Phân tích giới hạn tấm mindlin bằng phần tử cs dsg3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (socp)

TÊN ĐỀ TÀI PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƯƠNG TRÌNH TỐI ƯU HÓA HÌNH NÓN BẬC HAI SOCP II.. Phương pháp khe cắt rời rạc trơn dựa trên phần tử cell-based smooth

-

TRƯƠNG ANH TUẤN

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƯƠNG TRÌNH TỐI ƯU HÓA HÌNH NÓN

BẬC HAI (SOCP)

: 60 58 20

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ hướng dẫn 1: TS NGUYỄN THỜI TRUNG

Cán bộ hướng dẫn 2: TS LƯƠNG VĂN HẢI

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh ngày 01 tháng 02 năm 2013

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

2 PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

3 TS NGUYỄN THỜI TRUNG

4 TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

5 TS HỒ ĐỨC DUY

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

- -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRƯƠNG ANH TUẤN MSHV: 10210256

Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984 Nơi sinh: Bình Định

I TÊN ĐỀ TÀI

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƯƠNG TRÌNH TỐI ƯU HÓA HÌNH NÓN BẬC HAI (SOCP)

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Hiểu rõ cơ sở lý thuyết của phần tử CS-DSG3, chương trình tối ưu hóa hình

nón bậc hai (SOCP) và lý thuyết phân tích giới hạn tấm Mindlin

2 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để lập trình tính toán các bài toán phân

tích giới hạn tấm Mindlin bằng phần tử CS-DSG3 và SOCP

3 Xử lý và bình luận các kết quả Đánh giá chung về sự hội tụ của kết quả

vừa tìm được so với kết quả tham khảo

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/07/2012

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30/11/2012

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

(Họ tên và chữ ký)

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới hai người Thầy đáng kính, TS Nguyễn

Thời Trung và TS Lương Văn Hải Nhờ sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình từ hai

Thầy, tôi được tiếp thêm nhiều động lực, niềm tin và sức mạnh để thực hiện đề tài

Bên cạnh đó, những điều hai Thầy truyền dạy còn giúp tôi thêm tự tin, vững vàng

trên con đường nghiên cứu và ứng dụng khoa học kỹ thuật sau này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại

học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó

cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự

nghiệp của tôi sau này

Ngoài ra, tôi chân thành cảm ơn sự hỗ trợ của các anh chị Thạc sĩ đi trước, đặc

biệt từ ThS Phùng Văn Phúc Bên cạnh đó, tôi cũng cảm ơn các anh chị, bạn bè học

viên cao học đã giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, giúp tôi hoàn thành đề tài này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản

thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ

dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2012

Trương Anh Tuấn

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn trình bày một phương pháp số kết hợp nhằm phân tích giới hạn động học của tấm Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Phương pháp khe cắt rời rạc trơn dựa trên phần tử (cell-based smoothed discrete shear gap method – CS-DSG3) được kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (second-order cone optimization programming – SOCP) để xác định tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Bài toán phân tích giới hạn của tấm Mindlin được chuyển thành bài toán tìm cực tiểu hàm năng lượng hao tán dẻo và chịu các ràng buộc của điều kiện biên

và công ngoại đơn vị Bài toán cực tiểu này sau đó được biến đổi thành một dạng hiện phù hợp để có thể dễ dàng áp dụng chương trình SOCP tìm nghiệm tối ưu Các kết quả số đã chỉ ra rằng phương pháp được đề xuất có thể cung cấp các hệ số tải giới hạn cận trên rất đáng tin cậy cho cả tấm mỏng và tấm dày

ABSTRACT

The thesis presents a numerical procedure for kinematic limit analysis of Mindlin plate governed by von Mises criterion The cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) is combined with a second-order cone optimization programming (SOCP) for determining the upper bound limit load of the Mindlin plates The limit analysis problem of Mindlin plates is formulated by minimizing the dissipation power subjected to a set of constraints of boundary conditions and unitary external work This minimization problem is then transformed into an explicit form suitable for the solution using the SOCP The numerical results of some benchmark problems show that the proposal procedure can provide the reliable upper bound collapse multipliers for the Mindlin plates

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của

TS Nguyễn Thời Trung và TS Lương Văn Hải Các kết quả và các trích dẫn

trong luận văn là đúng sự thật Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc tôi đã thực hiện

Tp.Hồ Chí Minh, ngày…tháng…năm 2012

Trương Anh Tuấn

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN iii

ABSTRACT iv

LỜI CAM ĐOAN v

MỤC LỤC vi

BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA viii

BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xii

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Tình hình nghiên cứu 3

1.2.1 Các công trình nghiên cứu trong nước 3

1.2.2 Các công trình nghiên cứu ngoài nước 4

1.3 Phạm vi, phương pháp nghiên cứu và mục tiêu của luận văn 6

1.3.1 Mục tiêu của luận văn 6

1.3.2 Phạm vi và phương pháp nghiên cứu 6

1.4 Nội dung của luận văn 7

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 8

2.1 Phân loại tấm Kirchhoff và Reissener-Mindlin [23] 8

2.1.1 Một số giả thuyết và công thức trong lý thuyết tấm Kirchhoff (CPT) [23, 26] 9

2.1.2 Một số giả thuyết và công thức trong lý thuyết tấm Reissner-Mindlin (FSDT) [23, 26] 9

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin 11

2.2.1 Dạng yếu phương trình chủ đạo của tấm Mindlin [16] 11

2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn bài toán tấm Mindlin [16] 12

