô nhiễm trong không khí, trong

dòng sông, kênh và trong mạch nước ngầm v.v…

Tải là quá trình vật lý do sự chuyển động có thứ tự của dòng chảy, trong khi

khuếch tán là quá trình vật lý do sự chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử chất lỏng

Phương trình đạo hàm riêng tải-khuếch tán sẽ mô tả luật bảo toàn của các quá trình vật lý

này, bao gồm sự bảo toàn khối lượng, động lượng và năng lượng

Phương pháp thể tích hữu hạn là phương pháp rời rạc hóa thích hợp cho mô phỏng

số các kiểu luật bảo toàn khác nhau như bảo toàn elliptic, bảo toàn parabolic hoặc bảo

toàn hyperbolic Một đặc trưng khác nữa của phương pháp thể tích hữu hạn là sự bảo

toàn thông lượng số cục bộ có nghĩa là thông lượng đi ra khỏi thể tích điều khiển này

chính là bằng thông lượng đi vào thể tích điều khiển kề bên với nó Trong luận văn này,

thông lượng số được đánh giá bằng luật điểm giữa và bằng công thức khai triển Taylor

a Phương trình

Xét phương trình tải khuếch tán cho đại lượng vô hướng ϕ trong mặt phẳng tọa

độ Đề-Các 0xy theo [6] như sau

Điều kiện biên: sử dụng điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Neumann

Trong đó:

J =ρ ϕV − Γ∇ ϕ : Thông lượng tổng của tải và khuếch tán

∇ : toán tử hình thức “nabla”

V = + ui vj : trường vận tốc của dòng chảy ( , , )

u=u x y t : thành phần vận tốc dòng chảy theo phương x, [m/s]

S P = P : số hạng liên quan đến đại lượng ϕ như hệ số phản ứng, hệ số lắng đọng, …

) , , (x y t S

S C = C : số hạng tự do không phụ thuộc vào đại lượng ϕ

b Rời rạc hóa miền tính toán

Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các Oxy, miền hình học được chia thành lưới phi cấu trúc hình chữ nhật như phần 2.1.b

e n w

n

n n

∆y

∆x

n là véc tơ pháp tuyến đơn vị của cạnh s

Thông lượng tổng trên cạnh e : e ( )e e

x, : tọa độ không gian

c Rời rạc hóa phương trình

Lấy tích phân phương trình (2.26) theo không gian và thời gian trên thể tích điều

Áp dụng luật điểm giữa để xấp xỉ tích phân trong (2.28) như sau

Công thức luật điểm giữa

( )( )

Thông lượng tổng của tải: J =(ρ ϕu ) (i+ ρ ϕv )j

Thông lượng của tải trên cạnh e: e ( )

( lưu ý trong (2.32) lấy tích phân trên các cạnh e, w,n, s của thể tích điều khiển )

Áp dụng luật điểm giữa để xấp xỉ các tích phân thành phần trong (2.32) như sau

Công thức luật điểm giữa: ( ) ( )

∫ tại tâm của cạnh s

Khi đó các tích phân trong (2.32) được xấp xỉ như sau

Tiếp tục xử lý (2.34) như sau

,

, P W N P S

u đã biết tại tâm của các thể tích điều khiển

Áp dụng khai triển Taylor tại lân cận của tâm cạnh e như sau

u x,