Một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến

Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩn hàm u(x, t) của các phương trình soliton (1) và (2) với thế vị tương ứng của các toán tử tuyến tính Schr¨ odinger và toán tử Dirac, mà là các t[r]

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN HUY HOÀNG

MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN HUY HOÀNG

MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS Hà Tiến Ngoạn

2 PGS TS Hoàng Quốc Toàn

HÀ NỘI - 2012

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG

2.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp và nghiệm

rộng 86

thực cấp hai 117

Kết luận 132

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận

án 134

Công trình ñược hoàn thành tại:

Trường ðại học Khoa học Tự nhiên, ðại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS TS Hà Tiến Ngoạn

2 PGS TS Hoàng Quốc Toàn

Vào hồi 14 giờ 00 ngày 25 tháng 12 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, ðại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦUTrong số các phương trình đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng có mộtnhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên là các phương trình soliton.Các phương trình này có nhiều nguồn gốc vật lý khác nhau trong các lĩnh vựcnhư cơ học chất lỏng, quang học phi tuyến, vật lý plasma và lý thuyết dây Mỗiphương trình thuộc nhóm này đều thừa nhận một lớp nghiệm đặc biệt mô tả

sự lan truyền, tương tác của những sóng đơn có tốc độ, biên độ không đổi Tốc

độ và biên độ của chúng được bảo toàn ngay cả sau khi xảy ra sự tương tác.Với đặc tính vật lý như vậy các sóng này được gọi là các soliton Trong số cácphương trình soliton mô tả quá trình lan truyền sóng trong một chiều khônggian và một chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sau đây:

Phương trình Korteweg-de Vries:

ut, ux là ký hiệu các đạo hàm riêng của u Biến x là biến không gian, biến t làbiến thời gian Để thuận tiện chúng ta ký hiệu các phương trình (1), (2), (3), (4)tương ứng là KdV, NLS, mKdV, sG

TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU:

Có hai trong số các phương pháp nghiên cứu phương trình soliton có liênquan mật thiết và được sử dụng trong Luận án này là phương pháp bài toánngược tán xạ và kỹ thuật Wronskian

Phương pháp bài toán ngược tán xạ là phương pháp giải bài toán Cauchytrên toàn trục không gian (x ∈ (−∞, ∞)) đối với các phương trình solitontrong lớp các hàm giảm nhanh Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩnhàm u(x, t) của các phương trình soliton (1) và (2) với thế vị tương ứng củacác toán tử tuyến tính Schr¨odinger và toán tử Dirac, mà là các toán tử vi phântheo biến x, trong đó t đóng vai trò là tham số Từ đó, sử dụng các kết quả

đã biết của cặp bài toán thuận và ngược của bài toán tán xạ đối với các toán

tử này, chúng ta xây dựng được lời giải của bài toán Cauchy Có một trườnghợp riêng, đặc biệt của bài toán ngược tán xạ mà nó giải được tường minh vàkết quả nhận được là một lớp hàm số được gọi là thế vị không phản xạ Trong

phương pháp bài toán tán xạ ngược, lời giải bài toán Cauchy trong lớp thế vịkhông phản xạ được xây dựng theo quy trình gồm ba bước như sau: Bước 1,lấy hàm số giá trị ban đầu u(x, 0) mà thuộc lớp thế vị không phản xạ làm thế

vị của toán tử Schr¨odinger (tương ứng, toán tử Dirac) Tính toán tập dữ liệután xạ ứng với t = 0 là S(0) từ giá trị ban đầu u(x, 0) Bước 2, trên cơ sở giảthiết thế vị không phản xạ u(x, t) là nghiệm của phương trình KdV (1) (tươngứng, phương trình NLS (2)) xây dựng quy luật tiến hóa theo biến thời gian tcủa dữ liệu tán xạ để tính toán tập dữ liệu tán xạ S(t) Bước 3, phục hồi lạihàm u(x, t) từ dữ liệu tán xạ S(t) trong lớp thế vị không phản xạ Hàm u(x, t)nhận được là nghiệm N -soliton của bài toán Cauchy đối với phương trình KdV(1) (tương ứng, phương trình NLS (2))