2.3 Các bước phân tích giới hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn 14

2.4 Dạng cơ bản của chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [59, 60, 66] 16

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NÓN BẬC HAI (SOCP) 17

3.1 Phân tích giới hạn tấm Mindlin – Công thức động học [37] 17

3.2 Công thức động học của phần tử DSG3 cho tấm Mindlin [16, 17] 20

3.3 Công thức động học của phần tử CS-DSG3 cho tấm Mindlin 23

3.4 Dạng tường minh công thức động học của phần tử CS-DSG3 28

CHƯƠNG 4 CÁC VÍ DỤ SỐ 33

4.1 Tấm hình vuông 33

4.2 Tấm hình chữ nhật 39

4.3 Tấm hình thoi 42

4.4 Tấm hình tròn 46

4.5 Tấm hình tam giác đều 49

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52

5.1 Kết luận 52

5.2 Kiến nghị 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

PHỤ LỤC 61

Phụ lục A Thuyết minh chi tiết công thức (3.57) 61

Phụ lục B Một số đoạn mã lập trình Matlab chính 63

MỘT SỐ KẾT QUẢ CÔNG BỐ ĐẠT ĐƯỢC TỪ LUẬN VĂN 67

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 69

BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA

Hình 2.1 Chuyển vị và góc xoay trong các lý thuyết tấm [23] 8Hình 2.2 Tấm Mindlin và chiều dương quy ước của chuyển vị w và hai

góc xoay x, y 11Hình 2.3 Lưu đồ thuật giải bài toán nhằm phân tích giới hạn tấm Mindlin

bằng phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) 15 Hình 3.1 Tấm Mindlin và chiều dương quy ước của chuyển vị w và hai

góc xoay x, y 17Hình 3.2 Phần tử tam giác 3 nút 21Hình 3.3 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa địa phương trong phần tử

DSG3 22Hình 3.4 Ba tam giác nhỏ (1,2 và 3) được tạo ra từ tam giác 1-2-3

trong phần tử CS-DSG3 bằng cách nối trọng tâm O với ba nút 1,

2 và 3 23 Hình 4.1 Các mô hình tấm vuông và bốn lưới phần tử tam giác; (a) Tấm

ngàm; (b) Tấm tựa đơn; (c) Minh họa bốn lưới phần tử tam giác

ba nút 33Hình 4.2 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm trên tất cả các

cạnh và chịu tải phân bố đều ứng với số điểm Gauss thay đổi từ

1 điểm đến 7 điểm Gauss bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3 34Hình 4.3 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn trên tất cả

các cạnh và chịu tải phân bố đều ứng với số điểm Gauss thay đổi

từ 1 điểm đến 7 điểm Gauss bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3 35

Hình 4.4 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và chịu tải

phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3 36Hình 4.5 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn và chịu tải

phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3 37Hình 4.6 Dạng năng lượng hao tán dẻo khi tấm bị chảy dẻo của tấm vuông

L t10 chịu tải phân bố đều bằng phần tử CS-DSG3; (a) Tấm ngàm; (b) Tấm tựa đơn 37Hình 4.7 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và chịu tải

phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau ( L t ) bằng

phần tử DSG3 và CS-DSG3 38Hình 4.8 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn và chịu tải

phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau ( L t ) bằng

phần tử DSG3 và CS-DSG3 39Hình 4.9 Mô hình tấm chữ nhật và bốn lưới phần tử tam giác; (a) Tấm chữ

nhật tựa đơn; (b) Minh họa bốn lưới phần tử tam giác ba nút 39Hình 4.10 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và

chịu tải phân bố đều ứng với các số bậc tự do khác nhau 41Hình 4.11 Mô hình của chuyển vị và dạng năng lượng hao tán dẻo khi bị

phá hủy cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và chịu tải phân bố đều

sử dụng phần tử CS-DSG3; (a) Chuyển vị; (b) Năng lượng hao tán dẻo 41Hình 4.12 (a) Tấm hình thoi; (b) Minh họa bốn lưới phần tử tam giác ba

nút 42Hình 4.13 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm ứng với các

số bậc tự do khác nhau với trường hợp góc nghiêng  30

44

Hình 4.14 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm ứng với các

số bậc tự do khác nhau với trường hợp góc nghiêng  60

44Hình 4.15 Hệ số tải giới hạn của tấm hình thoi ngàm ứng với các góc

nghiêng  khác nhau sử dụng phần tử CS-DSG3 và DSG3 45Hình 4.16 Dạng năng lượng hao tán dẻo khi bị phá hủy cho tấm hình thoi

ngàm sử dụng phần tử CS-DSG3 trong 2 trường hợp góc nghiêng ; (a)  30

; (b)  60

45Hình 4.17 Xét góc phần tư phía trên bên phải của tấm tròn ngàm trên biên

chịu tải phân bố đều được và tấm được chia thành 294 phần tử tam giác 46Hình 4.18 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu

tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau 47Hình 4.19 Mô hình chuyển vị và dạng năng lượng hao tán dẻo khi bị phá

hủy cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu tải phân bố đều sử dụng phần tử CS-DSG3; (a) Chuyển vị; (b) Dạng năng lượng hao tán dẻo 47Hình 4.20 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu

tải phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau (2R t 49)Hình 4.21 (a) Tấm tam giác đều; (b) Mô hình chia lưới cho tấm tam giác

