Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động

- Ý nghĩa và vai trò của môn học: Môn học này trang bị cho người học các nội dung về các thành phần của một hệ thống điều khiển tự động tuyến tính liên tục, các phương pháp xây dựng m[r]

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



GIÁO TRÌNH MÔN HỌC: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG NGÀNH: CNKT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

THÔNG TIN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI

Họ tên: ĐỖ HỮU NHÂN

Học vị: Thạc sĩ

Đơn vị: Khoa Điện – Tự động hóa

Email: dohuunhan@hotec.edu.vn

BỘ MÔN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI

Đỗ Hữu Nhân

HIỆU TRƯỞNG DUYỆT

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2020

LỜI GIỚI THIỆU

Giới thiệu xuất xứ của giáo trình, quá trình biên soạn, mối quan hệ của giáo trình với chương trình đào tạo và cấu trúc chung của giáo trình

Lời cảm ơn của các cơ quan liên quan, các đơn vị và cá nhân đã tham gia

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 05 năm 2020 Chủ biên

Đỗ Hữu Nhân

MỤC LỤC

TRANG

LỜI GIỚI THIỆU

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1

1.1 Giới thiệu chung về điều khiển 1

1.2 Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển 2

1.3 Lịch sử phát triển của lý thuyết điền khiển tự động 2

1.4 Cơ sở hệ thống tự động 3

1.5 Ví dụ một số hệ thống điều khiển tự động trong thực tế 5

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG LT ĐKTĐ 10

2.1 Khái niệm về tín hiệu 10

2.2 Phép biến đổi Laplace 11

2.3 Các phép toán ma trận 16

CHƯƠNG 3: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 18

3.1 Phương trình vi phân mô tả hệ thống 18

3.2 Mô tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt 19

3.3 Đại số sơ đồ khối 21

3.4 Mô hình trạng thái 24

CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC HỆ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 35

4.1 Các đặc tính thời gian 35

4.2 Đặc tính tần số 36

4.3 Khảo sát động học của một số khâu động học cơ bản 37

4.4 Khảo sát động học của hệ thống điều khiển tự động 41

CHƯƠNG 5: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐKTĐ 45

5.1 Khái niệm về ổn định hệ thống 45

5.2 Các tiêu chuẩn ổn định đại số 47

5.3 Các tiêu chuẩn ổn định tần số 51

5.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 53

CHƯƠNG 6: KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG ĐKTĐ 59

6.1 Khái niệm về chất lượng của hệ thống 59

6.2 Các chỉ tiêu về chất lượng động 59

6.3 Các chỉ tiêu chất lượng tĩnh 61

CHƯƠNG 7: TỔNG HỢP HỆ THỐNG 66

7.1 Bài toán tổng hợp hệ thống 66

7.2 Bộ điều khiển PID 67

7.3 Các phương pháp tổng hợp bộ điều khiển PID 69

7.4 Tổng hợp hệ thống trong không gian trạng thái 71

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC Tên môn học: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

hệ thống điều khiển: độ chính xác, miền thời gian, miền tần số và các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển tự động sao cho hệ ổn định và đạt được các chỉ tiêu chất lượng đề ra

Mục tiêu của môn học/mô đun:

- Về kiến thức:

+ Có kiến thức về các phương pháp điều khiển

+ Có kỹ năng phân tích, thiết kế và kiểm chứng các giải thuâ ̣t điều khiển

- Về kỹ năng:

+ Thiết kế và kiểm chứng các hệ thống điều khiển cơ bản

+ Sử dụng phần mềm Matlab dùng để mô phỏng và tổng hợp hệ thống điều khiển

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:

+ Có phương pháp làm việc khoa học, biết phân tích và giải quyết các vấn đề mới về lĩnh vực điều khiển, có năng lực thực hiện công việc được giao

+ Có ý thức kỷ luật trong quá trình học lý thuyết cũng như thực hành

+ Năng động, tự tin, cầu tiến trong công việc

+ Hợp tác, thân thiện, khiêm tốn trong các quan hệ

+ Tự chịu trách nhiệm về chất lượng đối với kết quả công việc do mình đảm nhiệm

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

Mục tiêu:

- Mô tả được khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển

- Trình bày được nguyên lý cơ bản trong điền khiển tự động

- Giải thích được nguyên lý hoạt động của các thành phần trong hệ thống điều khiển tự động trong thực tế

- Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần

hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau

Nội dung chính:

1.1 Giới thiệu chung về điều khiển

1.1.1 Khái niệm về điều khiển

Trước tiên để hiểu điều khiển là gì chúng ta đi xét ví dụ: Lái xe, mục tiêu giữ tốc độ xe

ổn định với vận tốc là v = 40km/h

+ Mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ ⇒ Thu thập thông tin

+ Não bộ điều khiển tăng tốc độ nếu v < 40km/h và giảm tốc độ nếu v > 40km/h ⇒ xử

lý thông tin

+ Tay giảm ga hoặc tăng ga ⇒ Tác động lên hệ thống

Kết quả là quá trình điều khiển trên: xe chạy với tốc độ “gần” bằng 40km/h

Khái niệm về điều khiển: Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống “gần” với mục đích định trước đều khiển tự động là quá trình điều khiển không có sự tác động của con người

