Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên

Bằng việc sử dụng các kết quả của lý thuyết ánh xạ đa trị, chúng tôi đã chứng minh được rằng với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xác định trên không gian metric khả ly đầy đủ, nếu[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TẠ NGỌC ÁNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TẠ NGỌC ÁNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2012

Mục lục

ii

Kết luận và kiến nghị 69

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến

iii

MỞ ĐẦU

Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứucủa lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lýthuyết phương trình toán tử tất định Trong vòng 60 năm trở lại đây,hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc và thu được nhiều kết quả Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạtđược của lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào mộttrường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên Các nghiên cứu

về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầu bởi O.Hans và A Spacek trong những năm 1950 Họ đã chứng minh định lýđiểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là phiên bản ngẫunhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach Sau các công trình của Spacek

và Hans, nhiều tác giả đã thành công trong việc chứng minh phiên bảnngẫu nhiên của các định lý điểm bất động nổi tiếng khác hoặc mở rộngcác kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có Vào những năm 1990,một số tác giả như H K Xu, K K Tan, X Z Yuan đã chứng minh cácđịnh lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả đã chỉ

ra rằng với một số điều kiện nào đó, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫunhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên có điểm bấtđộng ngẫu nhiên Gần đây, một số tác giả như N Shahzad, D O’Regan,

R P Agarwal đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổngquát mở rộng các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó phiênbản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đãđược chứng minh Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là: Trong các định lýđiểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện các tác giả đặt lên cáctoán tử ngẫu nhiên và các không gian thường khá phức tạp

Khi nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi cũng

hy vọng đạt được kết quả tương tự như trường hợp bài toán điểm bấtđộng ngẫu nhiên Tức là, đưa ra được điều kiện để một phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên nếu có nghiệm tất định thì có nghiệm ngẫu nhiên.Bằng việc sử dụng các kết quả của lý thuyết ánh xạ đa trị, chúng tôi đãchứng minh được rằng với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xácđịnh trên không gian metric khả ly đầy đủ, nếu phương trình toán tửngẫu nhiên có nghiệm tất định với mỗi ω thì phương trình đó có nghiệmngẫu nhiên Chú ý rằng điều kiện đo được của toán tử ngẫu nhiên làkhá yếu, chẳng hạn các toán tử ngẫu nhiên liên tục sẽ thỏa mãn điềukiện này Áp dụng kết quả đạt được cho bài toán điểm bất động ngẫunhiên chúng tôi nhận được, mở rộng các kết quả quả Xu, Tan, Yuan,Shahzad, và nhận được hầu hết các định lý điểm bất động ngẫu nhiên

tổng quát hiện có Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lýđiểm bất động cho toán tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng chotoán tử ngẫu nhiên.

Toán tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần

tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian metric Mỗi phần tử của không gian metric có thể được xemnhư một biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất

1 Từ cách quan niệm như vậy, ta coi không gian metric X như tập con(gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian các biến ngẫu nhiênX-giá trị LX

0 (Ω) Với f là một toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X,chúng ta có thể xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX0(Ω) vào LX0(Ω) màhạn chế của Φ trên X trùng với f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi

và chỉ khi Φ có điểm bất động Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kếtquả về điểm bất động của ánh xạ trong không gian metric xác suất, O.Hadzic và E Pap đã có những liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bấtđộng của toán tử ngẫu nhiên Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miềnxác định của toán tử ngẫu nhiên và các kết quả của Hadzic và Pap,chúng tôi đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh

xạ mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biếnngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric Bước đầu, chúng tôi

đã chứng minh được một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên dựa trên các tính toán thuần túy xác suất mà không

sử dụng các công cụ của lý thuyết không gian metric xác suất Chúngtôi cũng nhận được các kết quả tương tự như của Hadzic và Pap Điềuđáng chú ý là, các kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên không dễ dàng suy ra từ các kết quả về điểm bất động của toán

về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình toán tử ngẫu nhiên.Chương 3 liên quan đến bài toán điểm bất động của toán tử ngẫunhiên Áp dụng các kết quả về phương trình toán tử ngẫu nhiên cho bàitoán điểm bất động ngẫu nhiên chúng tôi nhận được và mở rộng một sốđịnh lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên Phiên bản ngẫu nhiêncủa một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định cũng được trình

bày Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra khái niệm toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho toán

tử đó

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH ĐặngHùng Thắng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tớiGS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và chỉ bảotác giả trong suốt nhiều năm qua