đều sử dụng phần tử tam giác 49Hình 4.22 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình tam giác đều bị ngàm

dọc theo các biên và chịu tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau 51Hình 4.23 Mô hình chuyển vị và dạng năng lượng hao tán dẻo khi bị phá

hủy cho tấm hình tam giác đều bị ngàm và chịu tải phân bố đều

sử dụng phần tử CS-DSG3; (a) Chuyển vị; (b) Dạng năng lượng hao tán dẻo 51

BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU

Bảng 4.1 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và tựa đơn

chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p/L2) ứng với các bậc

tự do khác nhau 36Bảng 4.2 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và

chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p/(LH)) ứng với các bậc tự do khác nhau 40Bảng 4.3 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm chịu tải

phân bố đều (tải ban đầu pM p/R2) ứng với các số bậc tự do

và góc nghiêng  khác nhau 43Bảng 4.4 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm (507 bậc tự do-

dofs) trên biên và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p/R2

) ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau 2 /R t 48Bảng 4.5 Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tam giác đều ngàm và

chịu tải phân bố đều (tải ban đầu pM p/R2) ứng với các bậc

tự do khác nhau 50

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT Chữ viết tắt

CPT Lý thuyết tấm cổ điển (the classical Kirchhoff plate theory)

CS-DSG3 Phương pháp trơn hóa dựa trên ô kết hợp với rời rạc hóa độ lệch

trượt bằng phần tử tam giác ba nút (a cell-based smoothed discrete shear gap method using triangular elements)

DSG3 Phương pháp rời rạc hóa độ lệch trượt (discrete shear gap)

FEM, PTHH Phương pháp phần tử hữu hạn

FEM-T3 Phương pháp phần tử hữu hạn của phần tử tam giác ba nút

FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (the first-order shear deformation

R Không gian Euclid n chiều

Chỉ số dưới và chỉ số trên

 b Các đại lượng liên quan biến dạng uốn

 s Các đại lượng liên quan biến dạng cắt

 e Các đại lượng liên quan đến từng phần tử

 i Các đại lƣợng liên quan đến nút thứ i của phần tử

 Khối lƣợng riêng của vật liệu

 Tần số góc của bài toán động học

W Trọng số điểm tích phân Gauss

 Giá trị tải giới hạn trong bài toán tấm

D Ma trận vật liệu đƣợc hiệu chỉnh ứng với biến dạng cắt của tấm

N Ma trận hàm dạng của phần tử tam giác 3 nút

I

N Ma trận hàm dạng tại nút thứ I của phần tử tam giác 3 nút

d Véc-tơ chuyển vị của phần tử tam giác 3 nút

I

d Véc-tơ chuyển vị nút thứ I của phần tử tam giác 3 nút

eO

d Véc-tơ chuyển vị ở trọng tâm của tam giác

ε Véc-tơ biến dạng của tấm

κ Véc-tơ biến dạng uốn của tấm

e

κ Véc-tơ biến dạng uốn của phần tử đã đƣợc làm trơn

κ Véc-tơ vận tốc biến dạng uốn của tấm

e

κ Véc-tơ vận tốc biến dạng uốn của phần tử đã đƣợc làm trơn

γ Véc-tơ biến dạng cắt của tấm

e

γ Véc-tơ biến dạng cắt của phần tử đã đƣợc làm trơn

γ Véc-tơ vận tốc biến dạng cắt của tấm

e

γ Véc-tơ vận tốc biến dạng cắt của phần tử đã đƣợc làm trơn

u Véc-tơ chuyển vị thực của mặt phẳng trung hòa tấm

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu

Việc tìm lời giải giải tích cho một bài toán kỹ thuật phức tạp thông thường rất khó khăn và đa phần không thể thực hiện được Với sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính cùng với các phương pháp tính toán số, việc tìm lời giải xấp xỉ cho các bài toán kỹ thuật ngày càng trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn Vì vậy, việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp số cho tính toán xấp xỉ luôn rất cần thiết Gần đây để khắc phục những hạn chế của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống sử dụng phần tử tam giác tuyến tính (FEM-T3), Gui Rong Liu và Nguyễn Thời Trung cùng các cộng sự [1] đã kết hợp kỹ thuật làm trơn biến dạng của phương pháp không lưới [2] vào trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM) để hình thành nên một chuỗi các phương pháp PTHH trơn (S-FEM) chẳng hạn như: phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) [3], phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên nút (NS-FEM) [4], phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) [5] và phương pháp PTHH được làm trơn dựa trên mặt (FS-FEM) [6]