1.1.2 Tại sao cần phải điều khiển tự động?

Chúng ta cần phải điều khiển tự động cho hệ thống khi:

+ Đáp ứng của hệ thống không thõa mãn yêu cầu

+ Cần tăng độ chính xác, tăng năng suất, tăng hiệu quả kinh tế cho hệ thống

1.1.3 Phân loại hệ thống điều khiển

Phân loại dựa trên mô tả toán học của hệ thống:

+ Hệ thống liên tục: Hệ thống liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Hệ thống rời rạc: Hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân

+ Hệ thống tuyến tính: hệ thống được mô tả bằng hệ pt vi phân/sai phân tuyến tính + Hệ thống phi tuyến: hệ thống được mô tả bằng hệ pt vi phân/sai phân phi tuyến + Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ số của pt vi phân/sai phân mô tả HT không đổi + Hệ thống biến đổi theo thời gian: hệ số của pt vi phân/ sai phân mô tả hệ thống thay đổi theo thời gian

Phân loại dựa vào số ngõ vào – ra của hệ thống:

+ Hệ thống một ngõ vào – một ngõ ra (hệ SISO): (Single Input – Single Output) + Hệ thống nhiều ngõ vào – nhiều ngõ ra (hệ MIMO): (Multi Input – Multi Output) + Đa số các hệ thống trong thực tế đề là hệ phi tuyến biến đổi theo thới gian, nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra

1.2 Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển

LT ĐKTĐ cung cấp những cơ sở lý thuyết điều khiển cơ bản vào việc điều khiển các quá trình khác nhau của hệ thống mà không cần tới sự can thiệp của con người

LT ĐKTĐ là một nhánh liên ngành của kỹ thuật và toán học, liên quan đến hành vi của các hệ thống động lực Đầu ra mong muốn của một hệ thống được gọi là giá trị đặt trước Khi một hoặc nhiều biến đầu ra của hệ thống cần tuân theo một giá trị đặt trước theo thời gian, một bộ điều khiển các đầu vào cho hệ thống để đạt được hiệu quả đầu ra mong muốn

Môn học LT ĐKTĐ chủ yếu đề cập đến lý thuyết điều khiển kinh điển là phân tích và thiết kế hệ thống tuyến tính bất biến, một ngõ vào ‒ một ngõ ra

1.3 Lịch sử phát triển của lý thuyết điền khiển tự động

Mặc dù nhiều dạng của hệ thống điều khiển có từ thời cổ đại, nghiên cứu chính thức của lĩnh vực này bắt đầu với một phân tích động học của hệ điều tốc li tâm, được thực hiển bởi nhà vật lý James Clerk Maxwell vào năm 1868 với tựa đề On Governors(hệ điều tốc) Tài liệu này miêu tả và phân tích hiện tượng "dao động", trong đó sự trễ pha trong hệ thống có thể dẫn đến trạng thái bù quá mức và không ổn định Điều này tạo ra sự hấp dẫn trong đề tài này, trong những bạn học với Maxwell, Edward John Routh tổng quát hóa các kết quả của Maxwell cho lớp tổng quát trong các hệ tuyến tính

Sau đó vào năm 1877, Adolf Hurwitz đã phân tích sự ổn định của hệ thống sử dụng phương trình vi phân, kết quả là ta có được định lý Routh-Hurwitz

Vào Chiến tranh thế giới thứ II, lý thuyết điều khiển đã là một phần quan trọng của hệ thống kiểm soát hỏa lực, hệ thống dẫn đường và điện tử học Cuộc chạy đua không gian cũng phụ thuộc vào sự chính xác của việc điều khiển tàu không gian Tuy nhiên, lý thuyết điều khiển cũng được sử dụng trong các lĩnh vực khác càng ngày càng nhiều như trong kinh tế học Ngoài ra, còn có những nhà khoa học sau đây đã đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết điều khiển tự động, bao gồm:

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Pierre-Simon Laplace (1749-1827) phát minh ra phép biến đổi Z trong công trình về

lý thuyết xác suất của ông, bây giờ được sử dụng để giải quyết các bài toán rời rạc trong miền thời gian của lý thuyết điều khiển Phép biến đổi Z là phép biến đổi tương đương trong miền giời gian rời rạc của phép biến đổi Laplace được đặt tên theo chính tên ông

+ Alexander Lyapunov (1857–1918), đánh dấu sự khởi đầu của lý thuyết bền vững + Harold S Black (1898–1983), phát minh ra khái niệm bộ khuếch đại phản hồi

âm vào năm 1927 Ông đã thành công trong việc phát triển các bộ khuếch đại phản hồi âm bền vững vào những năm 1930

+ Harry Nyquist (1889–1976), phát triển tiêu chuẩn ổn định Nyquist cho hệ thống phản hồi vào những năm 1930

+ John R Ragazzini (1912–1988) giới thiệu điều khiển kỹ thuật số và biến đổi z vào những năm 1950

