Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của động học các quần thể được mô tả bởi phương trình vi phân

Đối với mô hình thú mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis hệ số hằng, tác giả đã thiết lập được một điều kiện đủ đặt cho các hệ số để được hệ bền vững, tính ổn định tiệm cận và sự tồn[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TỐNG THÀNH TRUNG

NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MÔ TẢ

BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TỐNG THÀNH TRUNG

NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MÔ TẢ

BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số : 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TS Nguyễn Hữu Dư

2 TS Trịnh Tuấn Anh

HÀ NỘI - 2011

Mục lục

1.1 Lý thuyết toán tử tuyến tính 6

1.1.1 Toán tử đóng và toán tử compact 6

1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính 8

1.2 Khái niệm và một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.2.2 Một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn 11

1.3 Lý thuyết phổ của hàm số 13

1.3.1 Phổ của hàm bị chặn 13

1.3.2 Phổ của hàm hầu tuần hoàn 17

1.3.3 Một số tính chất của phổ hàm số 18

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh 19

1.4.1 Định nghĩa và ví dụ 19

1.4.2 Một số tính chất của C0−nửa nhóm 21

1.4.3 Nửa nhóm liên tục đều và nửa nhóm compact 24

MỤC LỤC

1.4.4 Định lý bao hàm phổ 25

1.5 Tính ổn định của phương trình vi phân 26

1.5.1 Tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính 27 1.5.2 Tính ổn định của phương trình vi phân phi tuyến 33 2 Dáng điệu tiệm cận và bán kính ổn định 36

2.1 Hệ Lotka-Von Foerster không thuần nhất 36

2.1.1 Giới thiệu bài toán và một số kết quả của H.Inaba 36 2.1.2 Một số mô hình dân số 40

2.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Lotka-Von Foerster 45

2.2.1 Những kết quả chính 45

2.2.2 So sánh với những kết quả đã biết 54

2.3 Bán kính ổn định của quần thể có cấu trúc tuổi 57

2.3.1 Bán kính ổn định của hệ dương liên tục vô hạn chiều 57 2.3.2 Bán kính ổn định của hệ Lotka-Von Foerster 59

3 Dáng điệu động học của các quần thể thú-mồi 64

3.1 Sơ lược lịch sử và ý nghĩa sinh học của bài toán 64

3.2 Động học của quần thể thú mồi Holling kiểu II 72

3.2.1 Giới thiệu 72

3.2.2 Sự bền vững của hệ 75

3.2.3 Tính ổn định tiệm cận 80

3.2.4 Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn 83

3.3 Mô hình thú-mồi trong môi trường tuần hoàn 87

3.3.1 Giới thiệu mô hình 87

3.3.2 Sự bền vững của hệ 92

3.4 Mô hình thú-mồi với hệ số hằng 101

3.4.1 Giới thiệu 101

MỤC LỤC

3.4.2 Các kết quả chính 1023.4.3 Ví dụ 1113.4.4 Vài lời bình luận 113

Kết luận 115

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 117

Mở đầu

Những năm 70 của thế kỷ 20 đã trôi qua và có thể nói những năm đó đượcđặc trưng bằng sự bùng nổ các công trình nghiên cứu mô hình toán học trongsinh thái học Minh chứng cho điều này là hiện nay trên toàn thế giới có tớihàng chục tạp chí chủ yếu đăng các công trình về toán sinh thái Ngoài ra, sốlượng các công trình về toán sinh thái được công bố trong các tạp chí chuyênngành (thực vật học, động vật học, thủy sinh vật học, nông học, ) ngày càngtăng Tất nhiên, ta có thể giả định: chính sự quan tâm đặc biệt ngày càng rộngrãi trong quần chúng tới các vấn đề sinh thái học phù hợp với hiện tượng bùng

nổ đó Song đó chỉ là một mặt của vấn đề Mặt khác của vấn đề là ở chỗ sinhthái học là một lĩnh vực của sinh vật học mà phương pháp toán học đã xâmnhập vào đó sâu sắc đến mức mà hiện nay ta có thể nói tới sự xuất hiện mộtmôn khoa học mới: Toán-Sinh thái

Đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Toán-Sinh thái là hệ sinh thái, còn phươngpháp nghiên cứu là toán học Hiện nay ta có thể chia các mô hình toán họctrong sinh thái thành hai nhóm lớn: Các mô hình giải tích và các mô hình môphỏng Trong các mô hình giải tích người ta sử dụng một phương thức hìnhthức hóa toán học nào đó để mô tả đối tượng sinh thái và sau đấy sử dụng các

kĩ thuật giải tích toán học để rút ra kết luận đặc thù hoặc các tính chất chungcủa chúng Đối với các mô hình mô phỏng thì lý thuyết xác suất và máy tínhđiện tử là công cụ nghiên cứu cơ bản và cần thiết Các mô hình Lotka-Vollterra

cổ điển có thể xem là những ví dụ điển hình về các mô hình giải tích

Mở đầu

Mô hình phổ biến nhất trong Toán-Sinh thái phải kể đến là mô hình quầnthể gồm hai loài khác nhau, một trong hai loài là thức ăn cho những cá thể củaloài kia Tác động qua lại giữa các loài dạng này rất phổ biến trong tự nhiên

và được gọi là mối quan hệ "thú-mồi"

Một trong những vấn đề trung tâm của sinh thái học nói chung (của Sinh thái nói riêng) là vấn đề ổn định, sự bền vững và các tính chất của hệ sinhthái trong lân cận các trạng thái cân bằng Mặt khác, các giới hạn ổn định của

Toán-hệ sinh thái xác định tải trọng tối đa của Toán-hệ sinh thái, vượt qua giới hạn đó sẽdẫn đến sự diệt vong hay sự bùng nổ của hệ sinh thái Chúng ta luôn gặp vấn

đề ổn định khi xem xét các vấn đề đánh giá giới hạn ô nhiễm môi trường, vấn

đề xét các hậu quả hay thậm chí giải quyết vấn đề về khả năng thực hiện cácphương sách hoạt động kinh tế - tự nhiên Tất cả những đánh giá đó chỉ trựcquan và xác thực khi chúng là những đại lượng số

Mặt khác, trong giai đoạn qua, lý thuyết ổn định toán học phát triển hếtsức mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật Trong lýthuyết đó, định nghĩa ổn định đã được phát biểu một cách hoàn toàn chặt chẽ

và nhiều kết quả đạt được liên quan đến điều kiện cần và đủ để hệ ổn định.Song vấn đề là ở chỗ lý thuyết đó không nghiên cứu bản thân các đối tượng

cụ thể mà nghiên cứu các mô hình toán học của chúng Vì vậy, nếu ta có một

mô hình toán học tương đối "tốt" (theo nghĩa tính phù hợp và sự mô tả đầyđủ) của một quần xã sinh học hay của hệ sinh thái (chẳng hạn, bằng các thuậtngữ của phương trình vi phân hoặc sai phân) thì ta có thể trả lời câu hỏi vềtính ổn định của một quần xã thực bằng cách nghiên cứu mô hình của chúngvới các phương pháp thông thường của lý thuyết ổn định Tất nhiên, các tìnhhuống thực tế phức tạp hơn nhiều so với những điều ta mô tả Nhưng ý nghĩavẫn không thay đổi Vì lẽ đó, nghiên cứu những mô hình toán học cho hệ sinhthái và sử dụng các phương pháp toán học để phân tích tính ổn định của chúng

là rất cần thiết

Các kết quả mới được chúng tôi trình bày trong chương 2 và chương 3.Chương 2 (tương ứng chương 3) chúng tôi viết dựa theo các bài báo [1], [4] ([2],[3], [5]) Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu và bán kính ổn địnhcủa quần thể có cấu trúc tuổi Các kết quả chính được phát biểu trong các định