Phát triển S-FEM cho kết cấu tấm, gần đây Nguyễn Thời Trung cùng cộng sự đã

đề xuất phần tử tấm Mindlin rời rạc lệch trượt trơn dựa trên phần tử (CS-DSG3) [16] nhằm khắc phục những nhược điểm của phần tử rời rạc lệch trượt gốc DSG [17] Trong phần tử CS-DSG3 [16], mỗi phần tử tam giác sẽ được chia thành 3 tam giác con, và trong mỗi tam giác con, phần tử DSG3 sẽ được sử dụng để tính biến dạng và khử hiện tượng khóa cắt Sau đó, kỹ thuật làm trơn biến dạng trên toàn phần tử tam giác bằng cách làm trơn hóa biến dạng trên 3 tam giác con này Phần tử CS-DSG3 vì vậy không những khử được hiện tượng khóa cắt mà còn cải thiện được

độ chính xác cũng như sự ổn định của phần tử DSG3

Liên quan đến các bài toán kỹ thuật của kết cấu tấm, người thiết kế cũng quan tâm đến bài toán phân tích giới hạn tấm Phân tích giới hạn tấm là một phần của phân tích dẻo và có vai trò quan trọng trong việc thiết kế tải trọng giới hạn của kết

cấu Trong lý thuyết cơ bản của phân tích giới hạn tấm, chúng ta không xem xét hoặc tính toán sự phát triển đàn hồi dẻo của tấm mà tập trung vào xác định trực tiếp tải cận trên hoặc cận dưới gây ra phá hủy dẻo trong kết cấu tấm Một khi các trường vận tốc biến dạng đã được thiết lập và các lý thuyết chảy dẻo được áp dụng, khi đó bài toán phân tích giới hạn trở thành một bài toán tối ưu hóa để tìm cực tiểu công hao tán dẻo

Sử dụng các phương pháp giải tích và phương pháp số, cùng với các tiêu chuẩn chảy dẻo khác nhau, nhiều tác giả đã đưa ra các lời giải giải tích và lời giải số cho phân tích tải giới hạn tấm Một số cơ sở lý thuyết của các phương pháp giải tích đã được trình bày trong các bài viết của các tác giả như Lubliner [31] và Yu cùng các đồng nghiệp [32], v.v Còn đối với phương pháp số, ta có thể liệt kê một số tác giả tiêu biểu như Hodge và Belytschko [33], Christiansen và Larsen [34], Emilio và Paola [35], Shutao Zhou cùng các đồng nghiệp [36], Capsoni và Corradi [37] và Capsoni và Silva [38] Tuy nhiên, do thiếu những thuật toán tối ưu mới và giới hạn

về tốc độ tính toán nên phương pháp số cho phân tích giới hạn của tấm dường như ít được quan tâm trong một thời gian

Gần đây, nhờ vào sự phát triển nhanh chóng của các thuật toán tối ưu mới và tốc

độ xử lý của máy tính nên nhiều phương pháp số cho phân tích giới hạn lại thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu [40-46] Những nghiên cứu hiện nay đang tập trung vào phát triển các phương pháp số cho phân tích giới hạn đơn giản

và hiệu quả Trong phương pháp số cho phân tích giới hạn, chúng ta áp dụng các định lý ràng buộc và xấp xỉ các trường vận tốc biến dạng hoặc các trường vận tốc chuyển vị Lúc này, phân tích giới hạn trở thành một bài toán tối ưu hóa tuyến tính hoặc phi tuyến mà có thể được giải bằng các thuật toán tuyến tính hoặc phi tuyến có sẵn [47-55]

Tuy nhiên, để giải bài toán tối ưu hóa trong phân tích giới hạn một cách chính xác và nhanh chóng đòi hỏi chúng ta phải chọn một thuật toán tối ưu thích hợp Bởi

vì, bài toán tối ưu hóa là một bài toán lồi trong đó hàm mục tiêu là một hàm thuần nhất xác định dương bậc nhất và không khả vi tại những điểm trên miền không bị

chảy dẻo Để khắc phục nhược điểm này, một trong những thuật toán hữu hiệu nhất được đề xuất là thuật toán phi tuyến dựa trên phương pháp điểm trong chính – đối ngẫu (primal-dual interior point) được đề xuất bởi Andersen cùng các đồng nghiệp [56] Thuật giải này áp dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises và có thể giải một số bài toán có các hàm dẻo phi tuyến Thuật toán này có thể được giải một cách hiệu quả bằng cách sử dụng chương trình hình nón bậc hai (SOCP) [58] và đã được tích hợp sẵn trong phần mềm MOSEK [59] Chương trình này đã được áp dụng để tìm tải giới hạn của tấm Kirchhoff bởi Lê Văn Cảnh cùng các đồng nghiệp [66-68] Cho đến nay, trong so sánh giữa tấm Kirchhoff và Reissner-Mindlin, số bài báo liên quan đến phân tích giới hạn tấm Reissner-Mindlin vẫn còn khá ít Do đó, luận văn này nhằm mục đích đóng góp thêm một phương pháp số phân tích giới hạn của tấm Reissner-Mindlin bằng việc sử dụng phần tử tấm Mindlin CS-DSG3 [16] để phân tích giới hạn động học cho tấm Reissner-Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Phần tử CS-DSG3 được kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để xác định tải giới hạn của tấm

1.2 Tình hình nghiên cứu

Cho đến nay, thế giới đã có khá nhiều nghiên cứu về phân tích giới hạn của tấm Tuy nhiên, ở Việt Nam các nghiên cứu về lĩnh vực này vẫn còn khá khiêm tốn Qua tìm hiểu thông tin trên internet, các tạp chí khoa học-công nghệ và các hội nghị quốc tế, tác giả chỉ tìm thấy một vài công trình nghiên cứu về vấn đề này Điển hình, gần đây có hai công trình nghiên cứu được thực hiện bởi TS Lê Văn Cảnh và cộng sự

 Le CV, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Dang H (2010), Upper and lower bound

limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming

[68] Trong bài báo này, tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cận trên và cận dưới của tấm Kirchhoff.