+ Lev Pontryagin (1908–1988) giới thiệu nguyên lý cực đại

1.4 Cơ sở hệ thống tự động

1.4.1 Cơ sở điều khiển hệ thống tự động theo phương pháp cổ điển

Cơ sở toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống:

+ Hàm truyền

Đặc điểm:

+ Đơn giản

+ Kỹ thuật thiết kế trong miền tần số

+ Áp dụng cho hệ tuyến tính, bất biến, 1 ngõ vào ‒ 1 ngõ ra (SISO)

Các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống:

+ Đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha): phương pháp Nyquist, Bode + Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Bộ điều khiển: Các khâu hiệu chỉnh đơn giản

+ Hiệu chỉnh sớm trễ pha

+ Hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

1.4.2 Cơ sở điều khiển hệ thống tự động theo phương pháp hiện đại

Cơ sở toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống:

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Có thể áp dụng cho hệ thống phi tuyến, biến đổi theo thời gian, hệ (MIMO)

+ Ban đầu được phát triển chủ yếu cho hệ tuyến tính, sau đó được mở rộng cho hệ phi tuyến bằng cách sử dụng lý thuyết của Lyapunov

Các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống:

+ Phân bố cực

+ Điều khiển tối ưu

+ Điều khiển thích nghi

+ Điều khiển bền vững

Bộ điều khiển:

+ Hồi tiếp trạng thái

1.4.3 Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động

Mọi hệ thống điều khiển tự động đều bao gồm 3 bộ phận cơ bản:

+ Bộ điều khiển (Controller device)

+ Đối tượng điều khiển (Object device)

+ Thiết bị đo lường (Measuring device) – Cảm biến (Sensor)

Hình 1.1 Sơ đồ tổng quát hệ thống điều khiển tự động

+ u(t) Tín hiệu vào

+ e(t) Sai lệch điều khiển

+ x(t) Tín hiệu điều khiển

+ y(t) Tín hiệu ra

+ z(t) Tín hiệu phản hồi

1.4.3.1 Đối tượng điều khiển

Đối tượng điều khiển chính là mục tiêu thực ta cần tác động để đạt được các yêu cầu mong muốn Trên đây từ “đối tượng” mang tính khái quát chung, cần phân biệt rõ “đối tượng” và “hệ thống” Thông thường “hệ thống” mang tính bao hàm, có nghĩa có thể bao gồm nhiều đối tượng

Đối tượng điều khiển thường là các động cơ:

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động + Động cơ AC: loại này hiện rất thông dụng và thường được điều khiển dùng biến tần + Động cơ bước: là loại động cơ sử dụng nguồn DC với dạng xung điều khiển cho từng cực, loại động cơ này làm việc có độ chính xác cao được ứng dụng rất nhiều trong ĐK

+ Động cơ servo: là loại động cơ AC hay DC có mạch điều khiển hồi tiếp về khi làm việc (ĐK vòng kín) loại động cơ này có công suất tương đối lớn và độ chính xác khá cao

1.4.3.2 Bộ điều khiển

Bộ điều khiển là thành phần quan trọng quyết định khả năng hoạt động và độ chính xác của hệ thống Thường được tích hợp dưới dạng các board mạch điều khiển, có thể có các loại:

+ IC diều khiển trung tâm (CPU) kết hợp với các card điều khiển

+ Các thiết bị điều khiển khả trình PLC

+ Vi xử lý (hệ thống nhúng)…

+ Máy tính thông qua các card giao tiếp điều khiển (DSP, PCI…)

+ Sử dụng các bộ điều khiển thông qua biến tần

1.4.3.3 Thiết bị đo lường

Cảm biến (Sensor) là thiết bị chuyển các đại lượng vật lý thành các tín hiệu điện cung cấp cho hệ thống nhằm nâng cao khả năng linh hoạt và độ chính xác trong điều khiển Như vậy hệ thống điều khiển tự động chính là một hệ thống điều khiển kín với vòng hồi tiếp (Feedback) được thực hiện từ tín hiêu thu về từ cảm biến Các loại cảm biến thường gặp như:

1.5 Ví dụ một số hệ thống điều khiển tự động trong thực tế

Ví dụ 1.1 Hệ thống điều khiển động cơ AC ba pha

Bộ điều khiển: là card điều khiển trung tâm điều khiển giao tiếp máy tính, điều khiển biến tần, và giao tiếp vào ra trên bộ hiển thị số

Đối tượng điều khiển: là động cơ AC ba pha

Thiết bị đo lường: là thành phần hồi tiếp là cảm biến từ hall

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

Ví dụ 1.2 Mô hình điều khiển động cơ

Đối tượng điều khiển là động cơ DC

Bộ điều khiển: là mạch điều khiển được tích hợp từ nhiều mạch điều khiển tốc độ, điều khiển giao tiếp hiển thị trên PC và giao tiếp thành phần hồi tiếp để hiệu chỉnh sữa sai

Thiết bị đo lường: là encoder lấy tín hiệu tốc độ từ trục động cơ quay về bộ điều khiển