Từ kết quả đã có trên toàn trục, chúng ta cũng mong muốn áp dụng đượcphương pháp bài toán tán xạ ngược trên nửa trục không gian x > 0 cho cácphương trình soliton Một lớp hàm tương tự của lớp thế vị không phản xạ trêntoàn trục là lớp thế vị không tán xạ trên nửa trục (P L Vu (1994, 1997)) Lớpthế vị này của toán tử tuyến tính Schr¨odinger (tương ứng, toán tử Dirac) đượcbiểu diễn thông qua một định thức cấp N (tương ứng, các định thức cấp 2N )

mà các phần tử của các định thức này được xác định theo N số phức và N đathức của biến không gian x Các đa thức được sử dụng trong công thức xácđịnh thế vị không tán xạ có tên gọi là đa thức chuẩn Việc tính toán tiến hóacủa tập dữ liệu tán xạ của các thế vị không tán xạ trước đây mới chỉ dừng lại

ở tình huống N = 1 hoặc N = 2 và các đa thức chuẩn được giả thiết là các đathức bậc 0 theo x Do đó, vấn đề còn tồn tại là việc tìm quy luật tiến hóa củacác đa thức chuẩn (mà không ràng buộc gì về bậc đa thức) để thế vị không tán

của phương trình KdV (1) (tương ứng, phương trình NLS (2))

Một phương pháp khác có liên quan đến kết quả của Luận án là kỹ thuậtWronskian Các năm 1983-1984, N C Freeman và J J C Nimmo đã chỉ rarằng có thể xây dựng nghiệm của phương trình soliton từ định thức Wronskian

Ở đây, chúng ta cấu tạo định thức Wronskian bởi cột thứ nhất và các cột kếtiếp là đạo hàm riêng các cấp của cột đầu tiên theo biến x Nếu chúng ta chọncác phần tử sinh (phần tử trên cột thứ nhất) của định thức này một cách phùhợp thì ta sẽ xây dựng được nghiệm của phương trình soliton từ giá trị của địnhthức Thông thường, chúng ta chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian

là một nghiệm nào đấy của một hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyếntính thuần nhất thích hợp Hệ phương trình này được gọi là hệ phương trìnhđiều kiện Một chuỗi các nghiên cứu gần đây của W X Ma đã thu được một loạt

nghiệm tường minh mới của phương trình KdV bằng cách mở rộng hệ phươngtrình điều kiện (W X Ma (2005)) Cách làm này mới chỉ được thực hiện vớiphương trình KdV, Boussinesq và hệ phương trình lưới của Toda Cho đến nay,việc mở rộng hệ phương trình điều kiện cho các phương trình mKdV (3) vàphương trình sG (4) vẫn còn bỏ ngỏ Có thể xem hai phương trình mKdV (3)

và sG (4) như hai trường hợp riêng của phương trình đạo hàm riêng mKdV-sGsau đây

là một tồn tại cần giải quyết

NỘI DUNG-MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:

Nội dung nghiên cứu của Luận án gồm hai phần Phần 1, xây dựng cácnghiệm N -soliton của phương trình KdV trong lớp thế vị không tán xạ của

trong lớp thế vị không tán xạ của toán tử Dirac Phần 2, là xác định nghiệm củaphương trình truyền sóng phi tuyến mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian.Trong nội dung thứ nhất, chúng tôi đặt mục tiêu xác định phương trình tiếnhóa của các đa thức chuẩn có mặt trong hai lớp thế vị không tán xạ Từ đó tínhtoán các nghiệm N -soliton của hai phương trình KdV và NLS trong một lớpcon của các lớp thế vị không tán xạ tương ứng Trong nội dung thứ hai, chúngtôi đặt mục tiêu xây dựng một hệ phương trình điều kiện mở rộng từ hệ đã biếtcủa D J Zhang (2003) Từ đó xây dựng các lớp nghiệm N -soliton tường minhmới cho phương trình mKdV-sG (27) và cho hai phương trình mKdV (3), sG(4) nói riêng