 Thuy M T Doan, Canh V Le, Thang Q Chu, Hung X Nguyen (2012),

Limit load computation of Mindlin-Reissner plates as a second-order cone programming Trong bài báo này, tác giả sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa

trên cạnh và chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cho tấm Mindlin Tuy nhiên, số dạng bài toán tấm được khảo sát vẫn còn hạn chế và việc đánh giá độ chính xác của phương pháp số vẫn chưa được nghiên cứu kỹ

Các phương pháp số cho phân tích giới hạn đã được nghiên cứu rộng rãi trên thế giới Trong luận văn này, tác giả xin giới thiệu tóm tắt nội dung một số công trình tiêu biểu như sau

 V F Gaudrat (1991), A Newton type algorithm for plastic limit analysis

[40] Trong bài báo này, tác giả đã sử dụng thuật toán Newton cho phân tích giới hạn dẻo của kết cấu tấm

 Christiansen E, Kortanek KO (1991), Computation of the collapse state in

limit analysis using the LP affine scaling algorithm [41] Trong bài báo này,

tác giả xác định tải giới hạn cho kết cấu tấm bằng chương trình tuyến tính sử dụng thuật toán affine scaling

 Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijo RA (1993), An iterative algorithm

for limit analysis with nonlinear yield functions [42] Trong bài báo này, tác

giả đã sử dụng thuật toán lặp kết hợp với hàm dẻo phi tuyến cho phân tích giới hạn của kết cấu dầm, tấm dày dạng hình chữ nhật và hình ống

 Liu YH, Zen ZZ, Xu BY (1995), A numerical method for plastic limit

analysis of 3-D structures [43] Trong bài báo này, tác giả đã thiết lập

chương trình tính tải giới hạn cận trên bằng phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu 3D và sử dụng thuật toán lặp trực tiếp

 Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (1998), Computing limit loads by

minimizing a sum of norms [53] Trong bài báo này, Andersen KD đã đề xuất

phương pháp tính tải giới hạn bằng cách tối thiểu hóa một chuỗi tổng

 Capsoni A, Vicente da Silva M (2011), A finite element formulation of

Mindlin plates for limit analysis [38] Trong bài báo này Capsoni A đã sử

dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích giới hạn tấm Mindlin

Gắn liền với sự phát triển các bài toán phân tích giới hạn là sự phát triển của các giải thuật tối ưu hóa mới Gần đây, một trong những thuật toán tối ưu hóa mới rất hiệu quả đã được đề xuất là phương pháp điểm trong chính – đối ngẫu (primal-dual interior point) Hai công trình tiêu biểu về thuật toán này gồm có

 Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (2001), An efficient primal-dual

interior-point method for minimizing a sum of euclidean norms [56] Trong

bài báo này, tác giả đã đề xuất phương pháp đối ngẫu điểm trong bằng cách cực tiểu một chuỗi tổng Euclid

 Andersen ED, Roos C, Terlaky T (2003), On implementing a primal-dual

interior-point method for conic quadratic programming [58] Trong bài báo

này, Andersen ED đã giới thiệu bài toán tối ưu hóa bằng cách kết hợp chương trình hình nón bậc hai và phương pháp đối ngẫu điểm trong

Chú ý rằng, một điểm đặc biệt của bài toán phân tích giới hạn là việc dễ dàng chuyển về bài toán cực tiểu hàm hao tán dẻo với một trong các điều kiện ràng buộc

có dạng phương trình hình nón Và dạng tối ưu có ràng buộc hình nón này lại được giải dễ dàng bằng thuật giải điểm trong đối ngẫu đã được tích hợp sẵn trong phần mềm thương mại Mosek Một số công trình nghiên cứu về phân tích giới hạn đã khai thác được các tính chất này có thể được liệt kê như sau

 Krabbenhoft K, Lyamin AV, Sloan SW (2006), Formulation and solution of

some plasticity problems as conic programs [61] Trong bài báo này tác giả

sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb, phương pháp phần tử hữu hạn

và chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cho nền đất

 Makrodimopoulos A, Martin CM (2007), Upper bound limit analysis using

simplex strain elements and second-order cone programming [62] Trong bài

báo này, tác giả sử dụng phần tử biến dạng đơn (1 chiều) kết hợp với chương trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cận trên

 Le CV, Gilbert M, Askes H (2009), Limit analysis of plates using the EFG

method and second-order cone programming [66] Trong bài báo này, tác giả

sử dụng phần tử EFG (Element-Free Galerkin) kết hợp với chương trình hình nón bậc hai để phân tích giới hạn tấm Kirchhoff

1.3 Phạm vi, phương pháp nghiên cứu và mục tiêu của luận văn

Mục tiêu của luận văn là phát triển một phương pháp số kết hợp để phân tích giới hạn động học của tấm Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Phần tử tấm Mindlin CS-DSG3 được kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để xác định tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Các kết quả số sẽ được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và được so sánh với các kết quả tham khảo trong các bài báo liên quan