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán Cơ Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tác giả nhiều tàiliệu bổ ích

-Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ýkiến đóng góp quý báu

Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên,

đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kếtquả nghiên cứu

Tác giả xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quanHọc viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điềukiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, đã hỗ trợ kinh phícho chúng tôi trong quá trình nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thành viên của đại giađình, đã luôn động viên, chia sẻ và là chỗ dựa vững chắc về mọi mặt

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại, thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bàymột số kết quả của các tác giả khác mà chúng tôi sử dụng trong cácphần sau của luận án

Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X là σ-đại

số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X Trong suốt luận án, khi nóiđến σ-đại số các tập con của không gian metric chúng ta hiểu đó là σ-đại

số Borel Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không gianPolish Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được Khi đó, σ-đại

số trên X × Y ký hiệu bởi A ⊗ B, được xác định là σ-đại số nhỏ nhấtchứa các tập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B

Cho (X, d) là một không gian metric Họ các tập con khác rỗng của

X được ký hiệu bởi 2 , họ các tập con đóng khác rỗng của X được kýhiệu bởi C(X), họ các tập con đóng, khác rỗng và bị chặn của X được

ký hiệu bởi CB(X) Khoảng cách giữa hai tập con khác rỗng A, B của

X được xác định bởi

d(A, B) = inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

Khoảng cách từ điểm a ∈ X đến tập B ⊂ X được xác định bởi d(a, B) =inf{d(a, b)|b ∈ B} Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A, B ∈C(X) được xác định bởi

Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric Ánh

xạ ξ : Ω → X gọi là A-đo được nếu

ξ−1(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ Avới mọi B ∈ B(X) Nếu (Ω, A, P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X làánh xạ A-đo được thì ξ được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị Tập hợp các biến ngẫu nhiênX-giá trị được ký hiệu là LX0 (Ω)

Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric Ánh xạ

đa trị F : Ω → 2X gọi là A-đo được nếu

F−1(B) = {ω ∈ Ω|F (ω) ∩ B 6= ∅} ∈ Avới mọi B là tập con mở của X Đồ thị của ánh xạ F là một tập concủa Ω × X được xác định bởi

Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)}

Ánh xạ u : Ω → X gọi là một hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2X

nếu u(ω) ∈ F (ω) với mọi ω ∈ Ω

Định lý 1.2.1 (C J Himmelberg) Cho (Ω, A) là không gian đo được,(X, d) là không gian metric khả ly và F : Ω → C(X) là ánh xạ đa trị.Xét các khẳng định sau:

ξ : Ω → X sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c.

Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫunhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω 7→ f (ω, x) làmột biến ngẫu nhiên Y -giá trị Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X đượcgọi là toán tử ngẫu nhiên trên X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R đượcgọi là hàm ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.4 Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên.Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếuvới mọi x ∈ X ta có f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c., trong đó tập các ω mà

f (ω, x) 6= g(ω, x) nhìn chung phụ thuộc vào x

Định nghĩa 1.3.5 Ánh xạ T : Ω × X → 2Y được gọi là toán tử ngẫunhiên đa trị từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị

ω 7→ T (ω, x) là A-đo được

Định nghĩa 1.3.6 Cho f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên, T :

Ω × X → 2Y là toán tử ngẫu nhiên đa trị Khi đó, với mỗi ω ∈ Ω, cácánh xạ x 7→ f (ω, x) và x 7→ T (ω, x) tương ứng được gọi là quỹ đạo của

f và T tại ω

Định nghĩa 1.3.7 1 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi

là đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là A ⊗ B(X)-đo được

2 Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → 2Y được gọi là đo đượcnếu ánh xạ đa trị T : Ω × X → 2Y là A ⊗ B(X)-đo được

3 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu vớimỗi ω quỹ đạo f (ω, ) của f là toán tử liên tục từ X vào Y

4 Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → C(Y ) được gọi là liên tụcnếu với mỗi ω quỹ đạo T (ω, ) của T là toán tử liên tục từ X vàoC(Y ) (với khoảng cách Hausdorff trên C(Y ))