lý 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.3.3

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu của hai mô hình quần thể thú-mồidạng phi tuyến Đó là mô hình quần thể thú mồi với hàm đáp ứng Holling kiểuhai (có cải tiến) và quần thể thú-mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis.Chúng tôi chỉ ra điều kiện đủ cho sự phát triển bền vững của các loài trong môhình và tính ổn định tiệm cận của hệ Hơn nữa, như một hệ quả của sự pháttriển bền vững, đó là điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương bịchặn Các kết quả chính của chương này là các Định lý 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.3.4,3.3.5, 3.3.6, 3.3.7, 3.4.1, 3.4.2

Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày các khái niệm hàm hầu tuần hoàn (theonghĩa Bohr), hàm hầu tuần hoàn tiệm cận, hàm tựa tuần hoàn, các tiêu chuẩn

về tính tuần hoàn, hầu tuần hoàn và các tính chất của hàm hầu tuần hoàn.Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày các khái niệm phổ của hàm bị chặn (phổBeurling, phổ Carleman), phổ hàm hầu tuần hoàn (phổ Bohr) và một số tínhchất phổ hàm số

Trong mục 1.4, chúng tôi trình bày định nghĩa về nửa nhóm liên tục mạnh

Mục cuối của chương, mục 1.5, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về

lý thuyết ổn định của phương trình vi phân

Chương 2

Dáng điệu tiệm cận và bán kính ổn

định của mô hình quần thể có cấu trúc tuổi

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của mô

hình quần thể có cấu trúc tuổi, một giới tính và được chia thành n trạng thái

được mô tả bởi hệ Lotka-Von Foerster Chúng tôi sử dụng lý thuyết nửa nhóm

và lý thuyết phổ hàm số để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và tính toánbán kính ổn định của hệ Các kết quả chính trong chương này là các định lý2.2.1, 2.2.2, 2.2.3

2.1 Hệ Lotka-Von Foerster không thuần nhất và nửa nhóm từ môhình dân số

Chúng ta xét mô hình quần thể có cấu trúc tuổi một giới tính và được

chia thành n trạng thái (Từ trạng thái ở đây ta có thể hiểu là khu vực địa lí,

địa vị xã hội, đặc điểm sinh lý, , tuỳ từng bài toán mà ta nghiên cứu) Đặt

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

là số cá thể ở tuổi a tại thời điểm t trong trạng thái i Đặt L(a) = (l ij (a)) n×n

là ma trận cấp n × n với phần tử l ij (a) đặc trưng cho xác suất để một cá thể sinh ra ở trạng thái j còn sống đến tuổi a trong trạng thái i Ta gọi ma trận

gọi là ma trận chuyển đổi tức thời của các cá thể giữa các trạng thái và theo

từng lứa tuổi Trong đó, các phần tử q ij (a) ≥ 0, (i 6= j) là tốc độ chuyển đổi tức thời của các cá thể ở tuổi a từ trạng thái j sang trạng thái i Các phần tử trên đường chéo q ii (a) = −µ i (a) − P

j6=i

q ji (a), trong đó kí hiệu µ i (a) là tốc độ chết tức thời của các cá thể ở tuổi a trong trạng thái i Gọi a m < +∞ là tuổi

thọ lớn nhất của quần thể Bây giờ ta định nghĩa ma trận chuyển dịch L(b, a)

là L(b, a) = L(b)L −1 (a) với 0 ≤ a < b ≤ a m , do đó L(a, a) = I Hàm mật độ

f (a, t) của mạng lưới di cư theo tuổi được định nghĩa như sau:

f (a, t) := lim

h→0

1

h [p(a + h, t + h) − L(a + h, a)p(a, t)].