Nghiên cứu giới hạn trong phạm vi của tấm Mindlin, tiêu chuẩn chảy dẻo Mises và luật chảy cứng dẻo lý tưởng không có tái bền

von-Tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết và lập trình tính toán bằng ngôn ngữ Matlab Kết quả lập trình Matlab sẽ cung cấp dữ liệu đầu vào cho chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai để tìm tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Các kết quả số từ chương trình sẽ được so sánh với kết quả tham khảo trong các bài báo liên quan

Nghiên cứu sẽ được thực hiện trên kết cấu tấm có các hình dạng như sau: 1) tấm hình vuông; 2) tấm hình chữ nhật; 3) tấm hình thoi; 4) tấm hình tròn; 5) tấm hình tam giác đều

1.4 Nội dung của luận văn

Luận văn trình bày gồm 5 chương, có nội dung như sau:

Chương 1 giới thiệu tổng quan về bài toán phân tích giới hạn tấm Midlin bằng

phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP), tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước, mục tiêu, phạm vi, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Chương 2 trình bày một số kiến thức cơ sở của các mô hình tấm, dạng yếu của

phương trình chủ đạo tấm Mindlin, phương pháp PTHH cho tấm Mindlin, các bước phân tích giới hạn và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP)

Chương 3 trình bày công thức động học cho phân tích giới hạn của tấm Mindlin,

công thức động học của tấm Mindlin sử dụng phần tử CS-DSG3 và cách chuyển bài toán phân tích giới hạn của tấm Mindlin thành dạng phù hợp để áp dụng chương trình SOCP tìm nghiệm tối ưu

Chương 4 trình bày các ví dụ số tìm hệ số tải giới hạn cận trên cho tấm Mindlin

Dữ liệu đầu vào của bài toán tối ưu được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và được chuyển sang chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để tìm tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin Các kết quả số đạt được sẽ được so sánh với kết quả tham khảo trong các bài báo liên quan

Chương 5 đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị

hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: thuyết minh chi tiết một số công thức toán học và các đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 4

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Tấm là vật thể lăng trụ cĩ chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của 2

phương cịn lại Tấm cĩ mặt phẳng trung hịa được quy ước là mặt phẳng cách đều mặt trên và bên dưới của tấm Khi chịu uốn mặt trung hịa sẽ bị cong như minh họa trong Hình 2.1

Hình 2.1 Chuyển vị và gĩc xoay trong các lý thuyết tấm [23]

Đã cĩ nhiều lý thuyết phân tích ứng xử của tấm được đưa ra như: lý thuyết tấm Kirchhoff (The classical Kirchhoff plate theory – CPT), lý thuyết tấm Reissner-Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của tấm – The first-order shear deformation plate theory – FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của tấm (Higher-order shear deformation plate theory – HSDT) Tấm được xem là tấm dày hay tấm Reissner-Midlin, khi tỉ lệ chiều dày và kích thước cạnh ngắn nhất của tấm lớn hơn

1 5 hay theo tỷ lệ t b1 5 Cịn ngược lại, tấm được xem là tấm mỏng, hay tấm

b) Chuyển vị của tấm mỏng theo lý thuyết tấm Kirchhoff

c) Chuyển vị của tấm dày theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

Kirchhoff khi tỷ lệ chiều dày và kích thước cạnh ngắn nhất của tấm nằm trong khoảng 1 80 và 1 5 hay theo tỷ lệ 1 80t b1 5

0 0

0 0

0

w

x w

0 0

0

x y

w

y x

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin

Trong luận văn này, để đơn giản trong trình bày cho các phần tiếp theo, thuật ngữ

“tấm Reissner-Mindlin” được viết gọn bằng thuật ngữ “tấm Mindlin”

2.2.1 Dạng yếu phương trình chủ đạo của tấm Mindlin [16]

Xét một tấm Mindlin chịu biến dạng uốn, trong đó mặt phẳng trung hòa của tấm

2

 R được chọn làm mặt phẳng tham chiếu như chỉ trong Hình 2.2 Đặt w là độ

võng, và βT   x y là véc-tơ của góc xoay, trong đó x là góc xoay của mặt

phẳng trung hòa quanh trục y và y là góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh

trục x , ứng với chiều dương được định nghĩa như trong Hình 2.2

Hình 2.2 Tấm Mindlin và chiều dương quy ước của chuyển vị w và hai góc xoay

00

2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn bài toán tấm Mindlin [16]

Rời rạc hóa miền giới hạn  thành n phần tử hữu hạn, sao cho e

trong đó n là tổng số nút của miền bài toán được rời rạc; n N x là hàm dạng tại I( )nút thứ I, và dI  w I xI yIT là véc-tơ chuyển vị nút của u tại nút thứ h I Biến dạng uốn và biến dạng cắt khi đó được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

I I I

s

I I I

I x I I

2.3 Các bước phân tích giới hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Tổng quát một bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn có thể được chia thành 4 bước như sau

 Bước 1: Rời rạc miền bài toán thành các phần tử

 Bước 2: Xây dựng hàm hao tán dẻo cho toàn hệ (tức cho tất cả các phần tử) dựa trên một tiêu chuẩn chảy dẻo phù hợp