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

Ví dụ 1.3 Mô hình điều khiển bồn nước

Đối tượng điều khiển: là mực nước trong bồn

Thiết bị đo lường: là cảm biến điện dung kiểm tra mực nước trong bồn

Bộ ĐK: là mạch dùng chip vi ĐK lập trình ĐK cho mực nước trong bồn theo yêu cầu

Ví dụ 1.4 Hệ thống điều khiển động cơ dùng biến tần

Đối tượng điều khiển: động cơ AC hoặc DC

Bộ điều khiển: DC Driver hay AC Driver, còn gọi là biến tần (Inverter)

+ Ðiều khiển thay đổi tốc độ động cơ

+ Ổn định tốc độ động cơ

+ Khởi động mềm và dừng mềm động cơ

+ Hạn dòng khởi động

+ Bảo vệ quá tải, kẹt tải

+ Tiết kiệm năng lượng

Thiết bị đo lường: là encoder lấy tín hiệu tốc độ từ trục động cơ quay về bộ điều khiển

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

Ví dụ 1.5 Hệ thống điều khiển lò nhiệt

Ðối tượng điều khiển: nhiệt độ trong lò nhiệt với yêu cầu phải được giữ ổn định

Bộ điều khiển là một thiết bị tự động được chế tạo làm việc theo chức năng và yêu cầu thực tế như chuyển nhiệt độ từ lò nhiệt và hiển thị lên màn hình hiển thị và gởi tín hiệu điều khiển để điều khiển lò nhiệt ổn định nhiệt độ

Thiết bị đo lường: được dùng là loại cảm biến nhiệt

Ví dụ 1.6 Hệ thống điều khiển mực chất lỏng

Ðối tượng điều khiển: Hệ thống điều khiển mực chất lỏng thường gặp trong các quá trình công nghiệp như chế biến thực phẩm, nước giải khác, các hệ thống xử lý nước thải…

Bộ điều khiển: điều khiển mực chất lỏng, điều khiển lưu lượng chất lỏng

Thiết bị đo lường: + Cảm biến đo dịch chuyển: biến trở, Encoder

+ Cảm biến áp suất

+ Cảm biến điện dung

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài tập 1.1 Hệ thống điều khiển tự động có thể phân loại như thế nào?

Bài tập 1.2 Hệ thống điều khiển có mấy phần tử cơ bản?

Bài tập 1.3 Hãy nêu các quy tắc điều khiển cở bản để điều khiển một hệ thống điều khiển? Bài tập 1.4 Nêu các bước thiết lập một hệ thống điều khiển?

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động

CHƯƠNG 2:

KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU

KHIỂN TỰ ĐỘNG Giới thiệu:

Chương 2 của giáo trình tập trung giới thiệu về các cơ sở toán học để giải bài toán điều khiển tự động Trình bày các nguyên tắc biến đổi Laplace các phép tính ma trận để giải quyết bài toán điều khiển tự động

Mục tiêu:

- Mô tả được khái niệm cơ bản về tín hiệu điều khiển

- Trình bày được phép biến đổi Laplace trong điều khiển tự động

- Giải được các bài toán ma trận trong hệ thống điều khiển tự động

- Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần

hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau

Nội dung chính:

2.1 Khái niệm về tín hiệu

2.1.1 Định nghĩa tín hiệu

Tín hiệu là diễn biến của một đại lượng vật lý chứa đựng tham số thông tin hay dữ liệu

và có thể truyền dẫn được Theo quan điểm toán học thì tín hiệu được coi là một hàm của thời gian Trong các lĩnh vực kỹ thuật, các loại tín hiệu thường dùng là điện, quang, khí nén, thủy lực và âm thanh

Các tham số sau đây thường được dùng trực tiếp, gián tiếp hay kết hợp để biểu thị nội dung thông tin hay dữ liệu: Biên độ (điện áp, dòng…); Tần số, nhịp xung, độ rộng của xung, sườn xung; Pha, vị trí xung

2.121 Phân loại tín hiệu

Không phân biệt tính chất vật lý của tín hiệu (điện, quang, khí nén…) thì ta có thể phân loại tín hiệu dựa theo tập hợp giá trị của tham số thông tin hoặc dựa theo diễn biến thời gian thành những dạng sau:

Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian) là tín hiệu chỉ xác định trên 1 tập rời rạc của thời gian (tập những thời điểm rời rạc) Dưới dạng toán học, tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc phức) có thể được xem là 1 hàm liên kết từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức)

Tín hiệu liên tục (về mặt thời gian) là tín hiệu mang giá trị thực (hoặc phức) xác định với mọi thời điểm trong một khoảng thời gian, trường hợp phổ biến nhất là một khoảng thời gian vô hạn

Chú ý: Một hàm không liên tục về mặt toán học, ví dụ như hàm sóng vuông wave) hay sóng răng cưa (sawtooth-wave), vẫn có thể là hàm liên tục về mặt thời gian

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động Tín hiệu tương tự là tín hiệu có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian

Tín hiệu số là tín hiệu mà các giá trị tham số thông tin của một tín hiệu được biểu diễn bằng mã nhị phân