5 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu vớimỗi ω quỹ đạo f (ω, ) là toán tử Lipschitz, nghĩa là tồn tại số thựcL(ω) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ L(ω)d(x, y)

6 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán

tử Lipschitz với L(ω) ∈ [0; 1) với mọi ω

Định lý 1.3.9 (C J Himmelberg) Cho X, Y là các không gian Polish

và f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó, f là toán tửngẫu nhiên đo được Hơn nữa, nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thìánh xạ ω 7→ f (ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị

1 Ánh xạ f : C → X gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần tử

x ∈ C sao cho f (x) = x Ta gọi x là điểm bất động của f

2 Hai ánh xạ f, g : C → X gọi là có điểm bất động chung nếu tồntại phần tử x ∈ C sao cho f (x) = g(x) = x Ta gọi x là điểm bấtđộng chung của f và g

3 Ánh xạ đa trị T : C → 2X gọi là có điểm bất động nếu tồn tạiphần tử x ∈ C sao cho x ∈ T (x) Ta gọi x là điểm bất động của T

4 Hai ánh xạ đa trị S, T : C → 2X gọi là có điểm bất động chungnếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho x ∈ S(x) và x ∈ T (x) Ta gọi x

là điểm bất động chung của S và T

5 Ánh xạ đơn trị f : C → X và ánh xạ đa trị T : C → 2 gọi là cóđiểm trùng nhau nếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho f (x) ∈ T (x).

Ta gọi x là điểm trùng nhau của f và T

Định nghĩa 1.4.4 Cho (X, d) là không gian metric Các ánh xạ f :

X → X và T : X → CB(X) gọi là tương thích nếu với mọi x ∈ X ta có

f (T (x)) ∈ CB(X); đồng thời, H(T (f (xn)), f (T (xn))) → 0 với mọi dãy(xn) trong X sao cho T (xn) → M ∈ CB(X) và f (xn) → x0∈ M

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phươngtrình toán tử ngẫu nhiên Nội dung chính của chương này là các định

lý về sự tương đương giữa tồn tại nghiệm ngẫu nhiên và tồn tại nghiệmtất định của phương trình toán tử ngẫu nhiên Một số điều kiện đủ đểphương trình toán tử ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên cũng được đưa ra

trị

Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.Định nghĩa 2.1.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phươngtrình có dạng

f (ω, x) = g(ω, x) (2.1)trong đó f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên (đã biết) từ Xvào Y Để đơn giản, ta gọi phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị làphương trình ngẫu nhiên

Ngoài phương trình ngẫu nhiên dạng tổng quát (2.1), chúng ta cũngxét một số phương trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt Khi vế phải của (2.1)

là biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Y ta có phương trình

f (ω, x) = η(ω) (2.2)Khi X là không gian Banach khả ly, ta có thể xét phương trình ngẫunhiên có nhiễu dạng

f (ω, x) + k(ω)x = η(ω) (2.3)trong đó f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên trên X, η là biến ngẫunhiên nhận giá trị trong X và k là biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực

Định nghĩa 2.1.2 1 Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm tấtđịnh với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi

ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho

f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω))

Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.1)

2 Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tạibiến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho

f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c

Khi đó, ta gọi ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.1)

Ta nhận thấy rằng nếu biến ngẫu nhiên ξ là nghiệm ngẫu nhiên củaphương trình (2.1) thì ξ(ω) cũng là nghiệm tất định của (2.1) với hầuhết ω Do vậy, một phương trình ngẫu nhiên nếu có nghiệm ngẫu nhiênthì nó có nghiệm tất định với hầu hết ω Tuy nhiên, điều ngược lại chưachắc đúng

Ví dụ 2.1.3 Cho Ω = [0; 1] và σ-đại số A gồm tất cả các tập con A ⊂ Ω

có tính chất: A là tập đếm được hoặc Ω \ A là tập đếm được Độ đo xácsuất P trên A xác định bởi:

P (A) =

(

0 nếu A đếm được

1 nếu A không đếm được

Khi đó, (Ω, A, P ) là một không gian xác suất đầy đủ Xét X = [0; 1].Hai toán tử ngẫu nhiên f, g : Ω × X → X xác định bởi:

cả B và Ω \ B đều không đếm được) Do vậy, phương trình ngẫu nhiên

f (ω, x) = g(ω, x) không có nghiệm ngẫu nhiên

Định lý 2.1.4 Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω × X → Y

là các toán tử ngẫu nhiên đo được từ X vào Y Khi đó, phương trìnhngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó cónghiệm tất định với hầu hết ω

Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f (ω, x) = g(ω, x)

có nghiệm duy nhất thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫunhiên duy nhất

Hệ quả 2.1.5 Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω×X → Y làhai toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó, phương trình f (ω, x) = g(ω, x)

có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có nghiệm tất định với hầu hếtω

Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f (ω, ) = g(ω, )

có nghiệm duy nhất thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫunhiên duy nhất

Từ Định lý 2.1.4 và các kết quả về toán tử tất định ta có:

Định lý 2.1.6 Cho X là không gian Hilbert khả ly, f : Ω × X → X làtoán tử ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn: Tồn tại biến ngẫu nhiên m(ω)nhận giá trị dương sao cho với mọi x1, x2∈ X ta có

1) − f (ω, x2), x1− x2 ≥ m(ω)||x1− x2||2 h.c.c (2.4)Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X, phương trìnhngẫu nhiên f (ω, x) = η(ω) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất

Ngoài ra, nếu tồn tại ánh xạ L : Ω → (0; ∞) sao cho với mọi x1, x2∈

X ta có kf (ω, x1) − f (ω, x2)k 6 L(ω)kx1− x2k h.c.c thì dãy biến ngẫunhiên (xn) xác định bởi

xn+1(ω) = xn(ω) − α(ω)[f (ω, xn(ω)) − η(ω)]

hội tụ h.c.c về nghiệm của phương trình f (ω, x) = η(ω) với mọi xấp xỉban đầu là biến ngẫu nhiên x0 nhận giá trị trong X và α là biến ngẫunhiên nhận giá trị thực sao cho 0 < α < 2m/L2 h.c.c

Định lý 2.1.7 Cho X là không gian Hilbert khả ly, h : Ω × X → X

là toán tử ngẫu nhiên Lipschitz, nghĩa là tồn tại ánh xạ L : Ω → (0; ∞)sao cho với mọi x1, x2∈ X, ω ∈ Ω ta có

kh(ω, x1) − h(ω, x2)k 6 L(ω)kx1− x2k

Giả sử k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương sao cho L(ω) <k(ω) h.c.c Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Xphương trình ngẫu nhiên

h(ω, x) + k(ω)x = η(ω) (2.5)

có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất

Định lý 2.1.8 Cho X là không gian Banach khả ly và L(X) là khônggian Banach các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X Giả sử rằng

A : Ω → L(X) là một ánh xạ sao cho với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω 7→ A(ω)x

là một biến ngẫu nhiên X-giá trị và λ(ω) là một biến ngẫu nhiên nhậngiá trị thực sao cho

Z 1 0

0(Ω) nên nhiều khi chúng

ta có thể đồng nhất toán tử ngẫu nhiên với bản sao của nó mà khônglàm thay đổi ý nghĩa của vấn đề đang nghiên cứu Khi nghiên cứu vềphương trình ngẫu nhiên, chúng ta cũng mong muốn khi thay thế toán

tử ngẫu nhiên bởi bản sao của nó thì không làm thay đổi tập nghiệmcủa phương trình Tiếc rằng thực tế điều đó không phải luôn luôn đúng

Ví dụ 2.1.10 Cho (Ω, A, P ) = ([0; 1], B, µ) và X = Y = [0; 1], trong đó

B là σ-đại số Borel của [0; 1], µ là độ đo Lebesgue trên [0; 1] Cho f1, f2

là hai toán tử ngẫu nhiên xác định bởi

f1(ω, x) =

(

x.ω nếu x 6= ω

1 nếu x = ω và f2(ω, x) = x.ω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X.Khi đó, f2là một bản sao của f1 Biến ngẫu nhiên ξ(ω) = ω là nghiệmngẫu nhiên của phương trình f1(ω, x) = 1 Tuy nhiên, ξ không là nghiệmcủa phương trình f2(ω, x) = 1 Ta cũng thấy ξ là nghiệm của phươngtrình f2(ω, x) = ω2, trong khi đó phương trình f1(ω, x) = ω2vô nghiệm