 Bước 3: Thiết lập bài toán tìm cực tiểu hàm hao tán dẻo, và chịu các điều kiện ràng buộc về công ngoại (gây hao tán dẻo) và các điều kiện biên

 Bước 4: Giải bài toán cực tiểu ở Bước 3 bằng một phương pháp tối ưu hóa phù hợp để tìm tải giới hạn và đường hao tán dẻo của kết cấu

Chú ý rằng, trong Bước 2 ta giả thiết trước toàn bộ các phần tử đều chịu hao tán dẻo, nhưng trong thực tế, kết cấu bị trượt dẻo khi chỉ cần một số phần tử chịu hao tán dẻo và kết nối với nhau thành một đường trượt ra biên kết cấu Trong trường hợp này, các phần tử còn lại vẫn còn trong trạng thái đàn hồi Do đó, bài toán tối ưu

ở Bước 3 được thiết lập nhằm mục tiêu xác định đúng các phần tử chịu hao tán dẻo thật sự

Trong luận văn này, kết cấu phân tích giới hạn là tấm Mindlin và phần tử DSG3 sẽ được sử dụng để phân tích động học của tấm Tiêu chuẩn chảy dẻo được

CS-sử dụng là tiêu chuẩn von-Mises Bài toán tối ưu được thiết lập sẽ được biến đổi về dạng cực tiểu hóa một hàm tuyến tính và chịu một số ràng buộc trong đó có một ràng buộc hình nón bậc hai [59] Bài toán tối ưu hóa này sau đó sẽ được giải bằng phương pháp tối ưu hóa điểm trong – chính đối ngẫu [58] mà đã được tích hợp sẵn trong phần mềm Mosek Hình 2.3 vì vậy trình bày một lưu đồ thuật giải nhằm phân tích giới hạn tấm Mindlin bằng phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [59]

Hình 2.3 Lưu đồ thuật giải bài toán nhằm phân tích giới hạn tấm Mindlin bằng phần tử CS-DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP)

Đưa bài toán về dạng có điều kiện ràng buộc hình nón bậc hai

Chương trình hình nón bậc hai (Mosek)

Xuất kết quả

- Tải trọng giới hạn 

- Dạng năng lượng hao tán dẻo

Kết thúc

2.4 Dạng cơ bản của chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [59,

60, 66]

Bài toán phân tích giới hạn được xây dựng trong luận văn này là một bài toán tối ưu

phi tuyến có ràng buộc và có thể được giải bằng các thuật giải tối ưu phi tuyến,

chẳng hạn như thuật toán chuỗi bậc hai tuần tự (SQP) hoặc thuật toán lặp trực tiếp

[37] Tuy nhiên, bài toán tối ưu hóa này có thể được giải đơn giản hơn bằng cách

đưa về bài toán tối ưu một hàm tuyến tính [57] chịu các ràng buộc tuyến tính đẳng

thức, bất đẳng thức và các ràng buộc dạng hình nón bậc hai Bài toán tối ưu này sau

đó có thể được giải nhanh chóng và chính xác bằng chương trình tối ưu hình nón

bậc hai (SOCP) [58] đã được tích hợp sẵn trong phần mềm Mosek [59]

 Tổng quát, một bài toán tối ưu hóa hình nón bậc hai có dạng như sau

trong đó xR là véc-tơ biến tối ưu hóa; n l uc, cRm là các điều kiện ràng buộc bất

đẳng thức; lx,uxRn là các điều kiện ràng buộc của biến; cT,cf Rn là các thông

số của hàm mục tiêu f x  và ARm n là ma trận hệ số của các ràng buộc; C là

trong đó các điều kiện ràng buộc trong công thức (2.23)(a) và (2.23)(b) là ràng buộc

có dạng hình nón bậc hai như được giới thiệu trong công thức (2.22)

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NÓN BẬC

HAI (SOCP) 3.1 Phân tích giới hạn tấm Mindlin – Công thức động học [37]

Xét một tấm Mindlin cứng dẻo lý tưởng có miền giới hạn , chiều dày h và biên

u t

     trong đó biên t chịu tác dụng lực bề mặt t , và biên ubị ràng buộc

chuyển vị Đặt w là độ võng, và véc-tơ góc xoay βT  x y, với x là góc

xoay của mặt phẳng trung bình xung quanh trục y , y là góc xoay của mặt phẳng

trung bình xung quanh trục x , ứng với chiều dương được định nghĩa như Hình 3.1

Hình 3.1 Tấm Mindlin và chiều dương quy ước của chuyển vị w và hai góc xoay

x

 , y Véc-tơ vô hướng của 3 biến độc lập tại mọi điểm trong miền xác định của tấm Mindlin có thể được viết như sau