Hệ thống điều khiển thực tế rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau Trong giáo trình này chỉ giới hạn nội dung nghiên cứu là hệ thống tuyến tính bất biến liên tục Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục rất phức tạp, cần

có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau Cơ

sở đó chính là toán học

2.2 Phép biến đổi Laplace

Trong hệ thống liên tục người ta hay sử dụng phép biến đổi Laplace để biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số phức Các phương trình vi tích phân sẽ chuyển đổi thành các phương trình đại số thông thường

2.2.1 Biến đổi Laplace ‒ tìm hàm ảnh khi biết hàm gốc

Định nghĩa: Gọi F(s) là biến đổi Laplace của hàm f(t), khi đó ta có:

( [ L ) ( s f t f t e dt

Trong đó: s − là biến phức (biến Laplace)

L − là toán tử Laplace

F(s) − là biến đổi Laplace của hàm f(t)

2.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Tính tuyến tính: L[a.f(t)]= a.L[f(t)] = a.F(s)

Tính chất xếp chồng: L[f1(t)  f2(t)] = L[f1(t)]  L[f2(t)] = F1(s)  F2(s)

Định lý chậm trễ: L[ f(t ‒ a) ] = e‒as F(s) a là số thực và f(t ‒ a) = 0 khi 0 < t < a Ảnh của đạo hàm: L[f'(t) ] = sF(s) ‒ f(0+)

Ảnh của tích phân:    

s

f s

s F dt t f

Ví dụ 2.1 Tìm ảnh của hàm hàm f(t) = cosat trong đó a là hằng số

Theo công thức Ơle ta có:

jat jat

e e

e e

12

112

12

12

1Lcos

L

a s

s a

s

ja s ja s ja s ja s e

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động

2.2.3 Biến đổi Laplace ngược ‒ tìm hàm gốc khi biết hàm ảnh

Biến đổi Laplace ngược là xác định tín hiệu f(t) từ ảnh Laplace F(s) của nó

j c

stds e s F j t

f s F

2

1 ) ( )]

( [

1 víi t 0

và biến đổi Laplace ngược là:

1(t) 

p t

Bảng 2.1 Bảng biến đổi Laplace ngược các hàm cơ bản

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động

Hàm mũ bội e

)!

1 (

2.2.4 Các bước thực hiện biến đổi Laplace ngược

Bước 1: Phân tích F(s) thành tổng các hàm cơ bản

r

i

i k

ki

s

C s

B a

s

A A

)(

)()

k  j k− là điểm cực phức của F(s) mà tại đó F(s) = ± ∞

Bước 2: Xác định hàm gốc cho từng phần tử dựa vào bảng biến đổi Laplace

Ví dụ 2.2 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau:

)1(

1)





s s s F

Giải Bước 1 ‒ Phân tích thành tổng các phân thức tối giản:

2

111

1)(

s s s

2.2.5 Biến đổi Laplace ngược hàm hữu tỷ

Hàm hữu tỷ là dạng thường gặp trong điều khiển, chủ yếu ta xét biến đổi Laplace ngược của hàm hữu tỷ:

n n

m m

s a s

a a

s b s

b b s A

s B s F

1 0

) (

) ( )

Trường hợp 1: Nghiệm của mẫu thức A(s) là thực phân biệt

Ví dụ 2.3 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau:

)2)(

1(

2)

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động

Giải Mẫu thức A(s) có 2 nghiệm s1 = ‒1 và s2 = ‒2 Ta phân tích X(s) như sau:

)2)(

1(

2)

Nghiệm của mẫu thức là riêng biệt nên từng phân thức sẽ có bậc là 1:

21

)2)(

1(

2)

K s

s s X

Để tìm K1 ta nhân với (s+1) để tách K1 riêng ra:

)2(

)1()

2(

Sau đó cho s → ‒1, rút ra được K1 = 2

Làm tương tự và sau đó cho s → ‒2 ta được K2 = ‒2

Lúc đó:

2

21

2)2)(

1(

2)

s s X

Thực hiện biến đổi Laplace ngược của X(s) ta được: t t

e e t

x( )2  2 2

TỔNG QUÁT

Khi mẫu số của F(s) có nghiệm thực và riêng biệt, ta thực hiện như sau:

)()

()

()(

)()(

))(

(

)()

(

)()(

2 2 1

1

2 1

n n m

m

n m

p s

K p

s

K p

s

K p

s K

p s p s p s p s

s B s

A

s B s F

Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu ta thực hiện tìm các hệ số Ki như sau:

+ Nhân hai vế với (s + pi) để tìm hệ số Ki

+ Cho s → ‒pi ta rút ra được Ki

Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm bội

Ví dụ 2.4 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau:

)2()2(1)

2)(

1(

2)

2 2 1

K s

K s

s s X

Giải Mẫu thức A(s) có 3 nghiệm s1 = ‒1 và s2,3 = ‒2 Ta phân tích X(s) như sau:

)2()2(1)

2)(

1(

2)