matrix), trong đó phần tử m ij (a) là trung bình số cá thể con cháu ở trạng thái

thứ i được sinh bởi một cá thể trong trạng thái thứ j tính trên một đơn vị thời

gian Ta đặt giả thiết là m ij ∈ L ∞ (0, ω; R+), với 0 < a r ≤ ω < a m , trong đó a r

là mức tuổi sinh sản lớn nhất của quần thể, tức là, M (a) = 0 khi a ≥ a r Với

mỗi t, p(a, t) ∈ L1(0, ω; C n ) và các hàm µ i (a), q ij (a) (i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n) liên tục, không âm trên [0, ω] Trong đó L1(0, ω; C n) = L1 được kí hiệu là không

(Lebesgue) với chuẩn kφk = Rω

0

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

trong đó, D(A) kí hiệu là miền xác định của toán tử A.

Tác giả Hisashi Inaba đã chứng minh được một số tính chất sau của toán tử

tử dân số được gọi là nửa nhóm dân số.

2.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Lotka-Von Foerster khôngthuần nhất

Ta xét phương trình sau trên không gian Banach E:

d

p(0) = φ.

(2.13)

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

là, ∃t0 > 0 sao cho với t ≥ t0, T(t) là toán tử compact φ ∈ E, f ∈ L1(0, T ; E) với mọi T > 0 Hệ Lotka-Von Foerster không thuần nhất (2.2) có thể thành lập như bài toán Côsi (2.13) khi E = X, A là toán tử dân số, f (t) = f (a, t) ∈ X (với mỗi a cố định), t0 = ω.

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử A là toán tử sinh của một C0−nửa nhóm (T(t)) t≥0 , φ ∈

ρ, định hướng dương trong mặt phẳng phức) Đặt Q = I − P Ta có Q cũng là

một phép chiếu trên E, P và Q giao hoán với T(t), mà E = Im P ⊕ ker P, do

đó p(t) = u(t) + w(t), với u(t) ∈ Im P và w(t) ∈ Im Q Khi đó nghiệm đủ tốt (2.14) của (2.13) có thể viết lại dưới dạng:

Mệnh đề 2.2.1 Nếu f là hàm τ −tuần hoàn và phương trình (2.13) có nghiệm

giới nội, liên tục đều dạng (2.14a) thì nó có nghiệm τ −tuần hoàn tiệm cận

Hệ quả 2.2.1 Giả sử f = f0+f p , trong đó f0 ∈ C0(R+, E) và f p là hàm τ −tuần hoàn Khi đó, nếu phương trình (2.13) có nghiệm giới nội, liên tục đều dạng

(2.14a) thì nó có nghiệm tuần hoàn tiệm cận u = x0 + x p với x0 ∈ C0(R+, E)

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn Nếu phương trình (2.13) có

nghiệm giới nội, liên tục đều dạng (2.14a) thì nó có nghiệm hầu tuần hoàn tiệm

Hệ quả 2.2.2 Nếu f là tựa tuần hoàn và phương trình (2.13) có nghiệm giới

nội, liên tục đều dạng (2.14a) thì có nghiệm tựa tuần hoàn tiệm cận.

Hệ quả 2.2.3 Nếu f là hầu tuần hoàn tiệm cận và phương trình (2.13) có

nghiệm giới nội, liên tục đều dạng (2.14a) thì nó có nghiệm hầu tuần hoàn tiệm

* Bây giờ ta xét phương trình (2.13) trên không gian kerP, khi đó nghiệm đủ

tốt của nó có dạng (2.14b) Đặt S(t) = QT(t)Q và y(t) = Qω(t), ta dễ dàng

trong đó g(t) = Qf (t) Do Q là toán tử liên tục nên g(t) và f (t) có cùng tính

chất tuần hoàn, hầu tuần hoàn, tuần hoàn tiệm cận, hầu tuần hoàn tiệm cận

Mệnh đề 2.2.3 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn Khi đó, nếu phương trình (2.16) có nghiệm đủ tốt giới nội, thì nó có nghiệm hầu tuần hoàn y(·) và σ b (y) ⊂

σ b (g) ⊂ σ b (f ) Do đó nếu g là tựa tuần hoàn thì y(·) là tựa tuần hoàn.