CÁCH TIẾP CẬN MỤC TIÊU VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Với nội dung thứ nhất, trước tiên chúng tôi đi tìm phương trình tiến hóatrong trường hợp thế vị không tán xạ có chứa số đa thức chuẩn là N = 1 Sau

đó phát triển kết quả đó trong tình huống N ≥ 2 tùy ý đối với một lớp concủa các thế vị không tán xạ (Lớp con thỏa mãn một Giả thiết có tính kỹ thuật(Giả thiết (1.1.42), tương ứng Giả thiết (1.2.51)) Chúng tôi đã chỉ ra được bậccủa các đa thức chuẩn phải là 0 (theo biến x) và từ đó chúng tôi chỉ ra được

đa thức chuẩn phải có dạng hàm mũ của biến thời gian t Kế tiếp chúng tôi chỉ

ra được lớp nghiệm N -soliton của phương trình soliton trong lớp thế vị khôngtán xạ

Với nội dung thứ hai, trước hết chúng tôi xây dựng hệ phương trình điều

kiện mở rộng Sau đó, chúng tôi chỉ ra được rằng định thức Wronskian với cácphần tử sinh là nghiệm của hệ phương trình điều kiện mở rộng vẫn đưa lại cácnghiệm u(x, t) của phương trình (27) Kế tiếp, bằng cách đưa hệ phương trìnhđiều kiện về hệ chính tắc, chúng tôi tính toán được các nghiệm tường minh của

hệ phương trình điều kiện mở rộng Cuối cùng, chúng tôi tính toán các nghiệm

N -soliton tường minh mới của phương trình (27)

Các kết quả chính của Luận án đã được công bố trong 4 bài báo ([1]-[4])

và 1 tiền ấn phẩm ([5]), trong đó bài báo [3] và bài báo [4] chứa các kết quảriêng rẽ tương ứng cho các phương trình sG và mKdV Nội dung của Luận án

đã được báo cáo tại các Xêmina

- Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại họcKhoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội

- Xêmina của Phòng Phương trình Vi phân, Viện Toán học, Viện Khoa học vàCông nghệ Việt Nam

và tại các Hội nghị quốc tế

- Hội nghị quốc tế về Giải tích phức "The 17th International Conference on nite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications", 1-3, August,

Fi-2009, Ho Chi Minh City, Viet Nam

- Hội nghị quốc tế "The 4th International Conference on Research and tion in Mathematics", 21-23 October 2009, Kuala Lumpur, Malaysia

Educa-CHƯƠNG ILỚP NGHIỆM N -SOLITON CỦA HAI PHƯƠNG TRÌNHPHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN

Trong chương này, Luận án xây dựng các lớp nghiệm tường minh của cácphương trình KdV và NLS trên nửa trục Lớp nghiệm này được gợi ý từ lớpthế vị không tán xạ của bài toán tán xạ trên nửa trục Kết quả được trình bày

ở đây đã được tác giả công bố trong các bài báo [1, 2]

1.1 Phương trình Korteweg-de Vries

Trong mục này chúng ta nghiên cứu phương trình KdV trên nửa trục

Mục tiêu cụ thể là tìm kiếm các nghiệm của phương trình (1.1.1) trong lớp cácthế vị không tán xạ nhận giá trị phức của toán tử Schr¨odinger

1.1.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ

Toán tử L(t) có quan hệ một đối một với một tập hợp S(t) có cấu trúc như sau

S(t) = {s(t, ρ); ρ1, , ρN; M1(x, t), , MN(x, t)}, (1.1.7)trong đó:

+) Hàm số s(t, ρ) phân hình trong dải | Im ρ| < ε0 và không có cực điểm trongdải 0 < Im ρ < ε0 (với ε0 > 0 nào đó) và

Tập hợp S(t) trong (1.1.7) được gọi là tập dữ liệu tán xạ của toán tử L(t).Các số ρ1, ρ2, , ρN được gọi là các giá trị kỳ dị của toán tử L(t), các đa thức

M1(x, t), , MN(x, t) được gọi là các đa thức chuẩn và hàm s(t, ρ) được gọi

là hàm tán xạ của toán tử L(t) Thế vị không tán xạ là thế vị có hàm tán xạs(t, ρ) = 1 với mọi ρ trong dải | Im ρ| < ε0 Theo kết quả của P L Vu (1997)thì biểu diễn tường minh của các thế vị không tán xạ của toán tử L(t) là