2 2 1

K s

K s

s s X

Để tìm hệ số K1, ta tính như sau: 2

)2(

2

1 2

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động

Tìm K2 ta nhân 2 vế với (s + 2)2 : 1 2 3

2

)2(1

)2()1(

2

K s K s

K s

Khi cho s → ‒2 ta tìm được K2 = ‒2

Tìm K3 ta lấy đạo hàm theo biến s : 2 2 1 3

)1(

)2()1(

2

K K s

s s

2)

2(

21

2)

2)(

1(

2)

s s

s s X

Thực hiện biến đổi Laplace ngược ta được: t t t

e te

e t

x ( )  2   2 2  2 2

TỔNG QUÁT

Khi mẫu số của F(s) có nghiệm thực và lặp lại, ta thực hiện như sau:

)(

)(

)()

()(

)(

)(

)(

)()

(

)()

(

2 1

1 1 2 1

1

2 1

n

n r

r r

r

n r

p s

K p

s

K p

s

K p

s

K p

s K

p s p s p s

s B s

A

s B s

3)

Giải

52)

52(

3)

K s K s

K s

s s s F

Dễ dàng tìm được K1 = 3/5 khi cho s → 0 Để tìm K2 và K3 ta quy đồng phân thức với mẫu số chung nhỏ nhất là s(s22s5) bỏ được các phân thức:

35

65

56

5

30

53

3 3

2 2

K K

Thay các hệ số ta được:

52

25

353

)52(

3)

s s

s s s s F

2

21

22115

353

)52(

3)

s s s s F

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động Tra bảng ta tìm được hàm gốc như sau:

e t

2

12cos5

35

3)(

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động

ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích

Công thức Leibniz: Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2, n ta có:

, ( ) 1

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bài tập 2.1 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau:

)2)(

1(

3)

s s

F

Bài tập 2.2 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: 3

2)1(

32)

Bài tập 2.3 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau:

52

122)

s s

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

+ Phương trình vi phân: không gian hàm gốc

+ Hàm truyền đạt: không gian toán tử Laplace

+ Hệ phương trình trạng thái: không gian trạng thái

Chương 3 của giáo trình tập trung giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân, hàm truyền đạt và hệ phương trình không gian trạng thái trong mô tả hệ thống ĐKTĐ

Mục tiêu:

- Mô tả được khái niệm cơ bản về phương trình vi phân mô tả hệ thống

- Trình bày được nguyên lý mô tả hệ thống dạng hàm truyền đạt trong ĐKTĐ

- Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong công việc, có tinh thần

hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau

Nội dung chính:

3.1 Phương trình vi phân mô tả hệ thống

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân

) t ( u b dt

du b

dt

u d b dt

u d b ) t ( y a dt

dy a

dt

y d a dt

m 0 n

1 n 1

n

1 n 1 n

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Giải

Từ sơ đồ nguyên lý ta viết phương trình vi phân mô tả phần tử:

u(t)u1R.iy(t)

Thay vào phương trình đầu ta được: y(t) u(t)

dt

)t(dy

Hạn chế của mô hình toán học dưới dạng phương trình vi phân:

+ Với trường hợp phương trình vi phân bậc thấp ta có thể giải nó nhanh chóng Với trường hợp bậc cao (n ≥ 2) việc giải phương trình vi phân để tìm nghiệm y(t) bằng cách thông thường gặp nhiều khó khăn, nhiều khi không giải được

+ Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như không thể thực hiện được + Để khắc phục các nhược điểm này người ta cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế HT tự động dể dàng hơn đó là: Hàm truyền và phương trình trạng thái

3.2 Mô tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt

Hàm số truyền của HT (còn gọi là hàm truyền đạt) là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào biểu diễn dưới dạng toán tử Laplace với điều kiện đầu triệt tiêu (điều kiện đầu bằng 0)

u(t)  U(s) = L[u(t)]

y(t)  Y(s) = L[y(t)]

 §iÒu kiÖn ®Çu triÖt tiªu

Xuất phát từ PTVP dạng tổng quát mô tả quan hệ vào ra của hệ:

) t ( u b dt

du b

dt

u d b dt

u d b ) t ( y a dt

dy a

dt

y d a dt

1 m 1 m

m 0 n

1 n 1

n

1 n 1 n

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

n n

m m

m m

a s a s

a s a

b s b s

b s b s W

1 0

1 1

1 0

)(

+ Đối với các phần tử cơ khí: Áp dụng các định luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát

và vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo…

+ Đối với các phần tử nhiệt: Áp dụng ĐL truyền nhiệt, ĐL bảo toàn năng lượng… Bước 2: Biến đổi Laplace 2 vế của phương trình vi phân vừa tìm được ở bước 1 Lấy tỉ

số giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra ta có hàm truyền: G(s) =

)(

)(

s U

s Y

Ví dụ 3.2 Tìm hàm truyền đạt của thiết bị đo lường sau:

Giải

1 2 1

s

1 2 1

2

)(

)(

Ví dụ 3.3 Tìm hàm truyền đạt của máy phát điện một chiều, với điện áp kích từ ukt(t) là tín hiệu vào, điện áp đầu cực máy phát Ef(t) là tín hiệu ra