Mệnh đề 2.2.4 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn tiệm cận Khi đó, nếu phương

trình (2.16) có nghiệm đủ tốt y(·) giới nội, liên tục đều và

thì y(·) là nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận của (2.16).

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

Từ các mệnh đề trên ta suy ra các kết luận sau về nghiệm của phương trình(2.13)

Định lý 2.2.1 Giả sử f = f0+f p là hàm tuần hoàn tiệm cận, với f0 ∈ C0(R+, E)

Định lý 2.2.2 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn (tựa tuần hoàn) Khi đó, nếu

và σ b (p ap ) ⊂ σ b (f ).

Định lý 2.2.3 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn tiệm cận Khi đó nếu phương

2.3 Bán kính ổn định của quần thể có cấu trúc tuổi

2.3.1 Bán kính ổn định của hệ dương vô hạn chiều và liên tục theothời gian

Ta xét hệ Lotka-Von Foerster thuần nhất:

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

Với A là toán tử dân số thì hệ (2.18) chuyển về bài toán Côsi tổng quát (ACP):

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét bán kính ổn định của bài toán (ACP) trên

gian Banach lattice phức X Giả sử U, Y là các Hilbert lattice phức và A là toán

đó L(X, Y) kí hiệu là không gian vectơ các toán tử tuyến tính bị chặn Bây giờ

chúng tôi giới thiệu một số các khái niệm liên quan đến bài toán (ACP)

Định nghĩa 2.3.1 Bài toán (ACP) được gọi là dương nếu A là toán tử sinh

dương)

nghiệm đủ tốt của bài toán (ACP).

được gọi ổn định mũ đều (uniformly exponentially stable) nếu tồn tại các hằng

Từ định nghĩa trên ta suy ra ngay:

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

Ta xét cấu trúc nhiễu afine A 7−→ A + D∆E (*), khi đó hệ nhiễu là ˙x =

nghĩa bán kính ổn định phức, thực và dương của A (tương ứng với nhiễu cấu

trúc (*)) như sau:

2.3.2 Bán kính ổn định của hệ Lotka-Von Foerster

nghiệm của hệ Lotka-Von Foerster thuần nhất (2.18) trên [0, T ] nếu `(·, t) thỏa mãn (2.18) với t ∈ [0, T ].

Định lý 2.3.3 Hệ (2.18) có nghiệm dương duy nhất và các bán kính ổn

trưng sự tử vong của dân số theo tuổi (age-specific mortality modulus) Hàm

β đặc trưng cho khả năng sinh sản của dân số theo tuổi (age-specific fertility

modulus)

Khi đó mô hình tuyến tính cổ điển của Sharpe-Lotka-McKendrick được cho bởi

Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm và bán kính ổn định

Toán tử dân số đối với mô hình quần thể này là:

Định nghĩa 3.1.1 Hệ (3.1) được gọi là tiêu hao (dissipative) nếu tồn tại M > 0

Chương 3 Dáng điệu động học của các quần thể thú-mồi

3.2 Động học quần thể thú mồi với hàm đáp ứng Holling kiểu II

Bây giờ ta xét hệ thú mồi phụ thuộc theo thời gian:

trong đó r i (t), a i (t), i = 1, 2, b(t), k1(t) là các hàm liên tục, xác định trên R,

bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương; k2(t) là hàm liên tục, không âm và

bị chặn trên

Định nghĩa 3.2.1 Hệ (3.7) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu với hai

intR2

lim

t→+∞ (|x1(t) − x2(t)| + |y1(t) − y2(t)|) = 0.

Trong mục này, chúng tôi đưa thêm giả thiết:

Giả thiết 3.2.1 Ta đặt giả thiết sau đối với hệ (3.7):