Vì vật liệu trong phân tích giới hạn được giả định là cứng dẻo lý tưởng, ứng suất

uốn σ và biến dạng cắt τ được giới hạn trong miền lồi  σ τ, 0, trong đó

  0

d ε γ   ε Γ ε γ Γ γ   (3.9) với các đại lượng Γ và b Γ được cho bởi s

1

4 2 01

2 4 03

Sử dụng quan hệ của biểu thức εzκ giữa biến dạng màng ε với độ cong κ ,

công thức (3.9) có thể được viết lại dưới dạng

Trong phân tích giới hạn tấm Mindlin, chúng ta giả định tấm cứng dẻo lý tưởng

và chịu tác dụng của lực thể tích bb 0 0T trên mặt phẳng trung bình  và lực bề mặt t trên biên t Biên ràng buộc u được cố định Tải được định nghĩa bằng hai giá trị cơ bản b và t , và được điều chỉnh bởi hệ số tải  Áp dụng lý

thuyết động học của phân tích giới hạn, giá trị giới hạn 

(hệ số giới hạn) là giá trị tối ưu của bài toán tối ưu hóa [37]

 ,

Công thức (3.16)(a) và (3.16)(b) biểu diễn sự tương thích của biên bị ràng buộc

và tốc độ biến dạng của trường vận tốc u, và công thức (3.16)(c) chỉ công ngoại đơn vị gây ra hao tán dẻo của tải trọng ban đầu

Chú ý rằng trong công thức (3.14), năng lượng tiêu tán dẻo D κ γ  , là một hàm thuần nhất dương bậc nhất của tốc độ biến dạng và không khả vi tại điểm có tốc độ biến dạng bằng không Công thức (3.16) vì vậy ngụ ý rằng việc xác định hệ số tải giới hạn là giải bài toán tìm điểm cực tiểu một hàm lồi nhưng không khả vi tại mọi điểm trong miền xác định Hàm tối ưu hóa trong công thức (3.15) chỉ khả vi trong miền p có chảy dẻo, và không khả vi trong miền r không có chảy dẻo

3.2 Công thức động học của phần tử DSG3 cho tấm Mindlin [16, 17]

Phần tử DSG3 [17], được xây dựng dựa trên khái niệm khe cắt (“shear gap”) của chuyển vị dọc theo cạnh của phần tử Trong phần tử DSG3, biến dạng cắt được nội suy tuyến tính từ chuyển vị của khe cắt bằng việc sử dụng các hàm dạng phần tử chuẩn Điều này dẫn đến, ma trận S liên quan đến biến dạng cắt sẽ được hiệu chỉnh Các thành phần của ma trận S là các hằng số và được tính từ tọa độ nút của phần tử Phần tử DSG3 khử được hiện tượng “khóa cắt” (“shear locking”) và có một số đặc tính riêng như trình bày trong tài liệu [17] Trong luận văn này, tác giả chỉ trình bày công thức động học của phần tử DSG3 mà cần thiết cho việc xây dựng công thức động học của phần tử CS-DSG3

Hình 3.2 Phần tử tam giác 3 nút

Sử dụng một lưới rời rạc gồm các phần tử tam giác 3 nút, hàm xấp xỉ

T h

trong đó de  de1 de2 de3T là véc-tơ vận tốc của chuyển vị nút phần tử và B là

ma trận chứa đạo hàm của các hàm dạng và có dạng cụ thể như sau

x , i1, 2,3 là tọa độ 3 nút của phần tử; A là diện tích của phần tử tam e

giác; và Bi, i 1, 2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i

Hình 3.3 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa địa phương trong phần tử DSG3 Như trình bày trong nhiều tài liệu về phần tử tấm Mindlin, hiện tượng khóa cắt thường xảy ra khi tấm dày tiến đến giới hạn của tấm mỏng (nghĩa là bề dày tấm trở nên nhỏ) Hiện tượng này là do biến dạng cắt ngang không bị khử trong điều kiện uốn thuần túy Để khắc phục hiện tượng khóa cắt, Bletzinger cùng các đồng nghiệp

[17] đã đề xuất phương pháp khe cắt độ lệch trượt rời rạc (discrete shear gap using

triangular three node element method – DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt

Áp dụng phương pháp này trong phân tích giới hạn, tốc độ biến dạng cắt được viết

với Si, i 1, 2,3, là ma trận chứa đạo hàm của các hàm dạng ở nút thứ i; và A là e

diện tích của phần tử tam giác

Từ các phương trình (3.20) và (3.22), ta nhận thấy rằng các ma trận B và S

trong phương pháp DSG3 phụ thuộc vào thứ tự các nút trong phần tử, do đó lời giải của DSG3 sẽ bị ảnh hưởng khi thứ tự các nút thay đổi, đặc biệt là đối với các lưới thô và méo Do đó, phương pháp CS-DSG3 được đề xuất để khắc phục những hạn chế này và cũng để cải thiện độ chính xác cũng như sự ổn định của phần tử DSG3

3.3 Công thức động học của phần tử CS-DSG3 cho tấm Mindlin

Trong CS-DSG3 [16], việc rời rạc miền bài toán thành n nút và n n phần tử tam e

giác cũng tương tự như trong cách thành lập phần tử DSG3 [17] Tuy nhiên, trong việc thành lập công thức cho phần tử CS-DSG3 [16], mỗi phần tử tam giác được chia thành 3 tam giác con bằng cách nối trọng tâm tam giác với 3 nút tam giác như chỉ trong Hình 3.4

Hình 3.4 Ba tam giác nhỏ (1,2 và 3) được tạo ra từ tam giác 1-2-3 trong phần

tử CS-DSG3 bằng cách nối trọng tâm O với ba nút 1, 2 và 3