δjn = 1 đối với j = n, δjn = 0 đối với j 6= n

Trong mục này Luận án nhằm vào mục tiêu nghiên cứu quy luật tiến hóa củacác đa thức chuẩn Mj(x, t) trên cơ sở giả thiết là: thế vị không tán xạ u(x, t),được xác định bởi (1.1.11), là nghiệm của phương trình KdV (1.1.1)

Phép đổi biến của Hirota đối với phương trình KdV là

Sử dụng phép đổi biến Hirota nói trên và phương trình song tuyến tính(1.1.15) chúng tôi quy việc tìm quy luật tiến hóa đối với dữ liệu tán xạ cho thế

vị không tán xạ (1.1.11) về việc tìm nghiệm riêng cho phương trình song tuyếntính (1.1.15) dưới dạng

trong đó ma trận B(x, t) được xác định bởi (1.1.12)

Trước tiên ta xét trường hợp số lượng giá trị kì dị là N = 1 Khi đó hàm τ đượcxác định theo (1.1.16) là

Kết quả của trường hợp này là định lý sau đây:

Định lý 1.1.3 Giả sử toán tử Schr¨odinger L(t) có thế vị không tán xạ u(x, t)

và dữ liệu tán xạ S(t) chỉ chứa một giá trị kì dị ρ1 Xét hàm τ (x, t) được xâydựng từ toán tử L(t) theo (1.1.21) − (1.1.22) Khi đó hàm τ (x, t) là nghiệm của

trong dữ liệu tán xạ S(t) có bậc 0 theo biến x và phụ thuộc vào t theo đẳng thứcsau

trong đó C là một hằng số phức nào đó

Tiếp theo ta xét trường hợp số các giá trị kỳ dị là một số nguyên dương

N ≥ 2 tùy ý Chúng ta sẽ mở rộng Định lý 1.1.3 lên một lớp con của lớp thế

vị không tán xạ bao gồm các thế vị có các giá trị kỳ dị ρ1, ρ2, , ρN thỏa mãngiả thiết sau đây:

Với mọi j, 1 ≤ j ≤ N và α ∈ {1, 2} thì

1≤l≤N l6=j

βlkl, ∀ βl ∈ {0, 1, 2}, kl = 2iρl (1.1.42)

Để thuận tiện Giả thiết trên được gọi là Giả thiết (1.1.42) Kết quả mở rộngcủa Định lý 1.1.3 là định lý sau đây:

Định lý 1.1.4 Giả sử toán tử Schr¨odinger L(t) có thế vị không tán xạ u(x, t)

và N giá trị kỳ dị của nó thỏa mãn Giả thiết (1.1.42) Khi đó, nếu hàm τ (x, t)được xác định từ L(t) theo công thức (1.1.16) là nghiệm của phương trình songtuyến tính (1.1.15), thì các đa thức chuẩn Mj trong dữ liệu tán xạ S(t) của toán

tử L(t) phải là đa thức bậc 0 theo x và có quy luật tiến hoá theo biến thời gian

t như sau

Mj = −kjCje−k3j t, kj = 2iρj, j = 1, 2, , N, (1.1.47)trong đó Cj, j = 1, 2, , N là các hằng số phức nào đó

1.1.3 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình

Korteweg-de Vries trên nửa trục

Trong mục này chúng tôi đưa ra mệnh đề đảo của Định lý 1.1.4 Kết quả nhậnđược là định lý sau đây:

Định lý 1.1.5 Giả sử dữ liệu tán xạ S(t) của một thế vị không tán xạ u(x, t)nào đó chứa N giá trị kỳ dị sao cho hai giả thiết sau được thỏa mãn:

1) Các giá trị kỳ dị thỏa mãn Giả thiết (1.1.42);

2) Các đa thức chuẩn Mj(x, t) có bậc 0 theo biến x đồng thời phụ thuộc vào ttheo công thức (1.1.47)

Khi đó các khẳng định sau là đúng:

1) Hàm τ = τN(x, t) được xây dựng từ dữ liệu tán xạ S(t) theo công thức (1.1.16)

có thể biểu diễn dưới dạng

3) Thế vị không tán xạ u(x, t) được khôi phục theo dữ liệu tán xạ bởi công thức

uN(x, t) = 2 ∂

2

sẽ là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries (1.1.1)

trong đó hàm phải tìm u = u(x, t) là hàm có giá trị phức Mục tiêu cụ thể làtìm kiếm các nghiệm của phương trình (1.2.1) trong lớp các thế vị không tán

xạ của toán tử Dirac

1.2.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ

Toán tử Dirac được sử dụng là toán tử có biểu thức như sau

D(t) = −i

−1 0

!d

với biến thời gian t được coi như một tham số tự do, các hàm c1(x, t) và c2(x, t)

là hàm đo được giảm nhanh theo đánh giá sau đây (đều theo biến t)

|ck(x, t)| < ˜Ce−εx, (ε > 0 cho trước) k = 1, 2 (1.2.2b)

L2(0, ∞) × L2(0, ∞) và được mô tả như sau

Dom(D) = Φ = (Φ1, Φ2)T ∈ L2((0, ∞), C2) Φ ∈ ACloc((0, ∞), C2),

D(t)Φ ∈ L2((0, ∞), C2), Φ1(0, t) = Φ2(0, t) (1.2.2c)Toán tử D(t) có quan hệ một đối một với một tập hợp S(t) có cấu trúc như sau

S(t) = S(t, λ); λ+

j , pj(x, t), j = 1, 2, , α; λ−l , ql(x, t), l = 1, 2, , γ}, (1.2.7)trong đó:

+) Hàm số S(t, λ) xác định là hàm phân hình trên dải | Im λ| < ε0 (với ε0 > 0nào đó), không có không điểm không thực trong dải này và khi |λ| −→ ∞chúng ta có

S(t, λ) −→ 1 + o(1), S−1(t, λ) −→ 1 + o(1)

+) Các số phức λ+j , j = 1, 2, , α với bội mj nằm trên nửa mặt phẳng Im λ ≥

ε0, các số phức λ−l , l = 1, 2, , γ với bội nl nằm trên nửa mặt phẳng

Im λ ≤ −ε0

+) Các hàm số pj(x, t), j = 1, 2, , α; ql(x, t), l = 1, 2, , γ là các đa thức

thuộc tự do vào biến thời gian t

Tập hợp S(t) trong (1.2.7) được gọi là tập dữ liệu tán xạ của toán tử D(t) Các

số λ+j , j = 1, 2, , α; λ−l , l = 1, 2, , γ được gọi là các giá trị kỳ dị của toán

tử D(t), các đa thức pj(x, t), j = 1, 2, , α; ql(x, t), l = 1, 2, , γ được gọi làcác đa thức chuẩn và hàm s(t, ρ) được gọi là hàm tán xạ của toán tử L(t).Thế vị không tán xạ là hàm u(x, t) mà nếu như trong (1.2.2a) ta lấy c1(x, t) =

với mọi ρ trong dải | Im ρ| < ε0 Ứng với các thế vị không tán xạ, số giá trị kỳ

Im λ ≤ −ε0 Để thuận tiện ta đặt N = α = γ Khi đó ta cũng có λ−j = λ+j và

qj(x, t) = pj(x, t) với j = 1, 2, , N Theo kết quả của P L Vu (1994) thì biểudiễn tường minh của các thế vị không tán xạ của toán tử D(t) là

trong đó kj = 2iλ+j , kj+N = ¯kj = −2iλ−j

Phép đổi biến của Hirota đối với phương trình NLS là

+) Các số phức λ+j , j = 1, 2, , α với bội mj nằm nửa mặt phẳng Im λ ≥

ε0, số phức λ−l ,... data-page="15">

qj(x, t) = pj(x, t) với j = 1, 2, , N Theo kết P L Vu (1994) biểudiễn tường minh vị khơng tán xạ tốn tử D(t) là

trong kj = 2iλ+j... kj+N = ¯kj = −2iλ−j

Phép đổi biến Hirota phương trình NLS