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Chuyển (1) và (2) sang biến Laplace:

L r

k s

L r

k s

U

s E

MF

kt

kt kt

e kt

kt e kt

()

(

)(

3.3 Đại số sơ đồ khối

3.3.1 Định nghĩa

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống Sơ đồ khối có 3 thành phần chính là:

+ Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào

+ Bộ tổng: tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào

+ Điểm rẽ nhánh: tất cả tín hiệu tại điểm rẽ nhánh đều bằng nhau

3.3.2 Sơ đồ khối của các hệ thống thường gặp

a) Hệ thống nối tiếp:

b) Hệ thống song song:

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động c) Hệ thống hồi tiếp âm: H(s) = 1 ta có HT hồi tiếp âm đơn vị

3.3.3 Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương dùng để biến đổi các hệ thống có sơ đồ khối đơn giản

a) Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối:

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

d) Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối:

e) Hoán vị 2 tín hiệu vào:

Ví dụ 3.4 Biến đổi tương đương và tìm hảm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình

3.3.4 Phương pháp biến đổi sơ đồ dòng tín hiệu

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động + Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống

+ Nhánh: là đường nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút

+ Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra

Độ lợi của một vòng kín: là tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó

3.4 Mô hình trạng thái

3.4.1 Các khái niệm

Khái niệm về trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi

là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào thời điểm t > tO ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của HT tại mọi thời điểm t > tO

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến TT có thể là biến vật lý hoặc không vật lý

Khái niệm véc tơ trạng thái: Ta có n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi là vector

trạng thái

n

x x

x

x 1 2

Khái niệm hệ phương trình trạng thái: Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có

thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n pt vi phân bậc 1

()(

)()

()()

(

t u t D t x t C t y

t u t B t x t A t x

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Trong đó: x(t) – là véctơ các biến trạng thái, có kích thước là (n x 1)

u (t) – là véc tơ các biến đầu vào, có kích thước là (m x 1)

y (t) - là véc tơ các biến đầu ra, có kích thước là (r x 1) A(t) - Ma trận hệ thống, có kích thước là (n x n) B(t) - Ma trận điều khiển (hay ma trận đầu vào), kích thước là (n x m) C(t) - Ma trận ra, có kích thước là (r x n)

D(t) - Thực tế các HT thực đều có tính quán tính, do đó D là ma trận 0

Hình 3.1 Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái

3.4.2 Biểu diễn mô hình toán học trên không gian trạng thái

Ứng dụng hệ phương trình trạng thái để biểu diễn các hệ vật lý phức tạp Bước đầu tiên

là chọn véctơ trạng thái, việc lựa chọn này phải tuân theo các yêu cầu sau:

+ Các biến trạng thái phải là tối thiểu nhưng vẫn phải đảm bảo biểu diễn đầy đủ trạng thái của hệ thống

+ Các biến trạng thái phải độc lập tuyến tính

Ví dụ 3.6 Cho hệ thống vật lý có sơ đồ như hình Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng

Giải

Bước 1: Đặt tên các dòng điện nhánh bao gồm iR, iL và iC

Bước 2: Chọn các biến trạng thái bằng các viết phương trình vi phân cho các phần tử

chứa năng lượng bao gồm tụ điện C và điện cảm L:

L C

C

v dt

di L i

dt dv

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Ta chọn iL và vC là các biến trạng thái, nhưng do iC và vL không phải là các biến TT nên

ta phải viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các biến trạng thái iL và vC, biến đầu vào là v(t)

Bước 3: Sử dụng lý thuyết về mạch điện cụ thể là viết ĐL Kirchhoff tại nút 1 ta có:

L C

L R C

i v R

i i i

L R C

i v R

i i i

1

t v v

dt

di L

i v R dt

dv C

C

L C C

11

t v L

v L dt

di

i C

v RC dt

dv

C

L C

01

11

.

.

t v L i

v

L

C RC i

v

L C

i

v R

3.4.3 Cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

Ta xét phương trình vi phân sau:

u b y a dt

dy a dt

y d a dt

y d

n n

n

0 1

1

1 1

dt

y d x dt

dy x

y x

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Lấy đạo hàm hai vế:

n

n n

dt

y d x

dt

y d x dt

dy x

x x

x x

x x

3 2

2 1

x

x x x

a a

a a

a a a

3 2 1

1 5

4 3

2 1

0 1

3 2 1

0

000

10

00

00

0

00

01

00

0

00

00

10

0

00

00

01

x x x

y

1

3 2 1

00

001



Ví dụ 3.7 Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng có phương trình vi phân:

u y dt

dy dt

y d

2545

2 1 1

2

1

54

25u x x x

x x x

dt

dy x

y x







Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Viết đưới dạng véctơ ma trận:

u x

x

.0 1

25

0.5 4

1 0



3.4.4 Cách thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền

Để có thể mô phỏng được một hệ thống trên máy tính thì mô hình toán học của đối tượng phải được biểu diến trên không gian trạng thái Vì vậy khi ta đa mô hình của đối tượng biểu diễn bằng hàm truyền đạt ta phải chuyển sang phương trình trạng thái

Phương pháp đại số

Các bước thực hiện biến đổi từ hàm truyền sang hệ phương trình trạng thái:

+ Bước 1: chuyển từ hàm truyền về phương trình vi phân và thực hiện phép biến đổi

Laplace ngược với các điều kiện đầu bằng không

+ Bước 2: Thực hiện chọn các biến trạng thái và biểu diễn trong không gian trạng thái

Ví dụ 3.8 Một đối tượng có hàm truyền đạt là:

45

25)

(

)()(





s s s R

s C s W

Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng Xác định các giá trị riêng

Giải Bước 1: Tìm phương trình vi phân:

r c dt

dc dt

c d s R s

s s

2 1 1

2

1

54

25r x x x

x x x

dt

dc x

c x





Viết đưới dạng véctơ ma trận:

u x

x

.0 1

25

0.5 4

1 0

15

4

100

0

s

s S

S

det(sI ‒ A) = s(s + 5) + 4 = s2 + 5s + 4 = 0

916

25 



 → Các giá trị riêng là s1 = ‒ 1, s2 = ‒ 4

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Phương pháp đặt biến trực tiếp từ sơ đồ khối

Ví dụ 3.9 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Giải Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối:

Theo sơ đồ khối ta có:

)(3

10)

s s

X



 → sX1(s)3X1(s)10X2(s)

→ x1(t)3x1(t)10x2(t) (1) )

(1

1)

s s

X



 → sX2(s)X2(s)X3(s)

→ x2(t)x2(t)x3(t) (2) )]

()([

1)

(

s s

X   → sX3(s)R(s)X1(s)

→ x3(t)x1(t)r(t) (3) Kết hợp (1), (2), và (3) ta được phương trình trạng thái:

)(.100

)(

)(

)(.001

110

0103

)(

)(

)(

3 2 1

3 2

1

t r t

x

t x

t x

t x

t x

t x

)(

)()

(

3 2 1

t x

t x

t x t x

110

0103

)(

)()(

3 2 1

t x

t x

t x t x

)(

)(.001)()(

3 2 1 1

t x

t x

t x t

x t

Trong đó: C1 0 0

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

3.4.5 Chuyển từ không gian trạng thái sang hàm truyền đạt

Mô hình toán học trong gian trạng thái được biểu diễn như sau:

u D x C y

u B x A x

Rút X(s) ra:

(sI – A)X(s) = BU(s) X(s) = (sI – A) ‒1 BU(s)

Trong đó: I là ma trận đơn vị

Thay X(s) vào ta rút ra được: Y(s) = C(sI – A) ‒1 BU(s) + DU(s)

Ta có hàm truyền như sau: G(s) =

)(

)(

s U

s Y

x

001

0010

321

100

010

321

100

010

B A

Ta tìm (sI ‒ A)‒1

:

123

)12(

)3(1

132

3

)det(

)(

)(

32

1

10

01

321

100

010

00

00

00)

(

2 3

2 2

s s

s

s s

s

s s

s

A sI

A sI adj A

sI

s s s

s s

s A sI

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động Thay (sI ‒ A)‒1, B, C, D vào ta được hàm truyền:

1 2 3

) 2 3 ( 10 )

s s s

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài tập 3.1 Tìm hàm truyền đạt của động cơ điện một chiều, giả thiết kích từ không đổi, Uư(t)

là tín hiệu vào, ω(t) là tín hiệu ra

Bài tập 3.2 Giải phương trình vi phân sau với các sơ kiện đều bằng không:

dy dt

y d

3232

122

y d

y d

với sơ kiện: (0) (0) 0

dt

dy y

Bài tập 3.6 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Bài tập 3.7 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình

Bài tập 3.10 Biến đổi tương đương và tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối như hình

Bài tập 3.11 Chuyển từ sơ đồ khối của hệ thống sang sơ đồ dòng tín hiệu

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Bài tập 3.12 Cho sơ đồ dòng tính hiệu Hãy ghi giá trị của đường tiến và vòng kín của sơ đồ

Bài tập 3.13 Cho sơ đồ dòng tính hiệu Hãy ghi giá trị của đường tiến và vòng kín của sơ đồ

Bài tập 3.14 Cho sơ đồ dòng tính hiệu Hãy ghi giá trị của đường tiến và vòng kín của sơ đồ

Bài tập 3.15 Cho mạch R, L, C mắc nối tiếp U1 là áp đặt vào mạch Tìm mô hình trạng thái

Chương 3: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

Bài tập 3.16 Xây dựng mô hình trạng thái cho đối tượng như hình sau

Bài tập 3.17 Cho hàm truyền sau:

24 26 9

24 )

(

) ( )

s s R

s C s G

Chuyển đổi sang hệ phương trình trạng thái Biểu diễn bằng sơ đồ khối hệ thống

Bài tập 3.18 Tìm hàm truyền G(s) của hệ thống với phương trình không gian trạng thái

y

r x

x

001

1000

523

100

010

x

631

641

423

350

83